学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后培优训练附答案Word下载.docx
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16.如图,已知等边三角形ABC的边长为3,过AB边上一点P作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,取PA=CQ,连接PQ,交AC于M,则EM的长为 .
17.如图,已知AE=BE,DE是AB的垂直平分线,BF=12,CF=3,则AC= .
18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
.AC的垂直平分线交BC于F,交AC于E,交BA的延长线于G,若EG=3,则BF的长是 .
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线交AB于点D,交BC的延长线于点E,交AC于点F,若∠A=50°
,AB+BC=6,则△BCF的周长= ,∠EFC= 度.
20.如图△ABC中,AB=AC,点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点,且BE=CD,CF=BD.若∠EDF=50°
,则∠A的度数为 .
21.已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°
,求∠B和∠BAC的度数.
22.如图,△ABC中AB=AC,BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA,BD交AC于F,连接AD.
(1)求证:
AD平分∠GAC;
(2)求证:
AD∥BC.
23.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CD分别平分∠EBA,∠ECA,BD交AC于F,连接AD.
(1)当∠BAC=50°
时,求∠BDC的度数;
AD∥BE.
24.
(1)如图1,已知:
在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则图中共有 个等腰三角形;
EF与BE、CF之间的数量关系是 ,△AEF的周长是
(2)如图2,若将
(1)中“△ABC中,AB=AC=10”改为“若△ABC为不等边三角形,AB=8,AC=10”其余条件不变,则图中共有 个等腰三角形;
EF与BE、CF之间的数量关系是什么?
证明你的结论,并求出△AEF的周长
(3)已知:
如图3,D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢?
直接写出结论不证明.
25.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,BC平分∠ABF,BF=
AE.
求证:
(1)DE=DF;
(2)AC=3BF.
26.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F,AE=1,求BF的长.
27.如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在BC所在的直线上,点E在射线AC上,且AD=AE,连接DE.
(1)如图①,若∠B=∠C=35°
,∠BAD=80°
,求∠CDE的度数;
(2)如图②,若∠ABC=∠ACB=75°
,∠CDE=18°
,求∠BAD的度数;
(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.
参考答案
1.解:
(1)面积相等的两个三角形不一定全等,原命题是假命题;
(2)无理数包含正无理数和负无理数,原命题是假命题;
(3)在直角三角形中,两条直角边长为n2﹣1和2n,则斜边长为n2+1,是真命题;
(4)等腰三角形面积为12,底边上的高为4,则腰长为5,是真命题.
故选:
B.
2.解:
当50°
为底角时,
∵∠B=∠ACB=50°
,
∴∠BCD=90°
﹣50°
=40°
;
为顶角时,
∵∠A=50°
∴∠B=∠ACB=65°
﹣65°
=25°
.
3.解:
延长ED交BC于点G,作DF⊥AB于点F,作DH⊥AC于点H,
∵DE∥AC,∠C=90°
∴∠BGE=∠C=90°
∴EG⊥BC,
∴∠DGC=∠DHC=∠C=90°
∴四边形DGCH为矩形,
∵AD平分∠BAC,BD平分∠ABC,DF⊥AB,DH⊥AC,DG⊥BC,
∴DF=DM,DG=DF,
∴DH=DG,
∴四边形DGCH为正方形,
在Rt△BDG和Rt△BDF中,
∴Rt△BDG≌Rt△BDF(HL),
∴BF=BG,
同理可得:
Rt△AHD≌Rt△AFD,
由勾股定理可得:
AB2=AC2+BC2=100,
∴AB=10,
设CH=CG=x,则AH=6﹣x,BG=8﹣x,
∴AF=6﹣x,BF=8﹣x,
∴AB=10=AF+BF=6﹣x+8﹣x=14﹣2x,
即14﹣2x=10,
解得:
x=2,
∴DE=EG﹣DG=4.5﹣2=2.5,
4.解:
∵DE是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13,
5.解:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵BD∥AE,
∴∠BAE=∠ABD,∠E=∠DBC,
∴∠BAE=∠E=35°
,∠ABC=70°
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=70°
∴∠BAC=180°
﹣70°
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=35°
+40°
=75°
D.
6.解:
∵∠AOB=60°
,OC平分∠AOB,
∴∠AOC=30°
①当D在D1时,OD=PD,
∵∠AOP=∠OPD=30°
∴∠ODP=180°
﹣30°
=120°
②当D在D2点时,OP=OD,
则∠OPD=∠ODP=
(180°
)=75°
③当D在D3时,OP=DP,
则∠ODP=∠AOP=30°
综上所述:
120°
或30°
7.解:
设BD=x,则CD=12﹣x,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°
∴∠BDE=30°
,∠CDF=30°
∴BE=
BD=
同理可得,CF=
∴BE+CF=
+
=6,
8.解:
如图,
①以A为圆心,AB为半径画圆,交直线AC有二点M1,M2,交BC有一点M3,(此时AB=AM);
②以B为圆心,BA为半径画圆,交直线BC有二点M5,M4,交AC有一点M6(此时BM=BA).
③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB),交直线BC于点M8;
∴符合条件的点有8个.
故答案为:
8.
9.解:
①如图1中,当D在线段AB上时,作AE⊥DC于E,AF⊥BC于F.
∵∠D=30°
∴AE=
AD,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF=
BC,
∵AD=BC,
∴AE=CF,
又∵∠AEC=∠CFA=90°
,AC=CA
∴Rt△AEC≌Rt△CFA(HL),
∴∠ACE=∠CAF=∠BAF,
∵∠BDC=∠DAC+∠ACD=30°
∴∠BAC=20°
②如图2中,当D在BA的延长线上时,作AE⊥DC于E,AF⊥BC于F.
同法可证Rt△AEC≌Rt△CFA(HL),
∴AF∥CD,
∴∠BAF=∠D=30°
∴∠BAC=2∠BAF=60°
③如图3中,当∠BAC是钝角时,D在BA的延长线上时,作AE⊥DC于E,AF⊥BC于F.
∴∠ACE=∠CAF=∠BAF,设∠ACE=∠CAF=∠BAF=x,
∵∠ACE=∠CAD+∠D,
∴x=180°
﹣2x+30°
∴x=70°
∴∠BAC=140°
20°
,60°
,140°
10.解:
(1)当AB的中垂线MN与AC相交时,
∵∠AMD=90°
∴∠A=90°
﹣46°
=44°
∴∠B=∠C=
=68°
(2)当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时,
∴∠DAB=90°
∠DAB=22°
68°
或22°
11.解:
∵∠AED=∠C+∠EDC=∠C+15°
,∠ADE=∠AED,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠C+30°
又∠ADC=∠B+∠BAD,∠B=∠C,
∴∠BAD=30°
故答案为30°
12.解:
如图①,△ABC中,AB=AC=6cm,CD⊥AB且CD=3cm,
∵△ABC中,CD⊥AB且CD=
AB=3,AB=AC=6cm,
∴CD=
AC,
∴∠A=30°
如图②,△ABC中,AB=AC=6cm,CD⊥BA的延长线于点D,且CD=3cm,
∵∠CDA=90°
,AB=AC=6cm,CD⊥BA的延长线于点D,且CD=3cm
∴∠DAC=30°
∴∠A=150°
30或150.
13.解:
如图:
△ABC中,∵BA=BC,∠C=50°
∴∠BAC=∠C=50°
,∠ABC=180°
=80°
∴∠BAC的外角为=∠1+∠2=∠C+∠B=50°
+800°
=130°
∠BCA的外角=∠3+∠4=∠B+∠BAC=80°
+50°
又∵AD,CD分别是∠BAC,∠BCA的外角平分线
∴∠1=∠2=
×
130°
=65°
,∠3=∠4=
过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F
∵∠2=∠3=65°
∴AD=DC
∵∠1=∠4
∴Rt△ADE≌Rt△CDF
∴DE=
DF
∴BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD=
∠ABC=
80=40°
∵∠BAD=∠BAC+∠2=50°
+65°
=115°
∴∠ADB=180°
﹣40°
﹣115°
故填25.
14.解:
∵∠ABC=60°
∴∠CAB+∠ACB=120°
∵等边△ACD,
∴AC=CD,∠ACD=60°
∴∠ACB+∠DCE=120°
∴∠CAB=∠DCE.
过点C作CP⊥AB于点P,
∴∠APC=90°
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°
在△DCE和△CAP中,
∴△DCE≌△CAP(AAS).
∴CE=AP=3.
∵AB=5,
∴BP=2.
在Rt△BPC中,∠B=60°
∴BC=2BP=4.
故答案为4.
15.解:
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCB=
∠ACB,
∴∠BPC=180°
﹣(∠PBC+∠PCB)=180°
﹣(
∠ABC+
∠ACB)
=180°
﹣
(∠ABC+∠ACB)=180°
﹣∠BAC)=90°
∠BAC,
即∠BAC=2∠BPC﹣180°
如图,连接AO.
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB,
∴∠AOB=180°
﹣2∠OAB,∠AOC=180°
﹣2∠OAC,
∴∠BOC=360°
﹣(∠AOB+∠AOC)
=360°
﹣(180°
﹣2∠OAB+180°
﹣2∠OAC),
=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC=2(2∠BPC﹣180°
)=4∠BPC﹣360°
4∠BPC﹣360°
16.解:
过P作PF∥BC交AC于F,如图所示:
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFM=∠QCM,∠APF=∠B=60°
,∠AFP=∠ACB=60°
,∠A=60°
∴△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,
∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ,
在△PFM和△QCM中,
∴△PFM≌△QCM(AAS),
∴FM=CM,
∵AE=EF,
∴EF+FM=AE+CM,
∴AE+CM=ME=
∵AC=3,
∴ME=
17.解:
∴AF=BF
∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15.
18.解:
∵AC的垂直平分线FG,
∴AE=EC,∠AEG=∠AEF=90°
∵∠BAC=120°
∴∠G=∠BAC﹣∠AEG=120°
﹣90°
=30°
,AB=AC,
﹣∠BAC)=30°
∴∠B=∠G,
∴BF=FG,
∵在Rt△AEG中,∠G=30°
,EG=3,
∴AG=2AE,
即(2AE)2=AE2+32,
(负数舍去),
即CE=
同理在Rt△CEF中,∠C=30°
,CF=2EF,
(2EF)2=EF2+(
)2,
∴EF=1(负数舍去),
∴BF=GF=EF+CE=1+3=4,
4.
19.解:
已知DF垂直且平分AB⇒AF=BF,AD=BD,∠A=∠ABF=50°
,∠ADF=90°
∠EFC=180°
﹣∠A﹣∠ADF=40°
(对角相等)
因为AB+BC=6,AB=AC=BF+FC
故周长△BCF=FC+BF+BC=6.
故填6;
40°
20.解:
∴∠B=∠C,
在△BDE与△CDF中,
∴△EBD≌△DCF(SAS).
∴∠BDE=∠CFD,
∵∠EDF=50°
∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°
∴∠C=50°
∴∠C=∠B=50°
∴∠A=180°
80°
21.解:
在△ABC中,AB=AD=DC,
∵AB=AD,在三角形ABD中,
∠B=∠ADB=(180°
﹣26°
)×
=77°
又∵AD=DC,在三角形ADC中,
∴∠DAC=∠C,
∵∠ADC=∠DAC+∠C,
∴∠ADC=∠C=
=38.5°
∴∠BAC=26°
+38.5°
=64.5°
22.
(1)证明:
过点D作DN⊥BA,DK⊥AC,DM⊥BC,垂足分别为点N、K、M.
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA,DN⊥BA,DK⊥AC,DM⊥BC,
∴DM=DN=DK,
∴AD平分∠GAC,∠ABD=∠DBC,
∴∠GAD=∠DAC,
∴AD平分∠GAC.
(2)证明:
∵∠GAC=∠ABC+∠ACB,∠GAD=∠DAC,
又∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠GAD=∠ABC,
∴AD∥BC.
23.
(1)解:
∴∠ABC=∠ACB=
)=65°
∴∠ACE=115°
∵BD,CD分别平分∠EBA,∠ECA,
∴∠DBC=
ABC=32.5°
,∠ECD=
∠ACE=57.5°
∴∠BDC=∠DCE﹣∠DBC=25°
作DN⊥BG于N,DK⊥AC于K,DM⊥BC于M,如图,
∴DM=DN,DK=DM,
∴DN=DK,
∴AD平分∠GAC,
∴∠NAD=∠KAD,
∵∠NAC=∠ABC+∠ACB,
即∠NAD+∠KAD=∠ABC+∠ACB,
∴∠NAD=∠ABC,
∴AD∥BE.
24.解:
(1)BE+CF=EF.
理由如下:
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,
∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,
∴BE=DE,CF=DF,AE=AF,
∴等腰三角形有△ABC,△AEF,△DEB,△DFC,△BDC共5个,
∴BE+CF=DE+DF=EF,
即BE+CF=EF,
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20.
5;
BE+CF=EF;
20;
(2)BE+CF=EF,
∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,
∴BE=DE,CF=DF,
∴等腰三角形有△BDE,△CFD,
∴BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.
可得△AEF的周长为18.
(3)BE﹣CF=EF,
由
(1)知BE=ED,
∴∠EDC=∠DCG=∠ACD,
∴CF=DF,
又∵ED﹣DF=EF,
∴BE﹣CF=EF.
25.解:
(1)∵BF∥AC,
∴∠C=∠CBF,
∵BC平分∠ABF,
∴∠ABC=∠CBF,
∴∠C=∠ABC,
∴AB=AC,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴BD=CD,AD⊥BC,
在△CDE与△BDF中,
∴△CDE≌△BDF,
∴DE=DF.
(2)∵△CDE≌△BDF,
∴CE=BF,
∵BF=
AE,
∴AE=2BF,
∴AC=3BF.
26.解:
∵△ABC是等边三角形,BD是中线,
∴∠A=∠ACB=60°
,AC=BC,AD=CD=
∵DE⊥AB于E,
∴∠ADE=90°
﹣∠A=30°
∴CD=AD=2AE=2,
∴∠CDF=∠ADE=30°
∴∠F=∠ACB﹣∠CDF=30°
∴∠CDF=∠F,
∴DC=CF,
∴BF=BCCF=2AD+AD=6.
27.解:
(1)∵∠B=∠C=35°
∴∠BAC=110°
∵∠BAD=80°
∴∠DAE=30°
∴∠ADE=∠AED=75°
∴∠CDE=180°
﹣35°
﹣75°
(2)∵∠ACB=75°
∴∠E=75°
﹣18°
=57°
∴∠ADE=∠AED=57°
∴∠ADC=39°
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°
∴∠BAD=36°
(3)设∠ABC=∠ACB=y°
,∠ADE=∠AED=x°
,∠CDE=α,∠BAD=β
①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°
﹣α,
∴
(1)﹣
(2)得2α﹣β=0,
∴2α=β;
②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=x°
+α,
(2)﹣
(1)得α=β﹣α,
③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=x°
(2)﹣
(1)得2α﹣β=0,
∴2α=β.
综上所述,∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD.
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