九年级数学实际问题与二次函数.docx

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九年级数学实际问题与二次函数

用函数观点看一元二次方程

学习目标

1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。

2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。

教学过程

一、合作交流例题精析

1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。

例1已知二次函数的图象过（1，0），（－1，－4）和（0，－3）三点，求这个二次函数解析式。

小结：

此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：

（1）熟悉待定系数法；

（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

2、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：

y＝a（x＋h）2＋k，顶点是（－h，k）。

配方:

y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a（x＋）2＋。

对称轴是x＝－，顶点坐标是（－，）,h＝－，k=,所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。

例2已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的解析式。

小结：

此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。

请大家试一试，比较它们的优劣。

3、一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1，x2为两交点的横坐标。

例3已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为（0，－3），求这个二次函数解析式。

想一想:

还有其它方法吗?

二、应用迁移巩固提高

1、根据下列条件求二次函数解析式

（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；

（2）已知抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）；

（3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；

（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；

（5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－—x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过（1，1）；

（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；

2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。

三、总结反思突破重点

1、二次函数解析式常用的有三种形式：

（1）一般式：

_______________（a≠0）

（2）顶点式：

_______________（a≠0）

（3）交点式：

_______________（a≠0）

2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。

（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。

（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）。

四、布置作业拓展升华

1、已知二次函数的图象经过（0，0），（1，2），（-1，-4）三点，那么这个二次函数的解析式是_______________。

2、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。

3、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是（5，－2），那么这个二次函数解析式是_______________。

4、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A（0，－5），B（5，0）两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。

5、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）（-1,0）与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。

6、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。

7、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。

8、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。

9、在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。

（1）求点B的坐标。

（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求ΔAB1B的面积。

课题：

26.3实际问题与二次函数

（1）

教学目标：

1、知识与技能：

经历数学建模的基本过程。

2、方法与技能：

会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3、情感、态度与价值观：

体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：

二次函数在最优化问题中的应用。

难点：

例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

教学方法：

学生学法：

教学设计：

一、创设情境、提出问题

给你长8m的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

二、观察分析，研究问题

演示动画，引导学生观察、思考、发现：

当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。

深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为（4-x）米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为，并当x=2时，即当设计为正方形时，面积最大=4（m2）

引导学生总结，确定问题的解决方法：

在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。

步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的解析式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

三、例练应用，解决问题

在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形

设问：

用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，

问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？

最大面积是多少？

引导学生分析，板书解题过程。

变式（即课本例1）：

现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面

积最大？

（结果精确到0.01米）

四、知识整理，形成系统

1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

2、解决问题的一般步骤是什么？

应注意哪些问题？

3、学到了哪些思考问题的方法？

三、布置作业：

1、必做题：

2、选做题：

课题：

26.3实际问题与二次函数

（2）

教学目标：

1、知识与技能：

继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、方法与技能：

会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、情感、态度与价值观：

发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点：

利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

教学难点：

例2将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学方法：

学生学法：

教学过程：

一、复习：

1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

（2）在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。

出示上节课的引例的动态

图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）

设问：

（1）对角线（L）与边长（x）有什何关系？

（2）对角线（L）是否也有最值？

如果有怎样求？

L与x并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x的二次函数，并且有最小值。

引导学生回忆算术平方根的性质：

被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。

指出：

当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解

例题2：

B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？

最近距离是多少？

多媒体动态演示，提出思考问题：

（1）两船的距离随着什么的变化而变化？

（2）经过t小时后，两船的行程是多少？

两船的距离如何用t来表示？

设经过t小时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’===。

（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）

因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。

解:

设经过t时后，A，BAB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为

S=A’B’==

==（t>0）

当t=时，被开方式169（t-）2+576有最小值576。

所以当t=时，S最小值==24（km）

答：

经过时，两船之间的距离最近，最近距离为24km

练习：

直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。

三、小结

应用二次函数解决实际问题的一般步骤

四、布置作业

1、必做题：

2、选做题：

课题：

26.3实际问题与二次函数（3）

教学目标：

1、知识与技能：

继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：

利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：

例3将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学方法：

学生学法：

教学过程：

一、例题讲解

例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。

销售单价（元）

6

7

8

9

10

11

12

日均销售量（瓶）

480

440

400

360

320

280

240

（1）若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润（毛利润＝售价－进价－固定成本）为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

（2）若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元（精确到0.1元）？

最大日均毛利润为多少？

二、作业：

1、必做题：

2、选做题：