浙江专用高考数学二轮复习课时跟踪检测一小题考法平面向量.docx
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浙江专用高考数学二轮复习课时跟踪检测一小题考法平面向量
课时跟踪检测
(一)小题考法——平面向量
A组——10+7提速练
一、选择题
1.已知平面向量a=(3,4),b=,若a∥b,则实数x为( )
A.- B.
C.D.-
解析:
选C ∵a∥b,∴3×=4x,解得x=,故选C.
2.(2019届高三·杭州六校联考)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=( )
A.9B.10
C.12D.13
解析:
选D ∵向量a和b的夹角为120°,
且|a|=2,|b|=5,
∴a·b=2×5×cos120°=-5,
∴(2a-b)·a=2a2-a·b=2×4+5=13,
故选D.
3.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.-B.-
C.+D.+
解析:
选A 作出示意图如图所示.=+=+=×(+)+(-)=-.故选A.
4.设向量a=(-2,1),a+b=(m,-3),c=(3,1),若(a+b)⊥c,则cos〈a,b〉=( )
A.-B.
C.D.-
解析:
选D 由(a+b)⊥c可得,m×3+(-3)×1=0,解得m=1.所以a+b=(1,-3),故b=(a+b)-a=(3,-4).
所以cos〈a,b〉===-,故选D.
5.P是△ABC所在平面上一点,满足|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解析:
选B ∵P是△ABC所在平面上一点,且|-|-|+-2|=0,
∴||-|(-)+(-)|=0,
即||=|+|,
∴|-|=|+|,
两边平方并化简得·=0,
∴⊥,∴∠A=90°,
则△ABC是直角三角形.
6.(2018·浙江二模)如图,设A,B是半径为2的圆O上的两个动点,点C为AO中点,则·的取值范围是( )
A.[-1,3] B.[1,3]
C.[-3,-1]D.[-3,1]
解析:
选A 建立平面直角坐标系如图所示,
可得O(0,0),A(-2,0),C(-1,0),设B(2cosθ,2sinθ).θ∈[0,2π).
则·=(1,0)·(2cosθ+1,2sinθ)=2cosθ+1∈[-1,3].
故选A.
7.(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC中,AB=4,AC=2,AC⊥BC,D为AB的中点,点P满足=+,则·(+)的最小值为( )
A.-2B.-
C.-D.-
解析:
选C 由=+知点P在直线CD上,以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,0),A(0,2),B(2,0),D(,1),∴直线CD的方程为y=x,设P,则=,=,=,∴+=,∴·(+)=-x(2-2x)+x2-x=x2-x=2-,∴当x=时,·(+)取得最小值-.
8.已知单位向量a,b,c是共面向量,a·b=,a·c=b·c<0,记m=|λa-b|+|λa-c|(λ∈R),则m2的最小值是( )
A.4+B.2+
C.2+D.4+
解析:
选B 由a·c=b·c,可得c·(a-b)=0,故c与a-b垂直,又a·c=b·c<0,记=a,=b,=c,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系,设=λa,则|λa-b|+|λa-c|=||+||≥|b-c|=||,由图可知最小值为BC,易知∠OBC=∠BCO=15°,所以∠BOC=150°,在△BOC中,BC2=BO2+OC2-2BO·OC·cos∠BOC=2+.所以m2的最小值是2+.
9.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )
A.3B.2
C.D.2
解析:
选A 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为=,所以圆C:
(x-1)2+(y-2)2=.
因为P在圆C上,所以P.
又=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ),
所以
λ+μ=2+cosθ+sinθ=2+sin(θ+φ)≤3(其中tanφ=2),当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.
10.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,设·=m,·=n.若AB=,EF=1,CD=,则( )
A.2m-n=1B.2m-2n=1
C.m-2n=1D.2n-2m=1
解析:
选D ·=(+)·(-+)=-2+·-·+·=-2+·(-)+m=-2+·(++-)+m=·+m.又=++,=++,两式相加,再根据点E,F分别是边AD,BC的中点,化简得2=+,两边同时平方得4=2+3+2·,所以·=-,则·=,所以n=+m,即2n-2m=1,故选D.
二、填空题
11.(2018·龙岩模拟)已知向量a,b夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=2,则|b|=________.
解析:
∵|2a-b|=2,∴4a2-4a·b+b2=12,
∴4×12-4×1×|b|cos60°+|b|2=12,
即|b|2-2|b|-8=0,
解得|b|=4.
答案:
4
12.(2019届高三·宁波效实模拟)如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(+)·(+)=________.
解析:
∵在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,
∴+=+++=+=-,
+=+++=+,
∴(+)·(+)=(-)(+)=2-2=9-16=-7.
答案:
-7
13.设向量a,b满足|a+b|=2|a-b|,|a|=3,则|b|的最大值是________;最小值是________.
解析:
由|a+b|=2|a-b|两边平方,得a2+2a·b+b2=4(a2-2a·b+b2),化简得到3a2+3b2=10a·b≤10|a||b|,|b|2-10|b|+9≤0,解得1≤|b|≤9.
答案:
9 1
14.(2018·嘉兴期末)在Rt△ABC中,AB=AC=2,D为AB边上的点,且=2,则·=________;若=x+y,则xy=________.
解析:
以A为坐标原点,,分别为x轴,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,2),D,所以·=·(0,-2)=4.由=x+y,得=x(0,-2)+y(2,-2),所以=2y,-2=-2x-2y,解得x=,y=,所以xy=.
答案:
4
15.(2018·温州二模)若向量a,b满足(a+b)2-b2=|a|=3,且|b|≥2,则a·b=________,a在b方向上的投影的取值范围是________.
解析:
向量a,b满足(a+b)2-b2=|a|=3,
∴a2+2a·b+b2-b2=3,
∴9+2a·b=3,∴a·b=-3;
则a在b方向上的投影为|a|cosθ==,
又|b|≥2,∴-≤<0,
∴a在b方向上的投影取值范围是.
答案:
-3
16.(2018·温州适应性测试)已知向量a,b满足|a|=|b|=a·b=2,向量x=λa+(1-λ)b,向量y=ma+nb,其中λ,m,n∈R,且m>0,n>0.若(y-x)·(a+b)=6,则m2+n2的最小值为________.
解析:
法一:
依题意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b]·(a+b)=6,所以[(m-λ)a+(n-1+λ)b]·(a+b)=6,因为|a|=|b|=a·b=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6,所以m+n-1=1,即m+n=2,所以m2+n2=m2+(2-m)2=2m2-4m+4=2(m-1)2+2≥2,当且仅当m=1时取等号,所以m2+n2的最小值为2.
法二:
依题意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b]·(a+b)=6,
即[(m-λ)a+(n-1+λ)b]·(a+b)=6,
因为|a|=|b|=a·b=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6,
所以m+n-1=1,即m+n=2,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn≥4-22=2,当且仅当m=n=1时取等号,所以m2+n2的最小值为2.
答案:
2
17.已知在△ABC中,AC⊥AB,AB=3,AC=4.若点P在△ABC的内切圆上运动,则·(+)的最小值为________,此时点P的坐标为________.
解析:
因为AC⊥AB,所以以A为坐标原点,以AB,AC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(0,4).由题意可知△ABC内切圆的圆心为D(1,1),半径为1.因为点P在△ABC的内切圆上运动,所以可设P(1+cosθ,1+sinθ)(0≤θ<2π).所以=(-1-cosθ,-1-sinθ),+=(1-2cosθ,2-2sinθ),所以·(+)=(-1-cosθ)(1-2cosθ)+(-1-sinθ)(2-2sinθ)=-1+cosθ+2cos2θ-2+2sin2θ=-1+cosθ≥-1-1=-2,当且仅当cosθ=-1,即P(0,1)时,·(+)取到最小值,且最小值为-2.
答案:
-2 (0,1)
B组——能力小题保分练
1.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )
A.-B.
C.D.
解析:
选B 如图所示,=+.
又D,E分别为AB,BC的中点,且DE=2EF,所以=,=+=,
所以=+.
又=-,
则·=·(-)
=·-2+2-·
=2-2-·=||2-||2-×||×||×cos∠BAC.
又||=||=1,∠BAC=60°,
故·=--×1×1×=.
2.如图,在等腰梯形ABCD中,已知DC∥AB,∠ADC=120°,AB=4,CD=2,动点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=λ,则·的最小值是( )
A.4+13B.4-13
C.4+D.4-
解析:
选B 在等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=2,∠ADC=120°,易得AD=BC=2.由动点E和F分别在线段BC和DC上得,所以<λ<1.所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=||·||cos120°+||·||-||·||+||·||cos60°=4×2×+×2-4×(1-λ)×2+×(1-λ)×2×=-13+8λ+≥-13+2=4-13,当且仅当λ=时取等号.所以·的最小值是4-13.
3.(2018·台州一模)已知单位向量e1,e2,且e1·e2=-,若向量a满足(a-e1)·(a-e2)=,则|a|的取值范围为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B ∵单位向量e1,e2,且e1·e2=-,
∴〈e1,e2〉=120°,
∴|e1+e2|==1.
若向量a满足(a-e1)·(a-e2)=,
则a2-a·(e1+e2)+e1·e2=,
∴|a|2-a·(e1+e2)=,
∴|a|2-|a|·cos〈a,e1+e2〉=,
即cos〈a,e1+e2〉=.
∵-1≤cos〈a,e1+e2〉≤1,
∴-1≤|a|-≤1,
解得-≤|a|≤+,
∴|a|的取值范围为.
4.(2017·丽水模拟)在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,CA=,若·+·=2,则与的夹
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