立体几何中的向量方法二求空间角.docx
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立体几何中的向量方法二求空间角
立体几何中的向量方法
(二)——求空间角
一、填空题
1.(优质试题·扬州期末)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为________(用弧度表示).
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).
∴=(1,1,0),=(-1,1,
-1),
∵·=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,
∴⊥,∴AC与B1D所成的角为.
答案
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________.
解析 设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
所以=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).
令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=-x+y=0,n·=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),
所以sinθ=|cos〈n,〉|==.
答案
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.
解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,
则A1(0,0,1),
E,D(0,1,0),
∴=(0,1,-1),
=,
设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),所以有即解得
∴n1=(1,2,2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),
∴cos〈n1,n2〉==.
即所成的锐二面角的余弦值为.
答案
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,
∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角大小为_________(用弧度表示).
解析 以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,
则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),
则E=(0,-1,1),=(2,0,2),
∴E·=2,
∴cos〈E,〉==,
∴EF和BC1所成的角为.
答案
5.已知六面体ABC-A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,则直线CC1与平面AB1D所成的角大小为________(用弧度表示).
解析 如图所示,取AC的中点N,以N为坐标原点,建立空间直角坐标系.
则A,C,
B1,D,
C1,∴=,=,=(0,0,a).
设平面AB1D的法向量为n=(x,y,z),
由n·=0,n·=0,可取n=(,1,-2).
∴cos〈,n〉===-,
∴直线CC1与平面AB1D所成的角为.
答案
6.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是________.
解析
如图建立坐标系.则D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),
=(2,0,0),D=(2,2,0),
设平面A1BD的一个法向量
n=(x,y,z),则
∴令z=1,得n=(-1,1,1).
∴D1到平面A1BD的距离d===.
答案
7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_________.
解析
以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则D=(0,1,0),D=(1,1,0),=(0,1,2).
设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则n⊥D,n⊥,所以有令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).
设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=|cos〈n,D〉|==.
答案
8.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于________.
解析 延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BH⊥AG于点H,连接EH,则∠EHB为所求二面角的平面角.∵BH=,EB=1,∴tan∠EHB==.
答案
二、解答题
9.(优质试题·南京、盐城模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,=λ.
(1)若λ=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1-A1C1-D的大小为60°,求实数λ的值.
解 以A点为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,4,2).
(1)当λ=1时,D为BC的中点,所以D(1,2,0),1=(1,-2,2),=(0,4,0),=(1,2,-2).
设平面A1C1D的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即
取x1=2,则n1=(2,0,1),
又cos〈1,n1〉===,
所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.
(2)因为=λ,所以D,
所以=(0,4,0),=.
设平面A1C1D的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即
取x2=λ+1,则n2=(λ+1,0,1).
又平面A1B1C1的一个法向量为n3=(0,0,1),
由题意得|cos〈n3,n2〉|=cos60°=,
所以=,解得λ=-1或λ=--1(舍去),所以实数λ的值为-1.
10.(优质试题·全国Ⅰ卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,平面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明:
平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
(1)证明 由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC,又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)解 过D作DG⊥EF,垂足为G,由
(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由
(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).
由已知,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC,又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF,
由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,
所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°,
从而可得C(-2,0,).
所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).
设n=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量,则即所以可取n=(3,0,-).
设m是平面ABCD的一个法向量,则
同理可取m=(0,,4),
则cos〈n,m〉==-.
故二面角E-BC-A的余弦值为-.
11.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________.
解析 不妨令CB=1,则CA=CC1=2,可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),
∴=(0,2,-1),=(-2,2,1),
∴cos〈,〉====>0.
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
答案
12.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成角的大小为________(用弧度表示).
解析
如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a.则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.
则C=(2a,0,0),A=,
C=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),
则解得可取n=(0,1,1),
则cos〈C,n〉===,
又∵〈,n〉∈(0,π),
∴〈C,n〉=,
∴直线BC与平面PAC所成的角为-=.
答案
13.如图所示,二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为_________(用弧度表示).
解析 ∵C=C+A+B,
∴||==
==2.
∴C·B=|C|·|B|·cos〈C,B〉=-24.
∴cos〈C,B〉=-.
又所求二面角与〈C,B〉互补,∴所求的二面角为.
答案
14.(优质试题·南通调研)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,AB=1,AD=AS=2,P是棱SD上一点,且SP=PD.
(1)求直线AB与CP所成角的余弦值;
(2)求二面角A-PC-D的余弦值.
解
(1)如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2).
设P(x0,y0,z0),由=得(x0,y0,z0-2)=(0,2,-2),所以x0=0,y0=,z0=,点P坐标为.
=,=(1,0,0).
设直线AB与CP所成的角为α,由图可知,α为锐角,
则cosα===.
(2)设平面APC的法向量为m=(x1,y1,z1),
由于=(1,2,0),=,
所以
令y1=-2,则x1=4,z1=1,m=(4,-2,1).
设平面DPC的法向量为n=(x2,y2,z2),
由于=(1,0,0),=,
所以
令y2=1,则z2=1,n=(0,1,1).
设二面角A-PC-D的大小为θ,
由于cos〈m,n〉===-,
由于θ为钝角,所以cosθ=cos〈m,n〉=-.
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- 关 键 词:
- 立体几何 中的 向量 方法 空间