狂刷40 直线与方程学易试题君之小题狂刷高考数学理解析版.docx
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狂刷40直线与方程学易试题君之小题狂刷高考数学理解析版
专题九解析几何
狂刷40直线与方程
1.直线的倾斜角的取值范围是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα,
∵﹣1≤sinα≤1,∴﹣1≤k≤1,
∴倾斜角的取值范围是[0,]∪[π,π).
故选B.
【名师点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,属基础题.求解时,由直线的方程可确定直线的斜率,可得其范围,进而可求倾斜角的取值范围.
2.已知直线l经过点,且与直线垂直,那么直线l的方程是
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】直线l与直线垂直,直线l的斜率为,
则,即.
故选C.
【名师点睛】本题考查了直线方程的求法,考查两直线垂直的等价条件,属于基础题.由题意可求出直线l的斜率,由点斜式写出直线方程化简即可.
3.已知直线l经过点和点,则
A.斜率为定值,但倾斜角不确定B.倾斜角为定值,但斜率不确定
C.斜率与倾斜角都不确定D.斜率为,倾斜角为
【答案】D
【解析】由已知,直线的斜率,所以直线的倾斜角为.
故选D.
【名师点睛】本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系,考查基本求解能力,属基础题.先根据斜率公式求斜率,再根据斜率求倾斜角.
4.已知直线和互相平行,则它们之间的距离是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵直线和互相平行,则,
将直线的方程化为,
则两条平行直线之间的距离为===.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查两条直线平行的性质,两条平行线间的距离公式的应用,属于中档题.
5.已知直线过点,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线的方程为
A.B.
C.或D.或
【答案】D
【解析】根据题意,直线分2种情况讨论:
①当直线过原点时,又由直线经过点,所求直线方程为,整理为;
②当直线不过原点时,设直线的方程为,代入点的坐标得,解得,此时直线的方程为,整理为.
故直线的方程为或.
故选D.
【名师点睛】本题考查直线的截距式方程,注意分析直线的截距是否为0,属于基础题.根据题意,分直线是否经过原点2种情况讨论,分别求出直线的方程,即可得答案.
6.已知点,直线的方程为,且直线与线段相交,则直线的斜率k的取值范围为
A.或B.或
C.D.
【答案】A
【解析】方法一:
由直线的方程为,即,可知,直线恒过定点P(1,1),所以,数形结合可得,若直线与线段相交,则k≥或k≤-4.
方法二:
易求得线段的方程为,得,
由直线的方程得,
当时,,此时,;
当时,,此时,.
因此,实数的取值范围是或,故选A.
【名师点睛】本题考查斜率取值范围的计算,可以利用数形结合思想,观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围,也可以利用参变量分离,得出斜率的表达式,利用不等式的性质得出斜率的取值范围,考查计算能力,属于中等题.
7.已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定正确的是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】直线经过第一、二、三象限,则直线在轴的截距,在轴的截距,
由直线的斜率小于1可知:
,结合可得:
,
逐一考查所给的选项:
由绝对值的性质可知:
,选项A错误;
由幂函数的单调性可知,选项B正确;
由不等式的性质可得:
,则,选项C错误;
,则,选项D错误.
本题选择B选项.
【名师点睛】本题主要考查直线的截距式方程,不等式的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先确定a,b的范围,然后逐一考查所给命题的真假即可.
8.已知,,若的角平分线所在直线方程是,则直线的方程为
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由题意可知直线和直线关于直线对称.设点关于直线的对称点为,则有,即.因为在直线上,所以直线的斜率为,所以直线的方程为,即.
故A正确.
【名师点睛】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线,可通过设B的对称点,再根据对称性质进行求解.解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象,可结合草图来加强理解.
9.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,也就是用内接正多边形去逐步逼近圆,即圆内接正多边形边数无限增加时,其周长就越逼近圆周长,这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就,现作出圆的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】如图所示可知,
所以直线AB,BC,CD的方程分别为:
,
整理为一般式即:
分别对应题中的A、B、D选项.
本题选择C选项.
【名师点睛】本题主要考查直线方程的求解,圆的方程等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意求解题中所给的直线方程,对比选项,利用排除法即可求得最终结果.
10.已知实数m,n满足,则直线必过定点___________.
【答案】
【解析】由已知得,代入直线得,
即,
由,解得,直线必过定点.
故答案为.
【名师点睛】将代入直线得,由即可得结果.探索曲线过定点的常见方法有两种:
①可设出曲线方程,然后利用条件建立等量关系进行消元(往往可以化为的形式,根据求解),借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点,也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).
②从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
11.若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为α,斜率为k,则,
又α为钝角,∴,即,故,
因为关于a的函数的对称轴为,
∴,
∴实数m的取值范围是.
【名师点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率,根据两点坐标表示出直线的斜率,求出a的取值范围,进而得出实数m的取值范围.
12.过两直线和的交点,并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.
【答案】或
【解析】联立可得交点为.
当直线斜率不存在时,x=,到原点的距离等于,符合题意;
当直线斜率存在时,设直线方程为,即,因为直线与原点的最短距离为,所以,解得,所以所求直线的方程为.
所以本题答案为或.
【名师点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.求解时,联立直线方程可求出直线的交点坐标,若所求直线的斜率不存在,则可根据交点坐标得到所求直线的方程,然后验证原点到此方程的距离是否等于即可;若直线斜率存在时,根据点斜式写出直线方程,然后根据原点到直线的距离等于就可求出直线的斜率,据此可得到满足题意的直线的方程.
13.设,则“”是“直线和直线平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若直线和直线平行,则可得:
,解得或−2.
当时,两直线分别为:
3和,满足平行;
当时,两直线分别为:
和,两直线重合;
所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题,先由两直线平行解得的值,再通过检验是否重合可得,从而得两命题的关系.已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为:
已知,,则,需检验两直线是否重合,属于易错题型.
14.在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当变化时,的最大值为
A.1B.2
C.3D.4
【答案】D
【解析】由题意可知,是单位圆上的点,而直线是过定点的直线(不含轴),原点(即圆心)到直线的距离的最大值为3,∴点到直线的距离的最大值为3+1=4.
故选D.
【名师点睛】本题考查点到直线的距离,利用几何意义求解,点P在单位圆上,直线是过定点的直线,求出圆心到直线距离的最大值,然后加上半径1即可.但在求最大值时,不用点到直线距离公式求出距离,而是借助几何意义求解,点P在单位圆上,直线是过定点的直线,求出圆心到直线距离的最大值,然后加上半径1即可.而圆心到定点的距离就是当直线变化时,圆心到直线距离的最大值,这可由直角三角形的性质直接得出.这种方法简单易行,值得提倡.
15.曲线与过原点的直线没有交点,则的倾斜角的取值范围是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】当,时,由得,该射线所在直线的倾斜角为;
当,时,由得,该射线所在直线的倾斜角为;
当,时,由得,该射线所在直线的倾斜角为;
当,时,由得,该射线所在直线的倾斜角为.
作出曲线的图象如下图所示:
由图象可知,要使得过原点的直线与曲线没有交点,
则直线的倾斜角的取值范围是,故选A.
【名师点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围,考查数形结合思想,解题的关键就是作出图形,利用数形结合思想进行求解,属于中等题.求解时,作出曲线的图形,得出各射线所在直线的倾斜角,观察直线在绕着原点旋转时,直线与曲线没有交点时,直线的倾斜角的变化,由此得出的取值范围.
16.已知点和点,是直线上的一点,则的最小值是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】如下图所示:
点,关于直线l:
的对称点为C(0,2),连接BC,此时的最小值为.
故选D.
【名师点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用,难度不大,属于中档题.
17.设两条直线的方程分别为,,已知a,b是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
A.,B.,
C.,D.,
【答案】A
【解析】是方程的两个实根,,,
∵两条直线之间的距离,,
,,,
两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为,.
故选A.
【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法,函数的最值的求法,考查了计算能力,注意之间的关系,利用其关系进行转化,属于中档题.利用方程的根,求出之间的关系,求出平行线之间的距离表达式,然后求解距离的最值即可.
18.过点作直线的垂线,垂足为M,已知点,则当变化时,的取值范围是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】直线,即,
由,求得,直线经过定点.
如图,由为直角三角形,斜边为PQ,M在以PQ为直径的圆上运动,
可得圆心为PQ的中点,半径为,
则与M的最大值为,
与M的最小值为,
故MN的范围为:
.
故选B.
【名师点睛】本题考查直线恒过定点,以及圆的方程的运用,圆外一点与圆上的点的距离的最值求法,考查运算能力,属于中档题.化已知直线为,即有且,解方程可得定点Q,可得M在以PQ为直径的圆上运动,求得圆心和半径,由圆的性质可得最值.
19.数学家欧拉在1765年提出,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为
A.(-4,0)B.(-3,-1)
C.(-5,0)D.(-4,-2)
【答案】A
【解析】设C(m,n),由重心公式,可得△ABC的重心为,
代入欧拉直线有:
,整理得m-n+4=0 ①.
AB的中点为(1,2),kAB==-2,
AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,
联立可得:
,所以△ABC的外心为(-1,1),
外心与点B的距离:
,
外心与点B的距离与外心与点C的距离相等,则(m+1)2+(n-1)2=10,整理得m2+n2+2m-2n=8 ②,
联立①②,可
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