多元函数微分学总结文档格式.docx
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Po的
路径,注意总结其选择路径的规律。
1-cos、xy
(x,yl'
^0^7^ex7_1
1-cos:
xy
1(^exy)-1
【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换,也可以先将分母有理化,进行等价无穷小代换。
解:
1-cosJxy
(」出0,0)J2_exy一厂(」出0,0)
limxylim型=-1
(x,y)「(0,0)1_exy2(x,y)—(0,0)_xy
【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则,求
法一般不难,这里不再多举例子。
T-x3y2
(x,y)=(0,0)
例3设f(x,y)Jx2十y2,证明函数f(x,y)在点(0,0)连
0,(x,y)=(0,0)
【分析】:
通过观察分子、分母中变量x,y的各次幕的特点,可以看出f(x,y)
在(0,0)点的极限存在且为0,但不易利用例2中的评注直接求解,可以考虑将点(x,y)转化成极坐标来表示。
证明:
(x,y^0,0)
f(x,y)
X「cos"
「sizlim「2(;
S曲讥0二
f(0,0)
f(x,y)在点(0,0)连续。
2.偏导数的概念
二元函数的偏导数的概念:
设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义.
如果极限limf(x0xyo)-f(x0,y0)存在则称此极限为函数z=f(x,y)在点
(Xo,yo)处对x的偏导数.记作
盘
x=X.
cf
X=X0■Zx
dx
y=y。
■或fx(x0,y°
)。
y=y°
如果极限lim
®
T0
f(xo,yo-:
y)-f(x0,yo)存在则称此极限为函数z=f(x,y)在点
(xo,y°
)处对y的偏导数,记作
X=x0•zy
X%-或fy(X0.y°
).y詼
X2-y4
例4设f(X,y)二e,则函数在原点偏导数存在的情况是
Afx(0,0)存在,fy(0,0)存在Bfx(0,0)存在,fy(0,0)不存在
Cfx(0,0)不存在,fy(0,0)存在Dfx(0,0)不存在,fy(0,0)不存在
(研)
解:
应选【C】
ex204
X
e-1
皿小叭爲Pm0x—0
xxx
因为lime=lime=1,lime-=—1
-x
y+x-0xt+x_07_x_0
故lim■-lime-,所以fx(0,0)不存在。
x7x—0xa-x-0
J0^1fy(°
0)弋叫亍厂
y22
e-1y
limlim0
yQy_0y>
0y
所以fy(0,0)存在。
故选【C】。
【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数,必要时需要用偏导数定义讨论偏导数,与一元函数类似,是重要考点。
x2y2
例5设(x,im(0,0)f(x,y23V4^2,则2fx(0,0)fy(0,0)二
(2008-北京赛).
【分析】为了利用偏导数的定义求出fx(0,0)和fy(0,0),需要写出函数的表
达式,为此要想到利用结论:
!
叫呼)"
=伯"
:
其中』叮"
。
f(x,y)+3x-4y=2
f(x,y)3x「4y
*,其中(侧0,0)_°
从而f(x,y)二-3x4y2(x2y2^<
s(x2y2),
fx(0,0)pmf(0x,0)—f(0,0)
x-O
二lim
x=0
22
一3x2x‘X一°
「3
fy"
(0,0)=㈣
f(0,0y)-f(0,0)
y-0
4y+2yy-0=lim4
故2fx(0,0)fy(0,0)—64=2。
【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量,是有关极限分
析过程中常用的思想。
3.全微分概念及以上几个概念之间的关系
二元函数全微分的概念:
如果函数z二f(x,y)在点(x.y)的全增量
z=f(x:
x,yy)-f(x,y)可表示为
.z=^A.xByo(-)(Q=、(Ix)L([y)2)则称函数Z=f(x,y)在点(x.y)可微
分.而称AxBy为函数z=f(x,y)在点(x.y)的全微分.记作dz即
dz=A=xB=y
关系:
偏导连续二可微二偏导存在;
可微二连续;
但偏导存在冷可微;
连续=:
•偏导存在
【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。
—山ixysin,=,(x,y)#(0,0),」
例6设f(x,y)={『jx〒7,
(1)f(x,y)在(0,0)点
Q(x,y)=(0,0)
是否连续?
(2)求fx(x,y);
(3)f(x,y)在(0,0)点是否可微;
(4)fx(x,y)在(0,0)点是否连续。
(天津工业大学竞赛题)
【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分
的定义。
解
(1)由夹逼准则
0勻f(x,y)=
因此鳥)%)f(x,y)"
=f(o,o),故f(x,y)在(o,°
)点连续。
(2)当(x,y)=(0,0)时
1
fx(x,
x1
y)=2xsincos—=
222222
xyxyxy
当(x,y)=(0,0),利用偏导数的定义得
fx(0,0)二讥
f(0:
x,0)-f(0,0)
Ax
r|2xsin
故fx\x,y)=’
x
.x2y2
(x,y)=(0,0)
同理可得
|1y1
”2ysin,22一,22cos■22,(x,丫)式(0,0)
fy(x,y)=<
Jx+yJx+yJx+y
⑶为了考察f(x,y)在(0,0)点是否可微,我们来考察
.z-[fx(0,0rxfy(0,0^y]是否为(:
x)2(y)2的高阶无穷小,因为
一0(二x—0,二y—0),
△x心ysin1
J(&
)20)2J(Ax)2+(Ay)2
故1叫±
f竺,
即■:
z-[fx(0,0):
x-fy(0,0)「:
y=0(,)
z—[fx(0,0).:
x—fy(0,0).:
y]
所以f(x,y)在(0,0)点可微。
(4)由于(x,沪具
(2xsincos)
(0,0)222222Z
不存在,所以fx(x,y)在(0,0)点不连续。
【评注1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性,既是重点也是难点,需掌握。
【评注2】若f(x,y)在(0,0)点连续,且偏导数存在,则判别f(x,y)在(0,0)
点是否可微,需考察・迂-[fx(0,0Lafy(0,0/y]是否为―、Cx)2(勺)2的高阶无穷小。
【评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件,而非必要条件。
【评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。
例7设函数f(x,y)=|x-y|:
:
(x,y),其中(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连
续,证明:
f(x,y)在点(0,0)处可微的充要条件为(0,0)。
(2007-天津赛)
(必要性)已知fx,y在点(0,0)处可微,故fx0,0与fy0,0都存在。
而
fx0,0=lim0
xmx,°
e°
。
讪
x)0
屮(x,0)
其中lim凶心,叭進,0),讪|XW_「(o,o),由于fx°
存在,故
xP'
xx卩一x
0,0=0。
(充分性)已知:
0,0=0,类似于必要性的过程容易推出
fx(0,0)fy0,(0,欲证f(x,y)在点(0,0)处可微,只需证
f(x,y)—f(0,0)—fx(0,0)x—fy(0,0)y
=(x,y'
)im(0,0)
|x-y|「(x,y)
'
注意到:
|x-y||x||y|,
x2y2x2y2x2y2
(x,y)im(0,0)
o
x-y「x,y
所以
又(x,y'
jm(0,0)
x,y=0,0=0,由夹逼定理知
(J)%
x-yx,y
0o
从而fx,y在点(0,0)处可微,并且dfx,y]=0
【评注】此题是一元函数中的重要结论“设:
(x)在x二a点连续,则
f(x)=|x-ap(x在x二a可导的二(a)=0”在多元函数中的推广,但证明过程要比一元函数复杂的多。
题型2多元函数的偏导数的计算
1.复合函数求导
例8设函数F(x,y,z)二:
罟2dt,
■2.
则竺
(2011-研)
x-0
y三
主二ysinxy,为了计算简便,
x1(xy)2
由偏导数的定义,
可得
『F
-2
2sin2X\,
=(…2)
x-o14x2
y=2
x-0
4(1+4x)cos2x—16xsin2x
(14x2)2
【评注】fxXo,yo=fxX,yxw,y=yo
fyXo,yo二fyx,y
X函y二y°
二4o
同时fx^’y。
•叫
,同时fyXo,yo二df(x°
y),
dy
利用后者往往可以大大简化计算,此例的解答就是利用的后者。
例9设z=fxy上+g‘yi,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续
<
y丿m丿
__2厂2
导数。
求二,「—。
(2005-天津赛)
次dxdy
【分析】本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题。
z1y
—=yfi—f2-Eg,
.xyx
?
z
_x
=yyfii
+—
1”)yf21+—f22
f12
y
y丿
丄
3x
纠gEg
2f12
r
上"
r”
x”
f1+y
xf11—2
f2+—
xf21
-2f
22
y
丿
J
x:
2z
1■—gx
Eg
f2xyfn--xrf22-丄g--^g
yyxx
【评注1】多元复合函数的求导法则是重点,应理解链式法则的内涵。
常见的链式法则有:
zdzru;
zdz:
u
-
xdu;
x;
ydu:
②z二f(u,v),u=「(x),vJ-(x):
dz
zdu;
zdv一:
udx:
vdx
3z二f(u,v),u二(x,y),vJ(x,y):
立R立卫,旦fM屯
exduexcvex列cudycvcy
4z=f(u.x.y)且u=(xy):
立二立辿立=立.辿•立屯
excuexcycucycvdy
其它情形可以此类推,此例中就涉及到①和③。
【评注2】若f具有二阶连续偏导数,则f12二f2;
注意将此两项进行合并
例10设z=f[(2xy,x2)],这里f可导且具有连续偏导数,求-z,-z
excy
三=f「(2xy,x2)]f「(2xy,x2)]:
;
2y;
2x1
=2(x1y2)f[(2xy,x2)]
-=f[:
(2xy,x2)]「f[:
(2xy,x2)];
12x;
0】:
y_y
=2xif[・(2xy,x2)]
求土,巴
xjz
【评注】注意区分何时该用全导数记号,何时该用偏导数记号。
例11设u=f(x,y,z),又y=(x,t),t=(x,z),
由上述表达式可知x,z为自变量,所以
^=fx'
fy'
x'
「x'
=fx'
f.x;
a=fy'
iXfz^fy'
t
Z:
y'
\
fy'
C
fZ、fy'
「z'
f
【评注】类似于一元函数,对于多层的复合关系,先要分清变量间的关系,
然后逐层利用复合函数的链式法则即可。
u=xay-z;
2z1.:
z■z
―把万程一-y—=0化为=0,试确
2y:
x;
y2:
y:
u:
v
例12设变换<
v=x
定a.(2003-天津赛)。
【分析】利用变量替换,借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形,
见题型,这里注意把握好乙—,—与中间变量u,v及自变量x,y的树形关系:
计算
.Z:
z:
u:
Z
=TJ
.x:
u:
x:
、二阶偏导数:
v:
I=十
cv,
Z-Z-:
uN
=r
y;
a;
z1
■■-f-*.
c厂a.
2、y:
—」a三三,
.y...y2:
v
「X
-2-2
近2Z
.u:
wv
■y
-1
-2:
-_2
.u
2-2-2
_aZaz一1
4..y;
代入方程
-2-2.
一一1■z
~_y2_
衣:
=0,得到
二z
$2
(1)—|(2—a)—-=0
2:
y4:
u:
以题意有
(-2
ia0
.T=0,所以a=—2.
—a式0
例13设二元函数ux,y具有二阶偏导数,且ux,y=0,证明ux,y=fxgy
的充要条件为:
u「u二"
uo(2009-天津赛)
x_:
y:
(必要性)若ux,y=fxgy,
---2_2则巴二fxgy,兰二fxgy,—^=fxgy,显然有u—
yxy:
.:
uju
o
jx:
-2-
(充分性)若u」u
c^cyex
a,则u厶a
jujuc
二0,
II
由于ux,y-0,所以
-:
£
u「£
u)cucuu——I-————
创®
l、-
y小02
=0,因此如不含y,故可设匹二「xo从而有
x
Inu二xdx书y,
u=e仏號Qy=e;
xdx&
y,
即ux,y]=fxgy。
【评注】此题的难点在充分性的证明上,注意是涉及到了关于商的偏导数运算法则的逆运算,看似简单,实际上非常能考察大家的基本功。
2.隐函数求导
例14设有三元方程xy-z|ny^1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)
的一个邻域,在此邻域内该方程()
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数“z(x,y);
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和“z(x,y);
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和“z(x,y);
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和八y(x,z)。
(2005-研)
应选[D]
令F(x,y,z)二xy-zInye^-1,
显然F(x,y,z)二xy「zInye^-1在(0,1,1)点的一个邻域内具有连续的偏导
数导数,且F(0,1,1)=0,而F(O,1,1)=y+zeq(oii)=2式0,
Fy(0,1,1)=x-三
Y7
--1=0,Fz(0,1,1)--Inyxe
(0,1,1)=°
(0,1,1)
故可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)。
【评注】本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解。
例15设z=zx,y是由ze^xy所确定的二元函数,求:
天津赛)。
【分析】此例是最基本的隐函数求导问题,可以直接利用隐函数的求导公式:
立二-实空--空,也可以方程F(x,y,z)=0两边分别对x,y求偏导数。
解1:
利用隐函数的求导公式。
令F(x,y,z)=z+ez—xy,则由隐函数的求导公式得
-y
.zFy
.=x
Fz
1ez1e
1ez1ez'
-ye
-:
2z
x-ye
z:
-yery
-xye
1ez21ez
=x=y
1ez
1ez3
解2:
将等式ze^xy两边分别对
x,y求偏导数:
y,
x1ez'
三e
—=x,
.71ez'
-2-ye
zy:
1ez-yez三
胶(1+ezfft+ez3
1ez1ez
【评注】-般地,若利用十寺,乙卫求隐函数的二阶偏导数时,应
注意到z仍然是x,y的函数,需进一步利用复合函数的求导法则去求,这是难点。
=0确定的隐函数,其中F具
例i6设函数z=z(x,y)是由方程F(z」,z-丄)
xy
有连续的二阶偏导数,且Fu(uv>
Fvdv,=)
求证:
x2二•y2空=0和
3?
_2_2
xy(xy)zy3z=0。
(20ii-北京赛)
Fi
令G(x,y,z)=F(z■—,z--),则由隐函数的求导公式得y
zGx
=x
Gz
FiF2x2(FiF2)
Gy
F2
FiF2y2(FiF2)
由于Fu(u,v)二Fv(u,v)=0,
所以x2^
ex
X(FiF2)
y2(F;
F2/FiF
将等式x2二•y2^=0两边分别对x,y求偏导数,得到
ex&
2x」Ty
2「Z
=0,
f-.'
「y「x
即xTy2—「2x二
.L]厶l、f-.
y:
X2—z2yUy
2.2z
丿y2=0
L、wl、厶
「X:
2:
Z2:
Z;
Xyr=「2y—,
cy
将上面的第一个式子两边同乘
X,第二个式子两边同乘
y,然后相加并注意到
X2二y2二=0和
-x:
xy:
,得到X3匸z
"
2z3;
2xy(xy)y厂0
x-y:
【评注】在证明第二个等式时,若先利用史、的表达式去求三个二阶偏导
数,再代入待证明的等式的左端,显然很麻烦,而设法利用第一问的结果,两边同时对x,y求偏导,问
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