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)米
9.在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+1(k≠0)和y=
(k≠0)的图象大致是( )
10.某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x,那么可列出的方程是( )
A.1000(1+x)2=3990
B.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990
C.1000(1+2x)=3990
D.1000+1000(1+x)+1000(1+2x)=3990
11.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,下列结论中:
①abc>0;
②a﹣b+c<0;
③ax2+bx+c+1=0有两个相等的实数根;
④﹣4a<b<﹣2a.其中正确结论的序号为( )
A.①②B.①③C.②③D.①④
12.如图,在单位为1的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,都是斜边在x轴上,斜边长分别为2,4,6,…的等直角三角形,若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0),A2(1,1),A3(0,0),则依图中所示规律,A2019的坐标为( )
A.(﹣1008,0)B.(﹣1006,0)C.(2,﹣504)D.(1,505)
二、填空题(共4小题)
13.已知一组数据8,3,m,2的众数为3,则这组数据的平均数是 .
14.如图,已知AB=8cm,BD=3cm,C为AB的中点,则线段CD的长为 cm.
15.规定:
在平面直角坐标系xOy中,如果点P的坐标为(a,b),那么向量
可以表示为:
=(a,b),如果
与
互相垂直,
=(x1,y1),
=(x2,y2),那么x1x2+y1y2=0.若
=(sinα,1),
=(2,﹣
),则锐角∠α= .
16.如图,已知动点A在函数
的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E,延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F,直线EF分别交x轴、y轴于点M、N,当NF=4EM时,图中阴影部分的面积等于 .
三、解答题(共6小题)
17.
(1)计算:
|
﹣2|+π0+(﹣1)2019﹣(
)﹣1;
(2)先化简,再求值:
1﹣
÷
,其中a=2;
(3)解方程组:
18.2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“.某校组织读书征文比赛活动,评选出一、二、三等奖若干名,并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图(不完整),请你根据图中信息解答下列问题:
(1)求本次比赛获奖的总人数,并补全条形统计图;
(2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数;
(3)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动,请用列表法或画树状图的方法,求出恰好抽到甲和乙的概率.
19.“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益,某企业的产品对沿线地区实行优惠,决定在原定价基础上每件降价40元,这样按原定价需花费5000元购买的产品,现在只花费了4000元,求每件产品的实际定价是多少元?
20.如图,在矩形ABCD中,对角线AC的中点为O,点G,H在对角线AC上,AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角,与边AB、CD分别相交于点E、F(点E不与点A、B重合).
(1)求证:
四边形EHFG是平行四边形;
(2)若∠α=90°
,AB=9,AD=3,求AE的长.
21.探究活动一:
如图1,某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时,在直线AB上的三点A(1,3)、B(2,5)、C(4,9),有kAB=
=2,kAC=
=2,发现kAB=kAC,兴趣小组提出猜想:
若直线y=kx+b(k≠0)上任意两点坐
标P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2),则kPQ=
是定值.通过多次验证和查阅资料得知,猜想成立,kPQ是定值,并且是直线y=kx+b(k≠0)中的k,叫做这条直线的斜率.
请你应用以上规律直接写出过S(﹣2,﹣2)、T(4,2)两点的直线ST的斜率kST= .
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到正确结论:
任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时,这两条直线的斜率之积是定值.
如图2,直线DE与直线DF垂直于点D,D(2,2),E(1,4),F(4,3).请求出直线DE与直线DF的斜率之积.
综合应用
如图3,⊙M为以点M为圆心,MN的长为半径的圆,M(1,2),N(4,5),请结合探究活动二的结论,求出过点N的⊙M的切线的解析式.
22.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+
PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.
参考答案
1.【分析】依据倒数的定义回答即可.
【解答】解:
2的倒数为
.
故选:
B.
【知识点】倒数
2.【分析】把一个图形绕某一点旋转180°
,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.根据中心对称图形的概念求解.
A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意.
D.
【知识点】中心对称图形
3.【分析】整数和分数统称为有理数,依此定义求解即可.
在实数
中
=2,有理数有
共2个.
【知识点】实数
4.【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,即发生的概率是1的事件.
A.掷一次骰子,向上一面的点数是6,属于随机事件;
B.13个同学参加一个聚会,他们中至少有两个同学的生日在同一个月,属于必然事件;
C.射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件;
D.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件;
【知识点】随机事件
5.【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为:
2,1,并且下面一行的正方形靠左,
【知识点】简单组合体的三视图
6.【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数,再由余角的定义即可得出结论.
∵直尺的两边互相平行,∠1=35°
∴∠3=35°
∵∠2+∠3=90°
∴∠2=55°
【知识点】平行线的性质
7.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集,再把不等式组
的解集在数轴上表示出来即可.
解不等式①得:
x≥﹣3,
解不等式②得:
x<1,
故不等式组的解集为:
﹣3≤x<1,
在数轴上表示为:
【知识点】解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集
8.【分析】分析题意可得:
过点A作AE⊥BD,交BD于点E;
可构造Rt△ABE,利用已知条件可求BE;
而乙楼高AC=ED=BD﹣BE.
过点A作AE⊥BD,交BD于点E,
在Rt△ABE中,AE=30米,∠BAE=30°
∴BE=30×
tan30°
=10
(米),
∴AC=ED=BD﹣BE=(36﹣10
)(米).
∴甲楼高为(36﹣10
)米.
【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
9.【分析】分两种情况讨论,当k>0时,分析出一次函数和反比例函数所过象限;
再分析出k<0时,一次函数和反比例函数所过象限,符合题意者即为正确答案.
①当k>0时,y=kx+1过一、二、三象限;
y=
过一、三象限;
②当k<0时,y=kx+1过一、二、四象象限;
过二、四象限.
观察图形可知,只有C选项符合题意.
【知识点】反比例函数的图象、一次函数的图象
10.【分析】设月平均增长的百分率是x,则该超市二月份的营业额为100(1+x)万元,三月份的营业额为100(1+x)2万元,根据该超市第一季度的总营业额是3990万元,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
设月平均增长的百分率是x,则该超市二月份的营业额为100(1+x)万元,三月份的营业额为100(1+x)2万元,
依题意,得1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990.
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
11.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对各个结论进行判断.
由抛物线的开口方向向上可推出a>0,
与y轴的交点为在y轴的负半轴上可推出c=﹣1<0,
对称轴为x=﹣
>1>0,a>0,得b<0,
故abc>0,故①正确;
由对称轴为直线x=﹣
>1,抛物线与x轴的一个交点交于(2,0),(3,0)之间,则另一个交点在(0,0),(﹣1,0)之间,
所以当x=﹣1时,y>0,
所以a﹣b+c>0,故②错误;
抛物线与y轴的交点为(0,﹣1),由图象知二次函数y=ax2+bx+c图象与直线y=﹣1有两个交点,
故ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根,故③错误;
,由图象可知1<﹣
<2,
所以﹣4a<b<﹣2a,故④正确.
【知识点】根的判别式、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系
12.【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4;
A5﹣﹣﹣A8;
…每4个为一组,由于2019÷
4=504…3,A2019在x轴负半轴上,纵坐标为0,再根据横坐标变化找到规律即可解答.
观察图形可以看出A1﹣﹣A4;
…每4个为一组,
∵2019÷
4=504…3
∴A2019在x轴负半轴上,纵坐标为0,
∵A3、A7、A11的横坐标分别为0,﹣2,﹣4,
∴A2019的横坐标为﹣(2019﹣3)×
=﹣1008.
∴A2019的坐标为(﹣1008,0).
【知识点】规律型:
点的坐标
13.【分析】直接利用众数的定义得出m的值,进而求出平均数;
∵一组数据8,3,m,2的众数为3,
∴m=3,
∴这组数据的平均数:
=4,
故答案为:
4.
【知识点】众数、算术平均数
14.【分析】先根据中点定义求BC的长,再利用线段的差求CD的长.
∵C为AB的中点,AB=8cm,
∴BC=
AB=
×
8=4(cm),
∵BD=3cm,
∴CD=BC﹣BD=4﹣3=1(cm),
则CD的长为1cm;
1.
【知识点】两点间的距离
15.【分析】根据平面向量垂直的判定方法得到:
2sinα+1×
(﹣
)=0,结合特殊角的三角函数值解答.
依题意,得2sinα+1×
)=0,
解得sinα=
∵α是锐角,
∴α=60°
故答案是:
60°
【知识点】坐标与图形性质、解直角三角形、*平面向量
16.【分析】作DF⊥y轴于点D,EG⊥x轴于G,得到△GEM∽△DNF,于是得到
=
=4,设GM=t,则DF=4t,然后根据△AEF∽△GME,据此即可得到关于t的方程,求得t的值,进而求解.
作DF⊥y轴于点D,EG⊥x轴于G,
∴△GEM∽△DNF,
∵NF=4EM,
∴
设GM=t,则DF=4t,
∴A(4t,
),
由AC=AF,AE=AB,
∴AF=4t,AE=
,EG=
∵△AEF∽△GME,
∴AF:
EG=AE:
GM,
即4t:
:
t,即4t2=
∴t2=
图中阴影部分的面积=
+
=2π+
π=2.5π,
2.5π.
【知识点】扇形面积的计算、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义
17.【分析】
(1)根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题;
(2)根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题;
(3)根据解方程组的方法可以解答此方程组.
(1)|
)﹣1
=2﹣
+1+(﹣1)﹣2
=﹣
;
(2)1﹣
=1﹣
当a=2时,原式=
(3)
①×
4+②,得
11x=22,
解得,x=2,
将x=2代入①中,得
y=﹣1,
故原方程组的解是
【知识点】负整数指数幂、实数的运算、零指数幂、分式的化简求值、解二元一次方程组
18.【分析】
(1)由一等奖人数及其所占百分比可得总人数,总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数即可补全图形;
(2)用360°
乘以二等奖人数所占百分比可得答案;
(3)画出树状图,由概率公式即可解决问题.
(1)本次比赛获奖的总人数为4÷
10%=40(人),
二等奖人数为40﹣(4+24)=12(人),
补全条形图如下:
(2)扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°
=108°
(3)树状图如图所示,
∵从四人中随机抽取两人有12种可能,恰好是甲和乙的有2种可能,
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是
【知识点】条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法
19.【分析】设每件产品的实际定价是x元,则原定价为(x+40)元,根据“按原定价需花费5000元购买的产品,现在只花费了4000元”建立方程,解方程即可.
设每件产品的实际定价是x元,则原定价为(x+40)元,
由题意,得
解得x=160.
经检验x=160是原方程的解,且符合题意.
答:
每件产品的实际定价是160元.
【知识点】分式方程的应用
20.【分析】
(1)由“ASA”可证△COF≌△AOE,可得EO=FO,且GO=HO,可证四边形EHFG是平行四边形;
(2)由题意可得EF垂直平分AC,可得AE=CE,由勾股定理可求AE的长.
【解答】证明:
(1)∵对角线AC的中点为O
∴AO=CO,且AG=CH
∴GO=HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC,CD=AB,CD∥AB
∴∠DCA=∠CAB,且CO=AO,∠FOC=∠EOA
∴△COF≌△AOE(ASA)
∴FO=EO,且GO=HO
∴四边形EHFG是平行四边形;
(2)如图,连接CE
∵∠α=90°
∴EF⊥AC,且AO=CO
∴EF是AC的垂直平分线,
∴AE=CE,
在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2,
∴AE2=(9﹣AE)2+9,
∴AE=5
【知识点】平行四边形的判定与性质、矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
21.【分析】
(1)直接利用公式计算即可;
(2)运用公式分别求出kDE和kDF的值,再计算kDE×
kDF=﹣1;
(3)先求直线MN的斜率kMN,根据切线性质可知PQ⊥MN,可得直线PQ的斜率kPQ,待定系数法即可求得直线PQ解析式.
(1)∵S(﹣2,﹣2)、T(4,2)
∴kST=
(2)∵D(2,2),E(1,4),F(4,3).
∴kDE=
=﹣2,kDF=
∴kDE×
kDF=﹣2×
=﹣1,
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积等于﹣1.
(3)设经过点N与⊙M的直线为PQ,解析式为y=kPQx+b
∵M(1,2),N(4,5),
∴kMN=
=1,
∵PQ为⊙M的切线
∴PQ⊥MN
∴kPQ×
kMN=﹣1,
∴kPQ=﹣1,
∵直线PQ经过点N(4,5),
∴5=﹣1×
4+b,解得b=9
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+9.
【知识点】圆的综合题
22.【分析】
(1)由直线y=﹣5x+5求点A、C坐标,用待定系数法求抛物线解析式,进而求得点B坐标.
(2)从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM;
由点A、B、C坐标求△ABC面积;
设点M横坐标为m,过点M作x轴的垂线段MH,则能用m表示MH的长,进而求△ABM的面积,得到△ABM面积与m的二次函数关系式,且对应的a值小于0,配方即求得m为何值时取得最大值,进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值.
(3)作点D坐标为(4,0),可得BD=1,进而有
,再加上公共角∠PBD=∠ABP,根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP,得
等于相似比
,进而得PD=
AP,所以当C、P、D在同一直线上时,PC+
PA=PC+PD=CD最小.用两点间距离公式即求得CD的长.
(1)直线y=﹣5x+5,x=0时,y=5
∴C(0,5)
y=﹣5x+5=0时,解得:
x=1
∴A(1,0)
∵抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点
解得:
∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5
当y=x2﹣6x+5=0时,解得:
x1=1,x2=5
∴B(5,0)
(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于点H
∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)
∴AB=5﹣1=4,OC=5
∴S△ABC=
AB•OC=
4×
5=10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m,m2﹣6m+5)(1<m<5)
∴MH=|m2﹣6m+5|=﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM=
AB•MH=
4(﹣m2+6m﹣5)=﹣2m2+12m﹣10=﹣2(m﹣3)2+8
∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[﹣2(m﹣3)2+8]=﹣2(m﹣3)2+18
∴当m=3,即M(3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18
(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD
∴BD=5﹣4=1
∵AB=4,BP=2
∵∠PBD=∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴PD=
AP
∴PC+
PA=PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时,PC+
PA=PC+PD=CD最小
∵CD=
PA的最小值为
【知识点】二次函数综合题
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