小学数学四年级排列组合习题解答.docx
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小学数学四年级排列组合习题解答
2019年小学数学四年级排列组合习题解答
极客数学帮黄加明老师
前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上,这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候,做某件事情有几类方法,而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时,既要用到乘法原理,又要用到加法原理.又如,在照相时,如果对坐的位置有些规定,那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多,要正确地解决这些问题,就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容,并熟悉它们所解决问题的类型特点.
看下面的例子.
例1由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数?
分析注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类,所以要一类一类地考虑,再由加法原理解决.
第一类:
一位偶数只有0、2,共2个;
第二类:
两位偶数,它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位可有C13种取法;若个位取2,则十位有C12种取法.故两位偶数共有(C13+C12)种不同的取法;
第三类:
三位偶数,它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位和百位共有P23种取法;若个位取2,则十位和百位只能在0、1、3中取,百位有2种取法,十位也有2种取法,由乘法原理,个位为2的三位偶数有2×2个,三位偶数共有(P23+2×2)个;
第四类:
四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则共有P33个;若个位取2,则其他3位只能在0、1、3中取.千位有2种取法,百位和十位在剩下的两个数中取,再排成一列,有P22种取法.由乘法原理,个位为2的四位偶数有2×P22个.所以,四位偶数共有(P33+2×P22)种不同的取法.
解:
由加法原理知,共可以组成
2+(C13+C12)+(P23+2×2)+(P33+2×P22)
=2+5+10+10
=27
个不同的偶数.
补充说明:
本题也可以将所有偶数分为两类,即个位为0和个位为2的两类.再考虑到每一类中分别有一位、两位、三位、四位数,逐类讨论便可求解.
例2国家举行足球赛,共15个队参加.比赛时,先分成两个组,第一组8个队,第二组7个队.各组都进行单循环赛(即每个队要同本组的其他各队比赛一场).然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛,决出冠亚军.问:
①共需比赛多少场?
②如果实行主客场制(即A、B两个队比赛时,既要在A队所在的城市比赛一场,也要在B队所在的城市比赛一场),共需比赛多少场?
分析比赛的所有场次包括三类:
第一组中比赛的场次,第二组中比赛的场次,决赛时比赛的场次.
①中,第一组中8个队,每两队比赛一场,所以共比赛C28场;第二组中7个队,每两队比赛一场,所以共比赛C27场;决赛中4个队,每两队比赛一场,所以共比赛C24场.②中,由于是实行主客场制,每两个队之间要比赛两场,比赛场次是①中的2倍.
另外,还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关,而且与比赛所在的城市(即与顺序)有关.所以,第一组共比赛P28场,第二组共比赛P27场,决赛时共比赛P24场.
解:
由加法原理:
1行单循环赛共比赛
②实行主客场制,共需比赛
2×(C28+C27+C24)=110(场).
或解为:
P28+P27+P24
=8×7+7×6+4×3
=56+42+12
=110(场).
例3在一个半圆周上共有12个点,如右图,以这些点为顶点,可以画出多少个
1角形?
②四边形?
分析①我们知道,不在同一直线上的三个点确定一个三角形,由图可见,半圆弧上的每三个点均不共线(由于A、B既可看成半圆上的点,又可看成线段上的点,为不重复计算,可把它们归在线段上),所以,所有的三角形应有三类:
第一类,三角形的三个顶点全在半圆弧上取(不含A、B两点);第二类,三角形的两个顶点取在半圆弧上(不包含A、B),另一个顶点在线段上取(含A、B);第三类,三角形的一个顶点在半圆弧上取,另外两点在线段上取.
注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关,而与选取三点的顺序无关,所以,这是组合问题.
解:
三个顶点都在半圆弧上的三角形共有
两个顶点在半圆弧上,一个顶点在线段上的三角形共有
一个顶点在半圆弧上,两个顶点在线段上的三角形共有
由加法原理,这12个点共可以组成
C37+(C27×C15)+(C17×C25)
=35+105+70=210(个)
不同的三角形.
也可列式为C312-C35=220—10=210(个).
分析②用解①的方法考虑.
将组成四边形时取点的情况分为三类:
第一类:
四个点全在圆弧上取.(不包括A、B)有C17种取法.
第二类:
两个点取自圆弧.两个点取自直线AB.有取法C27×C25种.
第三类:
圆弧上取3个点,直线上取1个点,有C37×C15种取法.
解:
依加法原理,这12个点共可组成:
C47+C27×C25+C37×C15
=35+210+175=420
个不同的四边形.
还可直接计算,这12个点共可组成:
C412-C45-C35·C17=495-5-70=420
个不同的四边形.
例4如下图,问
①下左图中,有多少个长方形(包括正方形)?
②下右图中,有多少个长方体(包括正方体)?
分析①由于长方形是由两组分别平行的线段构成的,因此只要看上左图中水平方向的所有平行线中,可以选出几组两条平行线,竖直方向上的所有平行线中,可以选出几组两条平行线?
②由于长方体是由三组分别平行的平面组成的.因此,只要看上页右图中,平行于长方体上面的所有平面中,可以选出几组两个互相平行的平面,平行于长方体右面的所有平面中,可以选出几组两个互相平行的两个平面,平行于长方体前面的所有平面中,可以选出几组两个互相平行的平面.
解:
①C25×C27=210(个)
因此,上页左图中共有210个长方形.
②C25×C26×C24=900(个)、
因此,上页右图中共有900个长方体.
例5甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起,4人每人随便拿了一本,问:
2拿到自己作业本的拿法有多少种?
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种?
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种?
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种?
分析①甲拿到自己的作业本,这时只要考虑剩下的三个人拿到其他三本作业本的情况.由于其他三人可以拿到自己的作业本,也可以不拿到自己的作业本.所以,共有P33种情况.
②恰有一人拿到自己的作业本.这时,一人拿到了自己的作业本,而其他三人都没能拿到自己的作业本.拿到自己作业本的可以是甲、乙、丙、丁中的一人,共4种情况.另外三人全拿错了作业本的拿法有2种.故恰有一人拿到自己作业本的情况有4×2种情况.
③至少有一人没有拿到自己的作业本.这时只要在所有拿法中减去四人全拿到自己作业本的拿法即可.由于4人拿作业本的所有拿法是P44,而4人全拿到自己作业本只有1种情况.所以,至少有一人没拿到自己作业本的拿法有P44-1种情况.
④谁也没拿到自己的作业本.可分步考虑(假设四个人一个一个地拿作业本,考虑四人都拿错的情况即可).第一个拿作业本的人除自己的作业本外有3种拿法.被他拿走作业本的人也有3种拿法.这时,剩下的两人只能从剩下的两本中拿,要每人都拿错,只有一种拿法.所以,由乘法原理,共有3×3×1种不同的情况.
解:
①甲拿到自己作业本的拿法有
P33=3×2×1=6
种情况;
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有
4×2=8
种情况;
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有
P44-1=4×3×2×1-1=23
种情况;
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有
3×3×1=9
种情况.
由前面的各例题可以看到,有关排列组合的问题多种多样,思考问题的方法灵活多变,入手的角度也是多方面的.所以,除掌握有关的原理和结论,还必须学习灵活多样的分析问题、解决问题的方法.
附送:
2019年小学数学四年级期末测试题
60分钟
一、谨慎填写
1.5和30两个数,()是()的倍数,()是()的因数。
24的因数有()。
2.1、2、28、31、57和86这些数可以填入下面的哪些圈里?
填一填。
奇数素数合数
3.如右图,一块三角形纸片被撕去了一个角。
这个角是()度,原来这块纸片的形状
是()三角形,也是()三角形。
4.在括号里填上“升”或“毫升”。
①一瓶椰子汁约有240()。
②一个电热水器能盛水60()。
5.右边梯形的上底与下底长度的和是
()厘米,高是()厘米。
6.在里填“×”或“÷”,在里填数。
156÷12=(156×3)÷(12)
=(156÷3)÷(12)
7.如图:
小红从家出发,经过学校去超市,有()条路可以选择。
学校
小红家〇────〇〇超市
8.一张长方形纸,长a厘米,宽b厘米。
从这张纸上剪出一个最大的正方形,这个正方形的周长是()厘米,面积是()平方厘米。
当a=15,
b=10时,原来长方形纸的周长是()厘米,面积是()平方厘米。
二、准确判断(对的在括号内打“√”,错的打“×”)
1.18×500,积的末尾有两个0。
……………………………………()
2.梯形不可能是轴对称图形。
…………………………………………()
3.(12+K)×5=60+5K。
……………………………………………()
4.一个自然数越大,它的因数个数就越多。
……………………………()
三、慎重选择(把正确答案的序号填在括号里)
1.下面三组小棒,不能围成三角形的是()。
①②③
2.把1升的水倒入容量为200毫升的纸杯中,可以倒()杯。
①1②5③200
3.小猴要给一块地围上篱笆,()的围法更牢固些。
①②③
4.a×b的一个乘数乘10,另一个乘数也乘10,得到的积等于()。
①原来的积乘100②原来的积乘20③原来的积乘10
四、细心计算
1.直接写出得数。
(8分)
12×300=200×34=50×110=800×0=
600×50=400÷50=26×30=150×40=
2.用竖式计算。
28×307=760×50=400÷30=
3.计算下面各题,能简便计算的要用简便方法计算。
60÷15+15×60206×(39÷13×4)
125×54—46×125(730-80÷2)÷23
400×[(270+80)÷7]99+99×99
2.先画出平行四边形底边上的高,再分别量出底和高的长度。
1.画出下面图形的对称轴。
(能画几条就画几条)
五、画画量量
底
底()毫米,高()毫米
3.
A
①小鱼图从右下方移至左上方,先向()平移()格,再向()
平移()格。
②把梯形绕A点顺时针方向旋转90°,画出旋转后的图形。
六、解决问题
沪宁路
128km
1.
每小时73千米
每小时87千米
每个茶杯6元,茶壶的价钱是1个茶杯
价钱的5倍。
买右图这样一套茶具,
一共要用多少钱?
2.
3.中国代表团在亚洲运动会上金牌数已经连续七届高居榜首,下面是中国代表团第7—15届亚运会获得金牌情况统计图。
中国代表团第7—15届获得金牌情况统计图
单位:
块XX年1月制
200
180
160
140
120
100
- 配套讲稿:
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