电子科技大学自主招生数学试题及答案.doc
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1.甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是,,.现3人各投篮1次,求:
(Ⅰ)3人都投进的概率;
(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.
2.已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
3.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:
(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的大小.
4已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an.
5如图,三定点A(2,1),B(0,-1),C(-2,1);三动点D,E,M满足=t,=t,=t,t∈[0,1].(Ⅰ)求动直线DE斜率的变化范围;(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
y
x
O
M
D
A
B
C
-1
-1
-2
1
2
B
E
6.
已知函数f(x)=kx3-3x2+1(k≥0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围.
【参考答案】
1解:
(Ⅰ)记"甲投进"为事件A1,"乙投进"为事件A2,"丙投进"为事件A3,
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
∴P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=××=
∴3人都投进的概率为
(Ⅱ)设“3人中恰有2人投进"为事件B
P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)
=P()·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P()·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P()
=(1-)××+×(1-)×+××(1-)=
∴3人中恰有2人投进的概率为
2.解:
(Ⅰ)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)
=2[sin2(x-)-cos2(x-)]+1
=2sin[2(x-)-]+1
=2sin(2x-)+1
∴T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+
即x=kπ+(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,(k∈Z)}.
A
B
A1
B1
α
β
l
第2题解法一图
E
F
A
B
A1
B1
α
β
l
第2题解法二图
y
x
y
E
F
3.解法一:
(Ⅰ)如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,
∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=,AB=2,∴sin∠BAB1==.∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1==,∴∠ABA1=30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ)∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B中,A1B===.由AA1·A1B=A1F·AB得A1F===,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE==,∴二面角A1-AB-B1的大小为arcsin.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)如图,建立坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t,即(x,y,z-1)=t(,1,-1),∴点F的坐标为(t,t,1-t).要使⊥,须·=0,即(t,t,1-t)·(,1,-1)=0,2t+t-(1-t)=0,解得t=,∴点F的坐标为(,-,),∴=(,,).设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,,).∴=(,-,).
又·=(,-,)·(,1,-1)=--=0,∴⊥,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=====,
∴二面角A1-AB-B1的大小为arccos.
4.解:
∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3.
5.解法一:
如图,(Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,=t,
知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2).∴同理.
∴kDE===1-2t.∴t∈[0,1],∴kDE∈[-1,1].
(Ⅱ)∵=t∴(x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1)=t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-2t).∴,∴y=,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2(1-2t)∈[-2,2].
即所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[-2,2]
解法二:
(Ⅰ)同上.
y
x
O
M
D
A
B
C
-1
-1
-2
1
2
B
E
第5题解法图
(Ⅱ)如图,=+=+t=+t(-)=(1-t)+t,
=+=+t=+t(-)=(1-t)+t,
=+=+t=+t(-)=(1-t)+t
=(1-t2)+2(1-t)t+t2.
设M点的坐标为(x,y),由=(2,1),=(0,-1),=(-2,1)得
消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[-2,2].
故所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[-2,2]
6.解:
(I)当k=0时,f(x)=-3x2+1∴f(x)的单调增区间为(-∞,0],单调减区间[0,+∞).
当k>0时,f'(x)=3kx2-6x=3kx(x-)
∴f(x)的单调增区间为(-∞,0],[,+∞),单调减区间为[0,].
(II)当k=0时,函数f(x)不存在最小值.
当k>0时,依题意f()=-+1>0,
即k2>4,由条件k>0,所以k的取值范围为(2,+∞)
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