竞赛数列训练题.doc
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竞赛数列专题训练
(1)
1.(2009年全国联赛)使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为.
2.正整数使得是完全平方数,则的个位数字是________.
3.(2008年全国联赛)设数列的前项和满足:
,,则通项=________.
4.(2007年全国联赛)已知等差数列{an}的公差d不为0,等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。
若a1=d,b1=d2,且是正整数,则q等于________.
5.已知数列满足,则=___.
6.已知数列,满足,且,则=.
7.(2007年湖北竞赛改编)若数列满足:
,则____.
8.(2009年全国联赛)一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表示)
9.设,求不超过的最大整数
10.(2007年全国联赛)设,求证:
当正整数n≥2时,an+1 11.(2007年四川竞赛)已知正整数列满足条件: 对于任意正整数,从集合中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与一起恰好是1至全体自然数组成的集合,其中为数列的前项和. (1)求的值; (2)求数列的通项公式. 竞赛数列专题训练 (1)参考答案 1.设.显然单调递减,则由的最大值,可得. 2.解: 设,则,得 或,解得或, 由,知它的个位数字是9,由,知它的个位数字也是9. 3., 即2=, 由此得2.令,(), 有,故,所以. 4.解: 因为,故由已知条件知道: 1+q+q2为,其中m为正整数。 令,则 。 由于q是小于1的正有理数,所以,即5≤m≤13且是某个有理数的平方,由此可知 5..解: 由已知得,且.所以,即{}是首项、公差均为1的等差数列,所以=n,即有. 6.解: 由,推出。 因此有. 即有 7.由两边平方得, 又,两式相减,得 . 由求得,又由递推关系式易知数列是单调递增数列,所以,故,即,即,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以,于是 , 所以. 8.易知: (ⅰ)该数表共有100行; (ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为,,,…, (ⅲ)为所求. 设第行的第一个数为,则 =…… 故. 9.证明: 解: , , 不超过的最大整数为。 答案为 10.解: 证明: 由于,因此,于是,对任意的正整数n≥2,有 ,即an+1 11.解: 解: (1)记,显然.对于,有 故,所以.(5分) (2)由题意知,集合按上述规则,共产生个正整数; 而集合按上述规则产生的个正整数中,除这个正整数外,还有(),共个数. 所以,.(10分) 因为,所以,(15分) 又因为当时, 而也满足.所以,().(20分) 竞赛数列专题训练 (2) 1.(2010年江苏初赛)设数列满足(),求证: . 2.(2010年湖北竞赛)已知数列中,,且. (1)求数列的通项公式; (2)求证: 对一切,有. 3.设数列满足,,其中. (1)证明: 对一切,有; (2)证明: . 4.设数列满足,.求证: 当时,.(其中表示不超过的最大整数). 5.设为一个整数数列,并且满足: ,.若,求满足且的最小正整数n. 6.(2012年湖北竞赛)已知正项数列满足且,,求的通项公式. 7.(2012年全国联赛)已知数列{}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数,都有. (1)当时,求所有满足条件的三项组成的数列; (2)是否存在满足条件的无穷数列{},使得? 若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由. 竞赛数列专题训练 (2)参考答案 1.证明: 由题意知当时,,命题成立; 当时,由,得,∴,, 从而有. 2.解 (1)由已知,对有, 两边同除以n,得, 即,……………………4分 于是,, 即, 所以,. 又时也成立,故.……………………8分 (2)当,有 ,………………12分 所以时,有 又时, 故对一切,有.……………………16分 3.证明 (1)在已知关系式中,令,可得; 令,可得 ① 令,可得 ② 由①得,,,, 代入②,化简得.---------------------------------------7分 (2)由,得,故数列是首项为,公差为2的等差数列,因此. 于是. 因为,所以 . 4.解: 对于任何正整数,由递推知.由知数列递减. 又对任意, .即有,从而.于是, 当时,; 当时,由递减得. 故.所以,. 5.解: 当时,将原式变形为,令,则有,叠加可得,于是。 由,得,化简得。 由,得,将上述关于的结果代入得,于是质数且n是奇数, 所以满足条件的最小的n是501. 6.解: 解在已知等式两边同时除以,得, 所以. ------------------------------------------4分 令,则,即数列是以=4为首项,4为公比的等比数列,所以.-------------------8分 所以,即.--------------------------12分 于是,当时, , 因此,-------------------------------16分
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