六年级上下册数学知识点整理Word格式.docx
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〔2〕分率前是“的〞:
单位“1〞的量×
分率=分率对应量
〔3〕分率前是“多或少〞的意思:
〔1
分率〕=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数。
强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
〔要说清谁是谁的倒数〕。
2、求倒数的方法:
〔1〕、求分数的倒数:
交换分子分母的位置。
〔2〕、求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
〔3〕、求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
〔4〕、求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;
0没有倒数。
因为1×
1=1;
0乘任何数都得0,
〔分母不能为0〕
4、对于任意数
,它的倒数为
;
非零整数
的倒数为
分数
的倒数是
5、真分数的倒数大于1;
假分数的倒数小于或等于1;
带分数的倒数小于1。
第二局部、分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:
乘法:
因数×
因数=积除法:
积÷
一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
规律〔分数除法比拟大小时〕:
〔1〕、当除数大于1,商小于被除数;
〔2〕、当除数小于1〔不等于0〕,商大于被除数;
〔3〕、当除数等于1,商等于被除数。
“
〞叫做中括号。
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
〔未知单位“1〞的量〔用除法〕:
单位“1〞的几分之几是多少,求单位“1〞的量。
〕
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
〔1〕分率前是“的〞:
〔2〕分率前是“多或少〞的意思:
2、解法:
〔建议:
最好用方程解答〕
〔1〕方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
〔2〕算术〔用除法〕:
分率对应量÷
对应分率=单位“1〞的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:
就一个数÷
另一个数
4、求一个数比另一个数多〔少〕几分之几:
两个数的相差量÷
单位“1〞的量或:
①求多几分之几:
大数÷
小数–1
②求少几分之几:
1-小数÷
大数
三、比和比的应用
〔一〕、比的意义
1、比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
例如15:
10=15÷
10=
〔比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示〕
∶∶∶∶
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。
也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。
例:
路程÷
速度=时间。
4、区分比和比值
比:
表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:
相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系:
比
前项
比号“:
〞
后项
比值
除法
被除数
除号“÷
除数
商
分数
分子
分数线“—〞
分母
分数值
7、比和除法、分数的区别:
除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2:
0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
〔二〕、比的根本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:
被除数和除数同时乘或除以相同的数〔0除外〕,商不变。
分数的根本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时〔0除外〕,分数值不变。
比的根本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:
比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
3、根据比的根本性质,可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比:
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
(1)②两个分数的比:
用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法
来化简。
③两个小数的比:
向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。
〔2〕用求比值的方法。
注意:
最后结果要写成比的形式。
如:
15∶10=15÷
10=
=3∶2
5.按比例分配:
把一个数量按照肯定的比来进行分配。
这种方法通常叫做按比例分配。
两个量之比为
,则设这两个量分别为
路程肯定,速度比和时间比成反比。
〔如:
路程相同,速度比是4:
5,时间比则为5:
4〕
工作总量肯定,工作效率和工作时间成反比。
工作总量相同,工作时间比是3:
2,工作效率比则是2:
3〕
第三局部、圆
一、认识圆
1、圆的定义:
圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:
将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。
全部的半径都相等,全部的直径都相等。
7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的
用字母表示为:
d=2r或r=
8、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
〔经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线〕
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是:
长方形
只有3条对称轴的图形是:
等边三角形
只有4条对称轴的图形是:
正方形;
有无数条对称轴的图形是:
圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验:
在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。
发觉一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数〔π〕。
3.圆周率:
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。
用字母π〔pai〕表示。
〔1〕、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时,一般取π≈3.14。
〔2〕、在推断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。
〔3〕、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:
C=πdd=C÷
π
或C=2πrr=C÷
2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
周长的一半:
等于圆的周长÷
2计算方法:
2πr÷
2即πr
〔2〕半圆的周长:
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法:
πr+2r即5.14r
三、圆的面积
1、圆的面积:
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
〔1〕、用逐渐逼近的转化思想:
表达化圆为方,化曲为直;
化新为旧,化未知为,化复杂为简单,化抽象为具体。
〔2〕、把一个圆等分〔偶数份〕成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。
〔3〕、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为:
长方形面积=长×
宽
所以:
圆的面积=圆周长的一半×
圆的半径
S圆=πr×
r
圆的面积公式:
S圆=πr2r2=S÷
π
4、环形的面积:
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。
〔R=r+环的宽度.〕
S环=πR²
-πr²
或
环形的面积公式:
S环=π〔R²
-r²
〕。
5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
6、两个圆:
半径比=直径比=周长比;
而面积比等于这比的平方。
两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:
4∶π
8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。
反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
9、确定起跑线:
〔1〕、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
〔2〕、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。
〔因此起跑线不同〕
〔3〕、每相邻两个跑道相隔的距离是:
2×
π×
跑道的宽度
〔4〕、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
11、常用各π值结果:
π=3.14
2π=6.28
3π=9.42
5π=15.7
6π=18.84
7π=21.98
9π=28.26
10π=31.4
16π=50.24
36π=113.04
64π=200.96
96π=301.44
4π=12.568π=25.1225π=78.5
12、常用平方数结果
=121
=144
=169
=196
=225
=256
=289
=324
=361
第四局部、百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
千分数:
表示一个数是另一个数的千分之几。
百分数和分数的主要联系与区别:
联系:
都可以表示两个量的倍比关系。
区别:
①、意义不同:
百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;
分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法:
通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%〞来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
〔一〕百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:
把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数:
把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。
〔二〕百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:
先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数:
①用分数的根本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。
②先把分数化成小数〔除不尽时,通常保存三位小数〕,再把小数化成百分数。
〔三〕常见的分数与小数、百分数之间的互化
=0.5=50%
=0.2=20%
=0.625=62.5%
=0.25=25%
=0.4=40%
=0.125=12.5%
=0.75=75%
=0.6=60%
=1.375=37.5%
=0.0625=6.25%
=0.8=80%
=0.875=87.5%
=0.04=4﹪
=0.08=8﹪
=0.12=12﹪
=0.16=16﹪
三、用百分数解决问题
〔一〕一般应用题
1、常见的百分率的计算方法:
①合格率=
②发芽率=
③出勤率=
④达标率=
⑤成活率=
⑥出粉率=
⑦烘干率=
⑧含水率=
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能到达100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
〔一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。
〕
2、单位“1〞的量〔用乘法〕,求单位“1〞的百分之几是多少的问题:
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
3、未知单位“1〞的量〔用除法〕,单位“1〞的百分之几是多少,求单位“1〞。
解法:
4、求一个数比另一个数多〔少〕百分之几的问题:
两个数的相差量÷
单位“1〞的量×
100%或:
求多百分之几:
〔大数÷
小数–1〕×
100%
②求少百分之几:
〔1-小数÷
大数〕×
〔二〕、折扣
1、折扣:
商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣。
通称“打折〞。
几折就表示十分之几,也就是百分之几十。
例如八折=
=80﹪,六折五=0.65=65﹪
2、 一成是十分之一,也就是10%。
三成五就是十分之三点五,也就是35%
〔三〕、纳税
1、纳税:
纳税是根据国家税法的有关规定,按照肯定的比率把集体或个人收入的一局部缴纳给国家。
2、纳税的意义:
税收是国家财政收入的主要来源之一。
国家用收来的税款开展经济、科技、教育、文化和国防平安等事业。
3、应纳税额:
缴纳的税款叫做应纳税额。
4、税率:
应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法:
应纳税额=总收入×
税率
〔四〕利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义:
人们常常把临时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加平安和有方案,还可以增加一些收入。
3、本金:
存入银行的钱叫做本金。
4、利息:
取款时银行多支付的钱叫做利息。
5、利率:
利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式:
利息=本金×
利率×
时间
7、注意:
如要上利息税〔国债和教育储藏的利息不纳税〕,则:
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×
利息税率=利息×
〔1-利息税率〕
第五局部、扇形统计图
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各局部数量同总数之间的关系。
也就是各局部数量占总数的百分比〔因此也叫百分比图〕。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:
可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:
不仅可以看出各种数量的多少,还可以清楚看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:
能够清楚的反映出各局部数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:
在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。
〔因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。
第六局部、圆柱与圆锥
一、圆柱的特征:
1、圆柱的两个圆面叫做底面,周围的面叫做侧面,底面是平面,侧面是曲面,。
2、圆柱的高:
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
圆柱的高有无数条。
3、圆柱的侧面展开图:
圆柱的侧面沿高展开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的周长,长方形的宽等于圆柱的高,当底面周长和高相等时,侧面沿高展开后是一个正方形。
4、圆柱的侧面积=底面周长×
高即S侧=Ch或2πr×
h
5、圆柱的外表积=圆柱的侧面积+底面积×
2即S表=S侧+S底×
2或2πr×
h+2×
πr2
6、圆柱的体积=圆柱的底面积×
高,即V=sh或πr2×
7、将一张长方形围成圆柱有两种方法,将一张长方形进行旋转一般也有两种。
〔进一法:
实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些,因此,要保存数的时候,省略的位上的是4或者比4小,都要向前一位进1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
二、圆锥的特征:
1、圆锥只有一个底面,底面是个圆。
圆锥的侧面是个曲面。
2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
圆锥只有一条高。
〔测量圆锥的高:
先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离。
3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一,即V锥=
Sh或πr2×
h÷
3
5、常见的圆柱圆锥解决问题:
、压路机压过路面面积〔求侧面积〕;
、压路机压过路面长度〔求底面周长〕;
、水桶铁皮〔求侧面积和一个底面积〕;
、厨师帽〔求侧面积和一个底面积〕;
通风管〔求侧面积〕。
6、圆柱和圆锥的特征
圆柱
圆锥
底面
两个底面完全相同,都是圆形。
一个底面,是圆形。
侧面
曲面,沿高剪开,展开后是长方形。
曲面,沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开,展开后是扇形。
高
两个底面之间的距离,有无数条。
顶点到底面圆心的距离,只有一条。
第七局部、比例
1、比例的意义:
表示两个比相等的式子叫做比例。
2:
1=6:
3
2、组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
3、比例的性质:
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的根本性质。
由3:
2=6:
4可知3×
4=2×
6;
或者由x×
1.5=y×
1.2可知x:
y=1.2:
1.5。
〔利用比例的意义和比例的根本性质可以推断两个比是否成比例〕
4、解比例:
根据比例的根本性质,如果比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的其它一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3:
x=4:
8,内项乘内项,外项乘外项,则:
4x=3×
8,解得x=6。
5、正比例和反比例:
〔1〕、成正比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值〔也就是商〕肯定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示
(肯定〕
、速度肯定,路程和时间成正比例;
路程÷
时间=速度〔肯定〕。
、圆的周长和直径成正比例,因为:
圆的周长÷
直径=圆周率〔肯定〕。
、圆的面积和半径不成比例,因为:
圆的面积÷
半径=圆周率和半径的积〔不肯定〕。
、y=5x,y和x成正比例,因为:
y÷
x=5〔肯定〕。
、每天看的页数肯定,总页数和天数成正比例,因为:
总页数÷
天数=每天看页数〔肯定〕。
〔2〕、成反比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积肯定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
(肯定)
、路程肯定,速度和时间成反比例,因为:
速度×
时间=路程〔肯定〕。
、总价肯定,单价和数量成反比例,因为:
单价×
数量=总价〔肯定〕。
、长方形面积肯定,它的长和宽成反比例,因为:
长×
宽=长方形的面积〔肯定〕。
、40÷
x=y,x和y成反比例,因为:
x×
y=40〔肯定〕。
、煤的总量肯定,每天的烧煤量和烧的天数成反比例,因为:
每天烧煤量×
天数=煤的总量〔肯定〕。
6、图上距离:
实际距离=比例尺;
比例尺有两种形式:
数值比例尺和线段比例尺。
1、图上距离2cm,实际距离4km,则比例尺为2cm:
4km,最后求得比例尺是1:
200000。
2、:
在一幅某乡农作物布局图上,20厘米表示实际距离16千米。
求这幅图的比例尺。
16千米=1600000厘米
=
3、例题:
说出下面比例尺表示的意思。
这是线段比例尺,它表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。
7、实际距离=图上距离÷
比例尺;
图上距离2cm和比例尺,则实际距离为:
2÷
=400000cm=4km。
8、图上距离=实际距离×
实际距离4km和比例尺1:
200000,则图上距离为:
400000×
=2〔cm〕
9、图形的放大或缩小
把一个图形按肯定比放大或缩小,就是把它的每条边按肯定的比放大或缩小。
〔比的前项大于比的后项是放大,反之是缩小〕
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000千
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