人教A版数学必修22 章末综合测评2 推理与证明.docx

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人教A版数学必修22章末综合测评2推理与证明

章末综合测评

（二）　推理与证明

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下面四个推理不是合情推理的是（　　）

A．由圆的性质类比推出球的有关性质

B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°

C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分

D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的

【解析】　逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．

【答案】　C

2．下列几种推理是演绎推理的是（　　）

A．在数列{an}中，a1＝1，an＝（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式

B．某校高三共有12个班，其中

（1）班有55人，

（2）班有54人，（3）班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人

C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质

D．两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π

【解析】　A，B为归纳推理，C为类比推理．

【答案】　D

3．下列推理是归纳推理的是（　　）

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆

B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

【解析】　由归纳推理的特点知，选B.

【答案】　B

4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理（　　）

A．完全正确

B．推理形式不正确

C．不正确，两个“自然数”概念不一致

D．不正确，两个“整数”概念不一致

【解析】　大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．

【答案】　A

5．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为（　　）

A．（5k－2k）＋4×5k－2k

B．5（5k－2k）＋3×2k

C．（5－2）（5k－2k）

D．2（5k－2k）－3×5k

【解析】　5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5（5k－2k）＋3·2k.

【答案】　B

6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．（　　）

A．k＋1

B．k＋2

C．2k＋2

D．2（k＋2）

【解析】　根据数学归纳法的步骤可知，n＝k（k≥2且k为偶数）的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.

【答案】　B

7．观察下列各式：

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（　　）

A．28B．76

C．123D．199

【解析】　利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．

【答案】　C

8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：

“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：

A．a－b>0B．a－c>0

C．（a－b）（a－c）>0D．（a－b）（a－c）<0

【解析】　因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，

所以3c0，c<0.

要证明0，只需证明2a＋c>0（a>0，c<0，则a－c>0），只需证明a＋c＋（－b－c）>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.

【答案】　A

9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19且n∈N*）成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有（　　）

A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n

B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n

C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n

D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n

【解析】　令n＝10时，验证即知选B.

【答案】　B

10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016－5＝（　　）

【导学号：

62952093】

图1

A．2018×2014B．2018×2013

C．1010×2012D．1011×2013

【解析】　an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．

∴an－5＝，∴a2016－5

＝＝2013×1011.

【答案】　D

11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A（a1，a2）出发沿图2中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此规律一直运动下去，则a2015＋a2016＋a2017＝（　　）

图2

A．1006B．1007

C．1008D．1009

【解析】　依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2015＋a2017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2016＝×2016＝1008，a2015＋a2016＋a2017＝1008.故选C.

【答案】　C

12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝，将M中的元素按从大到小排列，则第2016个数是（　　）

A.＋＋＋

B.＋＋＋

C.＋＋＋

D.＋＋＋

【解析】　因为＋＋＋

＝（a1×103＋a2×102＋a3×101＋a4），括号内表示的10进制数，其最大值为9999，从大到小排列，第2016个数为9999－2016＋1＝7984，

所以a1＝7，a2＝9，a3＝8，a4＝4.

【答案】　A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________．

【解析】　圆的性质中，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M（x0，y0）的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：

过椭圆＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1.

【答案】　经过椭圆＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1

14．已知“整数对”按如下规律排成一列：

（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），…，则第60个“整数对”是________.

【解析】　依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：

（1,11），（2,10），（3,9），（4,8），（5,7），…，因此第60个“整数对”是（5,7）．

【答案】　（5,7）

15．当n＝1时，有（a－b）（a＋b）＝a2－b2，当n＝2时，有（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3，当n＝3时，有（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是__________.

【导学号：

62952094】

【解析】　根据题意，由于当n＝1时，有（a－b）（a＋b）＝a2－b2，当n＝2时，有（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3，

当n＝3时，有（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝a4－b4，

当n∈N*时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为（a－b）·（an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn）＝an＋1－bn＋1.

【答案】　（a－b）（an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn）＝an＋1－bn＋1

16．如图3，如果一个凸多面体是n（n∈N*）棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f（n）对异面直线，则f（4）＝________，f（n）＝__________.（答案用数字或n的解析式表示）

图3

【解析】　所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f（4）＝4×2＋×2＝12，所以f（n）＝n（n－2）＋·（n－2）＝.

【答案】　　12　

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）用综合法或分析法证明：

（1）如果a，b>0，则lg≥；

（2）＋>2＋2.

【导学号：

62952095】

【证明】　

（1）当a，b>0时，有≥，

∴lg≥lg，

∴lg≥lgab＝.

（2）要证＋>2＋2，

只要证（＋）2>（2＋2）2，

即2>2，这是显然成立的，

所以，原不等式成立．

18．（本小题满分12分）观察以下各等式：

sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，

sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，

sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

【解】　猜想：

sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝.

证明如下：

sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）

＝sin2α＋＋sinα

＝sin2α＋cos2α－sinαcosα＋sin2α＋sinα·cosα－sin2α

＝sin2α＋cos2α

＝.

19．（本小题满分12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

（2）设bn＝（n∈N*），求证：

数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

【解】　

（1）由已知得∴d＝2.

故an＝2n－1＋，Sn＝n（n＋）．

（2）由

（1）得bn＝＝n＋.

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则b＝bpbr，

即（q＋）2＝（p＋）（r＋），

∴（q2－pr）＋（2q－p－r）＝0，

∵p，q，r∈N*，

∴∴＝pr，（p－r）2＝0.

∴p＝r，与p≠r矛盾．

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

20．（本小题满分12分）点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交A