北京高考数学试题与答案理科.doc

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2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合，，则

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐

标原点的距离大于的概率是

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）设，．“”是“复数是纯虚数”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

表面积是

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）某棵果树前年的总产量与之间的关系

如图所示．从目前记录的结果看，前年的

年平均产量最高，的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）直线为参数与曲线为参数的交点个数为．

（10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则．

（11）在中，若，，，则．

（12）在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、

两点，其中，点在轴上方．若直线的倾斜角为，则的面积为．

（13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为．

（14）已知，．若同时满足条件：

①，或；

②，．

则的取值范围是．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求的单调递增区间．

（16）（本小题共14分）

如图，在中，，，，、分别为、上的点，且//，，将沿折起到的位置，使，如图．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）若是的中点，

求与平面所成角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面

与平面垂直？

说明理由．

（17）（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其

他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取

了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：

吨）：

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱

厨余垃圾

可回收物

其他垃圾

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为

，其中，600．当数据的方差最大时，写出

的值（结论不要求证明），并求此时的值．

（注：

…，其中为数据的平均数）

（18）（本小题共13分）

已知函数，．

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．

（19）（本小题共14分）

已知曲线：

．

（Ⅰ）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；

（Ⅱ）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点．

求证：

三点共线．

（20）（本小题共13分）

设是由个实数组成的行列的数表，满足：

每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．

对于，记为的第行各数之和≤≤，为的第列各数之和≤≤．

记为，，…，，，，…，中的最小值．

（Ⅰ）对如下数表，求的值；

（Ⅱ）设数表形如

求的最大值；

（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的最大值．

2012高考北京数学真题答案及简析

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

D

B

C

A

B

B

C

二、填空题

题号

9

10

11

12

13

14

答案

2

1；

4

1；1

三、解答题

15．解：

（1）原函数的定义域为，最小正周期为．

（2）原函数的单调递增区间为，

16．解：

（1），

平面，

又平面，

又，

平面

（2）如图建系，则，，，

∴,

设平面法向量为

则∴∴

∴又∵∴

∴

∴与平面所成角的大小

（3）设线段上存在点，设点坐标为，则

则，

设平面法向量为

则∴

∴

假设平面与平面垂直

则，

∴，，

∵

∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直

17．

（1）由题意可知：

（2）由题意可知：

（3）由题意可知：

，因此有当，，时，有．

18．解：

（1）由为公共切点可得：

，则，，

，则，，

①

又，，

，即，代入①式可得：

．

（2），设

则，令，解得：

，；

，，

原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增

①若，即时，最大值为；

②若，即时，最大值为

③若时，即时，最大值为．

综上所述：

当时，最大值为；当时，最大值为．

19．

（1）原曲线方程可化简得：

由题意可得：

，解得：

（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：

，

，解得：

由韦达定理得：

①，，②

设，，

方程为：

，则，

，，

欲证三点共线，只需证，共线

即成立，化简得：

将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。

20．

解：

（1）由题意可知，，，，

∴

（2）先用反证法证明：

若

则，∴

同理可知，∴

由题目所有数和为

即

∴

与题目条件矛盾

∴．

易知当时，存在

∴的最大值为1

（3）的最大值为.

首先构造满足的：

，

.

经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

，

，

.

下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表，使得.

由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.

设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则.另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）.因此

，

故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾.因此的最大值为.

数学（理）（北京卷）第10页（共5页）