学生版23 函数的奇偶性与周期性Word下载.docx
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如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
知识拓展
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:
奇±
奇=奇,偶±
偶=偶,奇×
奇=偶,偶×
偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>
0).
(2)若f(x+a)=
,则T=2a(a>
(3)若f(x+a)=-
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>
0)的周期函数.( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )
(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )
题组二 教材改编
2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=________.
3.[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=
则f
=______.
4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为________.
题组三 易错自纠
5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
6.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.
题型一 判断函数的奇偶性
典例判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
(3)f(x)=
解
思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
跟踪训练
(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+
D.y=x2+sinx
(2)函数f(x)=lg|sinx|是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
题型二 函数的周期性及其应用
1.若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=
+f
=________.
2.(2017·
山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
-1时,f(x)=-(x+2)2;
当-1≤x<
3时,f(x)=x.则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=________.
思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 求函数值或函数解析式
典例
(1)(2017·
全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
(2)(2016·
全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则f(x)=________.
命题点2 求参数问题
典例
(1)设函数f(x)=
为奇函数,则k=____.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=
其中a,b∈R.若f
=f
,则a+3b的值为________.
命题点3 利用函数的性质解不等式
典例
(1)已知定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<
0,则( )
A.f(3)<
f(-2)<
f
(1)B.f
(1)<
f(3)
C.f(-2)<
f
(1)<
f(3)D.f(3)<
f(-2)
(2)若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,则x·
f(x)<
0的解集为____________.
思维升华
(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.
(2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:
①f(x)为偶函数⇔f(x)=f(|x|).②若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0.
跟踪训练
(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,若f(lgx)<
0,则x的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,10)
C.(1,+∞)D.(10,+∞)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25)<
f(11)<
f(80)
B.f(80)<
f(-25)
C.f(11)<
f(80)<
D.f(-25)<
f(11)
函数的性质
考点分析函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
一、函数性质的判断
典例1
(1)(2017·
北京)已知函数f(x)=3x-
x,则f(x)( )
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
(2)(2017·
荆州模拟)下列函数:
①y=sin3x+3sinx;
②y=
-
③y=lg
④y=
其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).现有以下三个命题:
①8是函数f(x)的一个周期;
②f(x)的图象关于直线x=2对称;
③f(x)是偶函数.
其中正确命题的序号是________.
解析
二、函数性质的综合应用
典例2
(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的实数x,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=-x2,则f
等于( )
B.-
C.
(2)函数f(x)=log2
在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-
),则a的取值范围是________.
1.下列函数为偶函数的是( )
A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x
.
2.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
3.(2017·
江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足:
当x>0时,f(x)=x2+x-1,则f(f(-1))等于( )
A.-1B.1C.2D.-2
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4,且当x∈
时,
f(x)=log2(-3x+1),则f(2021)等于( )
A.4B.2C.-2D.log27
5.若f(x)=ex-ae-x为奇函数,则f(x-1)<e-
的解集为( )
A.(-∞,2)B.(-∞,1)
C.(2,+∞)D.(1,+∞)
6.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)=-f(x),且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是( )
A.f(0)<f(-6.5)<f(-1)
B.f(-6.5)<f(0)<f(-1)
C.f(-1)<f(-6.5)<f(0)
D.f(-1)<f(0)<f(-6.5)
7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.
8.已知函数f(x)在R上为奇函数,且当x>
0时,f(x)=
+1,则当x<
0时,f(x)=____________.
9.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:
①f(x)+f(-x)=0;
②f(x)=f(x+2);
③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f
+f
(1)+f
+f
(2)+f
10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)+f
≤2f
(1),那么t的取值范围是________.
11.已知函数f(x)=
是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
12.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式.
13.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>
0,f(x+2)=
,对任意x∈R恒成立,则f(2019)等于________.
14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
15.(2017·
东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.
16.已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<
0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
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