人教版八年级下册数学教案Word文档下载推荐.docx

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，∠A=60°

，根据题设可知什么？

由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°

。

在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。

让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？

为什么？

小结：

可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

并指出如何作辅助线？

解略。

例3（补充）已知：

如图，∠B=∠D=90°

，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。

解：

延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°

，∠B=90°

，∴∠E=30°

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=

=

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

AB·

BE-

CD·

DE=

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

例4（教材P76页探究3）

利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

变式训练：

在数轴上画出表示

的点。

六、课堂练习

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。

3．△ABC中，∠C=90°

，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。

4．已知：

如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，

求S△ABC。

七、课后练习

1．在Rt△ABC中，∠C=90°

，AB=。

2．在Rt△ABC中，∠C=90°

，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=。

3．已知：

如图，在△ABC中，∠B=30°

，∠C=45°

，AC=

求

（1）AB的长；

（2）S△ABC。

4．在数轴上画出表示－

课后反思：

八、参考答案：

课堂练习：

1．30cm，300cm2；

2．90，60，30，4，

；

3．2，

，3，1，

4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，

S△ABC=

AC·

BD=254；

课后练习：

1．4；

2．5，12；

3．提示：

作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=

，BC=2+

，S△ABC==2+

4．略。

18．2勾股定理的逆定理

（一）

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

掌握勾股定理的逆定理及证明。

勾股定理的逆定理的证明。

例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；

若不相等，则不是直角三角形。

创设情境：

⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？

和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半。

⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

例2（P82探究）证明：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

求证：

∠C=90°

⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

⑵要证∠C=90°

，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°

，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形。

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17

B．a=9，b=12，c=15

C．a=

，b=

，c=

D．a：

b：

c=2：

3：

4

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=

⑵a=5，b=7，c=9；

⑶a=2，b=

⑷a=5，b=

，c=1。

七、课后练习，

1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°

，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2．填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；

若a2＜b2－c2，则∠B是。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形。

3．若三角形的三边是⑴1、

、2；

⑵

⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；

则构成的是直角三角形的有（）

A．2个B．３个　　　　　Ｃ．４个　　　　　　Ｄ．５个

⑴a=9，b=41，c=40；

⑵a=15，b=16，c=6；

，c=4；

⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。

八、参考答案：

1．对，错，错，对；

2．D；

3．D；

4．⑴是，∠B；

⑵不是；

⑶是，∠C；

⑷是，∠A。

1．⑴如果a2＞0，那么a3＞0；

假命题。

⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；

真命题。

⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；

⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；

2．⑴逆命题，逆定理；

⑵内错角相等，两直线平行；

⑶直角，∠B，钝角；

⑷直角。

3．B4．⑴是，∠B；

⑵不是，；

⑷是，∠C。

18．2勾股定理的逆定理

（二）

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

例1（P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

例1（P83例2）

⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×

1.5=18，PQ=16×

1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°

，问：

甲巡逻艇的航向？

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°

1．向正南或正北。

2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2；

3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°

，所以有∠CAB=40°

，航向为北偏东50°

1．6米，8米，10米，直角三角形；

2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。

连结AC。

AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°

S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米。

18．2勾股定理的逆定理（三）

1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

利用勾股定理及逆定理解综合题。

例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

本题辅助线作平行线间距离无法求解。

创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。

例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

⑴移项，配成三个完全平方；

⑵三个非负数的和为0，则都为0；

⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；

⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；

⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·

BD。

△ABC是直角三角形。

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·

BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；

B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；

D．等腰直角三角形。

2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：

c=1：

，试判断△ABC的形状。

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，AD=3，且AB⊥BC。

在△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，且CD2=AD·

△ABC中是直角三角形。

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

△ABC是等腰三角形。

如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

AB2=AE2+CE2。

4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形状。

1．C；

2．△ABC是等腰直角三角形；

3．

4．提示：

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=

AD2+2AD·

BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°

1．6；

2．提示：

因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。

有AC2=AE2+CE2得∠E=90°

由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°

，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2。

直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。

又因为c2=14，所以a2+b2=c2。

第十九章平行四边形

19.1.1平行四边形及其性质

（一）

一、教学目标：

1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．

3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．

二、重点、难点

1．重点：

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．

2．难点：

运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．

1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

你能总结出平行四边形的定义吗？

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）表示：

平行四边形用符号“

”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“

ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

①∵AB//DC,AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；

②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．

注意：

平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）

2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？

我们一起来探究一下．

让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？

度量一下，是不是和你猜想的一致？

（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．

（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）

（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．

下面证明这个结论的正确性．

已知：

如图

ABCD，

AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．

作

ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）

证明：

连接AC，

∵　AB∥CD，AD∥BC，

∴　∠1＝∠3，∠2＝∠4．

又　AC＝CA，

∴　△ABC≌△CDA（ASA）．

∴　AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．

又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，

∴　∠BAD＝∠BCD．

由此得到：

平行四边形性质1　　平行四边形的对边相等．

平行四边形性质2平行四边形的对角相等．

例1（教材P93例1）

例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，

AF=CE．

要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．

证明略．

六、随堂练习

1．填空：

（1）在

ABCD中，∠A=

，则∠B=度，∠C=度，∠D=度．

（2）如果

ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=度，∠B=度，∠C=度，∠D=度．

（3）如果

ABCD的周长为28cm，且AB：

BC=2∶5，那么AB=cm，BC=