历年来北大自主招生数学试题.doc
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2010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生(三校联招)试题数学部分
1.(仅文科做),求证:
.
2.为边长为的正五边形边上的点.证明:
最长为.(25分)
3.为上在轴两侧的点,求过的切线与轴围成面积的最小值.(25分)
4.向量与已知夹角,,,,,.在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围.(25分)
5.(仅理科做)存不存在,使得为等差数列.(25分)
2010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生(三校联招)试题数学部分解析
1.(仅文科做),求证:
.
【解析】不妨设,则,且当时,.于是在上单调增.∴.即有.
同理可证.
,当时,.于是在上单调增。
∴在上有。
即。
注记:
也可用三角函数线的方法求解.
2.为边长为的正五边形边上的点.证明:
最长为.(25分)
【解析】以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
⑴当中有一点位于点时,知另一点位于或者时有最大值为;当有一点位于点时,;
⑵当均不在轴上时,知必在轴的异侧方可能取到最大值(否则取点关于轴的对称点,有).
不妨设位于线段上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使最大的点必位于线段上.
且当从向移动时,先减小后增大,于是;
对于线段上任意一点,都有.于是
由⑴,⑵知.不妨设为.
下面研究正五边形对角线的长.
如右图.做的角平分线交于.
易知.
于是四边形为平行四边形.∴.
由角平分线定理知.解得.
3.为上在轴两侧的点,求过的切线与轴围成面积的最小值.(25分)
【解析】不妨设过点的切线交轴于点,过点的切线交轴于点,直线与直线相交于点.如图.设,
且有.
由于,
于是的方程为;①
的方程为.②
联立的方程,解得.
对于①,令,得;
对于②,令,得.
于是.
.不妨设,,则
③
不妨设,则有
6个9个
.④
又由当时,③,④处的等号均可取到.
∴.
注记:
不妨设,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解.
由知当时;当时.
则在上单调减,在上单调增.于是当时取得最小值.
4.向量与已知夹角,,,,,.在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围.(25分)
【解析】不妨设,夹角为,则,令
.
其对称轴为.而在上单调增,故.
当时,,解得.
当时,在上单调增,于是.不合题意.
于是夹角的范围为.
5.存不存在,使得为等差数列.(25分)
【解析】不存在;否则有,
则或者.
若,有.而此时不成等差数列;
若,有.解得有.
而,矛盾!
2011年综合性大学(北约13校)自主选拔录取联合考试
数学试题
请注意:
文科考生做1至5题,理科考生做3至7题。
每题20分,共100分。
【试题解答】
1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线长。
解析:
平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和,设另一条对角线长为,所以,所以。
2.求过抛物线和的交点的直线方程。
解析:
解法一:
由,得,所以过抛物线和的交点的直线方程。
解法二:
由得或,所以过抛物线和的交点的直线方程。
3.在等差数列中,,数列的前项和为,求数列的最小项,并指出其值为何?
解析:
因为所以,所以,
法一:
由得,又,所以,所以。
法二:
由,所以当,。
4.在中,,求证:
.
解析:
因为
,当且仅当时,成立,又因为,所以。
5.是否存在四个正实数,使得他们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?
解析:
设存在四个正实数使得他们两两乘积为2,3,5,6,10,16,因为四个正实数的两两乘积为,把这些乘积乘起来,所以,又为正实数,所以,所以在2,3,5,6,10,16中应存在两个数之积等于,显然这是不可能的,所以假设不成立,所以不存在四个正实数,使得他们的两两乘积为2,3,5,6,10,16。
6.和是平面上两个不重合的固定圆,是平面上的一个动圆,与,都相切,则的圆心的轨迹是何种曲线?
说明理由.
解析:
不妨设,和的半径分别为(),
(1)当和相离时,即,
(ⅰ)若与,都外切,则,,所以;
若与,都内切,则,,所以;
所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;
(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以;
若与外切,内切,则,,所以;
所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;
(2)当和外切时,即,
(ⅰ)若与,都外切,则,,所以;
若与,都内切,则,,所以;
所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;
(ⅱ)若与内切,外切,则,(或,),所以(或);
若与外切,内切,则,(或,),所以(或);
所以或,所以的圆心的轨迹是过,的直线(除直线与圆、的交点外);
(3)当和相交时,即,
(ⅰ)若与,都外切,则,,所以;
若与,都内切,则,(或,),所以;
所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线(圆、的交点除外);
(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以;
若与外切,内切,则,,所以;
所以,由椭圆的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆(圆、的交点除外);
(4)当和内切时,即,
(ⅰ)若与,都外切,则,,所以;
若与,都内切,则,(或,或,),所以(或或);
所以或,所以的圆心的轨迹是过,的直线(除直线与圆、的交点外);
(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以,所以的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆(两圆、的交点除外);
(5)当和内含时,即,
(ⅰ)若与,都内切,则,,所以,所以的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆;
(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以,所以的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆。
7.求的最小值。
2012年北约自主招生数学试题
1、求的取值范围使得是增函数;
2、求的实数根的个数;
3、已知的4个根组成首项为的等差数列,求;
4、如果锐角的外接圆的圆心为,求到三角形三边的距离之比;
5、已知点,若点是圆上的动点,求面积的最小值。
6、在中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?
7、求使得在有唯一解的;
8、求证:
若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;
9、求证:
对于任意的正整数,必可表示成的形式,其中
2012年自主招生北约联考数学试题解答
2013年北约自主招生数学试题
2013-3-16
(时间90分钟,满分120分)
一选择题(每题8分,共48分)
1.以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少()
A.2B.3C.5D.6
2.在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有多少种停放方法()
A.720B.20C.518400D.14400
3.已知,,则的值为().
A.-10B.-12C.-14D.-16
A
B
C
D
M
N
E
4.如图,在△ABC中,D为BC中点,DM平分∠ADB交AB于点M,DN平分∠ADC交AC于N,则BM+CN与MN的关系为
()
A.BM+CN>MN
B.MN+CN C.BM+CN=MN D.无法确定 5.设数列满足,前项和为,,求. 6.模长为1的复数满足,求. A.-1/2B.1C.2D.无法确定 二、解答题(每题18分,共72分) 7.最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三数之和都为素数. 8.已知,为2013个实数,满足,且…,求证. 9.对于任意的,求的值. 10.已知有个实数,排列成阶数阵,记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的,即对任意的,当时,有;现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵,记作,即对任意的,当时,有,试判断中每一行的各数的大小关系,并加以证明. 2013年北约自主招生数学试题解析 2013-3-16 (时间90分钟,满分120分) 一选择题(每题8分,共48分) 1.以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少() A.2B.3C.5D.6 【解析】显然为满足要求的多项式,其次数为5. 若存在次有理系数多项式以和为两根,则必含有因式,∴,即最小次数为5.故选C. 2.在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有多少种停放方法() A.720B.20C.518400D.14400 【解析】先排3个红色車,从6行中任取3行,有种取法;在选定的3行中第一行有6种停法,第一行选定后第二行有5种停法,第二行选定后第三行有4种停法;红車放定后,黑車只有6种停法.故停放方法共种.故选D. 3.已知,,则的值为(). A.-10B.-12C.-14D.-16 【解析】∵ , 又由,,有 ∴或. 当时,有,, ; 当时,, A B C D M N . 故选D. A B C D M N E 4.如图,在△ABC中,D为BC中点,DM平分∠ADB交AB于点M,DN平分∠ADC交AC于N,则BM+CN与MN的关系为 () A.BM+CN>MN B.MN+CN C.BM+CN=MN D.无法确定 【解析】延长ND至E,使ND=ED,连结BE、ME, 则△BED≌△CND,△MED≌△MND,ME=MN, 由BM+BE>EM,得BM+CN>MN. 5.设数列满足,前项和为,,求. 【解析】∵,,∴; 由,有时,,于是, 特征方程有重根2,可设, 将,代入上式,得,, 于是,∴. 故选A 6.模长为
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