正方形经典难题(有解析).doc
- 文档编号:184845
- 上传时间:2022-10-05
- 格式:DOC
- 页数:9
- 大小:408.50KB
正方形经典难题(有解析).doc
《正方形经典难题(有解析).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《正方形经典难题(有解析).doc(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
正方形经典难题(有解析)
已知正方形ABCD是一个正方形。
一、F为CD上一点,,G为对角线BD上一点,且FG⊥BD,
M为BG中点,连接AM、MF。
求证:
AM=MF,AM⊥MF
方法一:
考虑到M是BG中点,GF∥BC,所以想到倍长中线
证明:
延长CB、FM交于点I,连接AI、AF
∵GF⊥CD,
∴GF∥BC
∴∠GFM=∠MIB
又GM=MB,∠IMB=∠FMG
∴△GMF≌BMI
所以MF=MI,BI=GF
在Rt△ADF与Rt△ABI中
AB=AD,
DF=GF=BI
∠ADF=∠ABI=90°
∴△ADF≌△ABI
所以AF=AI,∠1=∠2
∠IAF=∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=90°
所以△IAF是一个等腰直角三角形
又MI=MF
∴△AMF是一个等腰直角三角形
所以AM=MF,AM⊥MF
方法二:
可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕M点
旋转90°的结果,条件中又有MG=MB,所以想到构造一个
三角形与△MGF全等。
证明:
延长FG交AB于J,连接JM
∵GF⊥CD
∴四边形AJDF和四边形BJFC均为矩形
所以AJ=DF=GF,BJ=CF
在△BJG中,∠JBG=45°,GJ⊥BJ,又M为BG中点
故JM=BM=GM,∠BJM=45°
∵∠DGF=45°
∴∠MGF=∠AJM=135°
在△AJM和△FGM中,
JM=GM,AJ=GF,∠MGF=∠AJM
∴△AJM≌△FGM
∴AM=MF,∠AMF=∠JMG=90°,即AM⊥MF
二、E是BC上一点,F是CD上一点,∠EAF=45°,
AE、AF分别交BD于M、N,连接MF
求证:
AM⊥MF,AM=MF
方法一:
联想到上题的图形,仍然考虑过F做CD的垂线
证明:
过F做FH⊥CD交BD于H,过F做FG⊥AF交
AE延长线于G,连接AH、HG、BG
∵∠EAF=45°
∴△AFG为等腰直角三角形
∴AF=FG
又∠AFD=∠GFH=90°-∠AFH
DF=HF
∴△ADF≌△GHF
∴HG=AD,HG⊥HF
∴HG=AB,HG∥AB
所以四边形AHGB是平行四边形
∴M是AG中点
∴△AMF为等腰直角三角形
∴AM⊥MF,AM=MF
方法二:
首先证明一个题目
四边形ABCD是一个正方形,F为CD上一点,
QD为∠ADS的角平分线,且QF=BF
求证:
QF⊥BF
证明:
过F分别向QD、BD做垂线,垂足
分别为G、H
∵AD⊥SC
∴∠GDF=∠QDS=45°
又∠BDC=45°
所以CD是∠HDG的角平分线
又HF⊥BD、FG⊥DG
∴HF=FG
在Rt△QFG和Rt△BFH中
QF=BF,HF=FG
所以△QFG≌△BFH
∴∠Q=∠DBF
∴∠QFB=∠QDB=90°
即QF⊥BF
联想到此题的做法,给出以下证明
证明:
过A做AQ⊥AE,并截取AQ=AM,连接QF,
过F分别向QD、BD做垂线,垂足分别为G、H
∵AQ⊥AM,AD⊥AB
∴∠QAD=∠MAB
又AQ=AM,AD=AB
∴△AQD≌△AMB
∴∠ADQ=∠ABM=45°
又AD⊥CD
∴∠CDG=45°
∴CD平分∠BDG
又HF⊥BD,FG⊥DG
∴HF=FG
在△AQF和△AMF中
∠QAF=∠EAF=45°
AQ=AM,AF公共
所以△AQF≌△AMF
∴QF=FM
在Rt△QFG和Rt△MFH中,
QF=FM,FG=HF
∴△QFG≌△MFH
∴∠DQF=∠DMF
∴∠QFM=∠QDM=90°
又AQ=QM,QF=FM,∠QAM=90°
易证四边形AQFM为正方形
所以AM⊥MF,AM=MF
三、E为BC上一点,F为CD上一点,∠EAF=45°,
AE、AF分别交BD于M、N,连接EF。
(1)求证:
EF=BE+DF。
考虑使用截长补短来证明
证明:
在CD延长线上截取DG=BE,连接AG
AB=AD,∠ADG=∠ABE=90°,DG=BE
∴△ADG≌△ABE
∴AG=AE,∠GAD=∠EAB
∴∠GAE=∠DAE+∠GAD=∠DAE+∠BAE=90°
∵∠EAF=45°
∴∠GAF=45°
又AG=AE,AF公共
所以△GAF≌△EAF
∴EF=GD+DF=BE+DF
(2)求证:
∠AFD=∠AFE=∠AMN,∠AEB=∠AEF=∠ANM
证明:
∵△GAF≌△EAF
∴∠AFD=∠AFE
在△DNF和△ANM中,
∠NAM=∠NDF=45°
∠DNF=∠ANM
∴∠AFD=∠AMN
∴∠∠AFD=∠AFE=∠AMN、
同理可得∠AEB=∠AEF=∠ANM
(3)求证:
联想到勾股定理,所以考虑把三条线段移到一个直角三角形中
证明:
过A做AH⊥AM,并截取AH=AM,连接HN,HD
显然有∠HAD=∠MAB,AH=AM,AD=AB
∴△HAD≌△AMB
所以HD=BM,∠HDA=∠ABD=45°
∴HD⊥DN
∵∠MAN=45°
∴∠HAN=45°
又AH=AM,AN公共
∴△ANH≌△ANM
∴HN=MN
在△HDN中,
即
(4)求证:
构造直角三角形,应用勾股定理
证明:
过N分别向AD、AB做垂线,垂足分别为I、J
显然有
所以
同理有
(5)连接NE、MF,求证:
AM=MF,AM⊥MF;AN=NE,AN⊥NE
见第二题
(6)求证:
注意到△AMF是等腰直角三角形,AD⊥DF,回归到基本图形
下面给出一种证明
证明:
过M做ML⊥DM交DA延长线于L
则△LMD为等腰直角三角形
∴LM=DM,∠L=∠MDF=45°
又∠LMA=∠DMF=90°-∠AMD
∴△LAM≌△DFM
∴LA=DF
∴
同理可得
(7)过M向CF做垂线,垂足为P,求证:
P为CF中点;
过N向CE做垂线,垂足为Q,求证:
Q为CE中点。
证明:
连接MF,CM
在△AMB和△CMB中
AB=BC,∠ABM=∠CBM=45°,BM公共
∴△AMB≌△CMB
∴AM=CM
由第二题结论,AM=MF
∴MF=CM
则△FMC是等腰三角形
又MP⊥CF
∴P为CF中点
同理,Q为CE中点
(8)求证:
证明:
过M做MT⊥BE于T
则△BMT为等腰直角三角形
∴
由(7)的结论,CF=2CP=2MT
∴
同理
(9)求证:
证明:
由(3)的结论,
由(8)的结论,
∴
∴
即
(10)过F做CD的垂线FR交BD于R,求证:
RM=BM
证明:
延长FR交AM于S,交AB于T,连接TM、MF
由第二题的结论有,AM=MF,AM⊥MF
∵FT⊥AB,∠AST=∠FSM
∴∠TAS=∠SFM
又AT=DF=RF
∴△ATM≌△FRM
∴TM=RM
又△RTB为等腰直角三角形
∴RM=MB
(11)分别过E、F向BD做垂线,垂足分别为S、R
求证:
看到(10)中的结论,此题迎刃而解
证明:
过F做FT⊥CD交BD于T
则△DFT为等腰直角三角形
又RF⊥DT
∴DR=RT
又由(10)中结论有TM=BM
∴
同理有
(12)求证:
证明:
连接MF、NE,过N做AE的垂线NK交AE于K
由第二题的结论,
△ANE和△AMF均为等腰直角三角形
∴KN=AK=KE
∵
∴
(13)P为EF中点,连接PM、PN
求证:
△PMN是等腰直角三角形
证明:
连接MF,由第二题的结论
∠EMF=90°
又P为EF中点
∴
同理有
∠1=180°-2∠AEF
∠2=180°-2∠AFE
又∠AEF+∠AFE=180°-∠EAF=135°
∴∠1+∠2=90°
∴∠MPN=90°
∴△PMN是等腰直角三角形
(14)过M、N分别做AB、AD的平行线交于点Q,
连接AQ,求证:
AQ⊥EF,AQ=QM=QN
证明:
由(13)的结论,△PMN为等腰直角三角形
∵QM∥AB
∴∠QMN=∠ABD=45°
同理∠QNM=45°
∴△QMN为等腰直角三角形
∴四边形PNQM为正方形
连接NE
由第二题结论,∠ANE=90°
∴∠ANQ=∠PNE=90°-∠QNE
又AN=NE,QN=PN
∴△ANQ≌△ENP
∴∠NAQ=∠NEP,AQ=PE
又PE=NP=QN=QM
∴AQ=QM=QN
延长AQ交EF于H
∵∠NEP+∠NFE=90°
∴∠NAQ+∠NFE=90°
∴AQ⊥EF
(15)已知正方形边长为a,令DF=x,BE=y,
请问x、y之间有何数量关系?
解:
由
(1)中结论
EF=DF+BE=x+y
CF=a-x,CE=a-y
∵
∴
展开,整理得
∴
∴
四、如图,已知正方形纸片ABCD,E为BC延长线上一点,
F为边AB上一点,将纸片沿直线EF翻折,点B恰好落在
AD边上的点G,连接GE交CD于H点。
若AG=2,CH=3,
求正方形边长。
解:
过B向GH做垂线BM,垂足为M
连接BG、BH
由于△GFE是由△BFE翻折得到
所以很容易得到
∠BGE=∠GBE
∵AD∥BC
∴∠GBE=∠AGB
∴∠AGB=BGE
又∠BAG=∠BMG=90°
BG公共
∴△AGB≌△MGB
∴GM=AG,∠ABG=∠GBM
同理有MH=CH,∠CBH=∠MBH
∴∠GBH=∠GBM+∠MBH=°
设正方形ABCD边长为a,
由第三题(15)问结论有,
解得,舍去
∴正方形边长为6
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 正方形 经典 难题 解析