四阶龙格库塔法解一阶微分方程组.docx
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四阶龙格库塔法解一阶微分方程组
1.经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组
1.1运用四阶龙格库塔法解一阶微分方程组算法分析
(1-1)
,
(1-2)
(1-3)
(1-4)
(1-5)
(1-6)
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(1-10)
经过循环计算由推得……
每个龙格-库塔方法都是由一个合适的泰勒方法推导而来,使得其最终全局误差为,一种折中方法是每次进行若干次函数求值,从而省去高阶导数计算。
4阶龙格-库塔方法(RK4)是最常用的,它适用于一般的应用,因为它非常精准,稳定,且易于编程。
1.2经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图
图1-1经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图
1.3经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序代码:
#include
#include
usingnamespacestd;
voidRK4(double(*f)(doublet,doublex,doubley),double(*g)(doublet,doublex,doubley),doubleinitial[3],doubleresu[3],doubleh)
{
doublef1,f2,f3,f4,g1,g2,g3,g4,t0,x0,y0,x1,y1;
t0=initial[0];x0=initial[1];y0=initial[2];
f1=f(t0,x0,y0);g1=g(t0,x0,y0);
f2=f(t0+h/2,x0+h*f1/2,y0+h*g1/2);g2=g(t0+h/2,x0+h*f1/2,y0+h*g1/2);
f3=f(t0+h/2,x0+h*f2/2,y0+h*g2/2);g3=g(t0+h/2,x0+h*f2/2,y0+h*g2/2);
f4=f(t0+h,x0+h*f3,y0+h*g3);g4=g(t0+h,x0+h*f3,y0+h*g3);
x1=x0+h*(f1+2*f2+2*f3+f4)/6;y1=y0+h*(g1+2*g2+2*g3+g4)/6;
resu[0]=t0+h;resu[1]=x1;resu[2]=y1;
}
intmain()
{
doublef(doublet,doublex,doubley);
doubleg(doublet,doublex,doubley);
doubleinitial[3],resu[3];
doublea,b,H;
doublet,step;
inti;
cout<<"输入所求微分方程组的初值t0,x0,y0:
";
cin>>initial[0]>>initial[1]>>initial[2];
cout<<"输入所求微分方程组的微分区间[a,b]:
";
cin>>a>>b;
cout<<"输入所求微分方程组所分解子区间的个数step:
";
cin>>step;
cout< : right)< : fixed)< H=(b-a)/step; cout< for(i=0;i {RK4(f,g,initial,resu,H); cout< initial[0]=resu[0];initial[1]=resu[1];initial[2]=resu[2]; } return(0); } doublef(doublet,doublex,doubley) { doubledx; dx=x+2*y; return(dx); } doubleg(doublet,doublex,doubley) { doubledy; dy=3*x+2*y; return(dy); } 1.4经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序调试结果图示: 应用所编写程序计算所给例题: 其中初值为 求解区间为[0,0.2]。 计算结果为: 图1-2经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程算法程序调试图 2.高斯列主元法解线性方程组 2.1高斯列主元法解线性方程组算法分析 使用伪代码编写高斯消元过程: fork=1ton-1do fori=k+1ton l<=a(i,k)/a(k,k) forj=ktondo a(i,j)<=a(i,j)-l*a(k,j) end%endofforj b(i)<=b(i)-l*b(k) end%endoffori end%endoffork 最后得到A,b可以构成上三角线性方程组 接着使用回代法求解上三角线性方程组 因为高斯消元要求a(k,k)≠0(k=1,2,3……n-1)这就需要对高斯消元过程进行完善,即使用高斯列主元法: 其步骤为: 找主元: 计算,并记录其所在行r, 交换第r行与第k行; 以第k行为工具行处理以下各行,使得从第k列的第k+1行到第n行的元素全部为0; 得到增广矩阵的上三角线性方程组; 使用回代法对上三角线性方程组进行求解 2.2高斯列主元法解线性方程组流程图 图2-1高斯列主元法解线性方程组流程图 2.3高斯列主元法解线性方程组程序代码 #include #include #defineN3 usingnamespacestd; voidmain() {inti,j,k,n,p; floatt,s,m,a[N][N],b[N],x[N]; cout<<"请输入方程组的系数"< for(i=0;i {for(j=0;j cin>>a[i][j];} cout<<"请输入方程组右端的常数项: "< for(i=0;i cin>>b[i]; for(j=0;j {p=j; for(i=j+1;i {if(fabs(a[i][j])>fabs(a[p][j])) p=i;} if(p! =j)//交换第p行与第j行 {for(k=0;k { t=a[j][k]; a[j][k]=a[p][k]; a[p][k]=t; }//交换常数项的第p行与第j行 t=b[p]; b[p]=b[j]; b[j]=t; }//把系数矩阵第j列a[j][j]下面的元素变为0 for(i=j+1;i {m=-a[i][j]/a[j][j]; for(n=j;n a[i][n]=a[i][n]+a[j][n]*m; b[i]=b[i]+b[j]*m; } }//求方程组的一个解 x[N-1]=b[N-1]/a[N-1][N-1];//回代法求方程组其他解 for(i=N-2;i>=0;i--) { s=0.0; for(j=N-1;j>i;j--) { s=s+a[i][j]*x[j]; x[i]=(b[i]-s)/a[i][i]; } } cout<<"方程组的解如下: "< for(i=0;i<=N-1;i++) cout< } 2.4高斯列主元法解线性方程组程序调试结果图示: 求解下列方程组 图2-2高斯列主元法解线性方程组程序算法调试图 3.牛顿法解非线性方程组 3.1牛顿法解非线性方程组算法说明 牛顿法主要思想是用进行迭代。 因此首先需要算出的雅可比矩阵,再求过求出它的逆,当它达到某个精度时即停止迭代。 具体算法如下: 首先设已知。 : 计算函数 (3-1) : 计算雅可比矩阵 (3-2) (3-3) : 求线性方程组的解。 : 计算下一点 重复上述过程。 3.2牛顿法解非线性方程组流程图 图3-1牛顿法解非线性方程组流程图 3.3牛顿法解非线性方程组程序代码 #include #include #defineN2//非线性方程组中方程个数、未知量个数 #defineEpsilon0.0001//差向量1范数的上限 #defineMax100//最大迭代次数 usingnamespacestd; constintN2=2*N; intmain() { voidff(floatxx[N],floatyy[N]);//计算向量函数的因变量向量yy[N] voidffjacobian(floatxx[N],floatyy[N][N]);//计算雅克比矩阵yy[N][N] voidinv_jacobian(floatyy[N][N],floatinv[N][N]);//计算雅克比矩阵的逆矩阵inv voidnewdundiedai(floatx0[N],floatinv[N][N],floaty0[N],floatx1[N]);//由近似解向量x0计算近似解向量x1 floatx0[N]={2.0,0.25},y0[N],jacobian[N][N],invjacobian[N][N],x1[N],errorno rm; inti,j,iter=0; //如果取消对x0的初始化,撤销下面两行的注释符,就可以由键盘向x0读入初始近似解向量 //for(i=0;i //cin>>x0[i]; cout<<"初始近似解向量: "< for(i=0;i cout< cout< do { iter=iter+1; cout<<"第"< //计算向量函数的因变量向量y0 ff(x0,y0); //计算雅克比矩阵jacobian ffjacobian(x0,jacobian); //计算雅克比矩阵的逆矩阵invjacobian inv_jacobian(jacobian,invjacobian); //由近似解向量x0计算近似解向量x1 newdundiedai(x0,invjacobian,y0,x1); //计算差向量的1范数errornorm errornorm=0; for(i=0;i errornorm=errornorm+fabs(x1[i]-x0[i]); if(errornorm for(i=0;i x0[i]=x1[i]; }while(iter return0; } voidff(floatxx[N],flo
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