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明
请选择一组你认为最感兴趣或最有挑战性的结论,编写一道数学证明题,并进行证明.
学生可以根据自己的喜好和能力来选择证明对象,即使选择相同结论的同学,证明的方法也可能是多样的.
这个步骤是演绎推理的环节,有了上面的铺垫,证明也就很顺利地成为了操作与猜想的自然延续和必要发展.
同时,这里的设计也满足了多样化的学习需要.虽然学生选择的结论不同,证明方法不同,书写方式也会不同.但相同的是,他们都会从活动中获得对证明的感悟和成功的喜悦.
你能把你的这道证明题,用自己的话叙述成一个数学命题的形式吗?
学生以小组为单位编写命题,最后每个小组宣读命题的文字表述,互相交流.
将一道证明题表述成文字命题的形式,目的在于实现数学语言与文字语言的“互译”.这个过程实际上是学生对所研究的问题进行归纳、概括、反思和再认识的过程.
延
伸
拓
展
我们通过前面的研究已经发现,等腰三角形两底角的平分线是相等的.由此联想到,等腰三角形其他一些重要的线段是否也会具有类似的性质呢?
请每个小组继续展开探索:
先结合图形大胆猜想,写出一个你认为正确的命题,再设法证明它.
学生联想到腰上的中线、腰上的高这些线段的相等关系,并进行证明,小组讨论活动后,进行集中发言,共享结论.
延伸与拓展是问题研究过程的一个重要的组成部分,也是使学生获得发展的一个重要环节.
对这个教学环节的处理,不在于学生探究的数学结论的多与少、正与误,重要的是引导学生逐步培养对现有问题能够自觉地、有意识地进行必要拓展的思维方式与思维习惯.
事实上,三角形的角平分线、中线等线段,都是一些特殊性很强的线段(如:
角平分线需将一个角平分,而中线需将一条边平分).那么,我们是否可以对这些条件在一定基础上加以“改造”呢?
想一想,这样做前面的结论还成立吗?
你能写出证明过程吗?
学生思考方向之一是对条件进行关联替换,例如将角平分线替换成角的三等分线,将中点替换成三等分点,等等;
思考方向之二是对条件进行一般化,即原命题事实上只需有∠DBC=∠ECB(∠ADB=∠ACE)或DC=EB(AD=AE)等条件即可成立.
反
思
提
高
通过今天这节课的学习,你有什么体会和感受,试着说一说.
学生可自由发言,谈一谈自己的感受.随后,教师可引导学生体验下图的探究过程:
问题→猜想→证明→拓展
同样的课程给不同的学生会带来不同的感受.教师不必拘泥于学生总结的全面与否、深度如何,只要他们通过学习积累了属于自己的数学活动的经验就够了.
第一章证明
(二)
回顾与思考
河南省郑州八中刘正峰
一、学生知识状况分析
学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上,继续深入学习证明的方法和格式的;
多数学生已经了解证明的必要性,具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.
二、教学任务分析
教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展,引导学生从问题出发,根据观察、试验的结果,发现证明的思路.
本节课的教学目标是:
1.知识目标:
在回顾与思考中建立本章的知识框架图,复习有关定理的探索与证明,证明的思路和方法,尺规作图等.
2.能力目标:
进一步体会证明的必要性,发展学生的初步的演绎推理能力;
进一步掌握综合法的证明方法,结合实例体会反证法的含义;
提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.
3.情感价值观要求
通过积极参与数学学习活动,对数学的证明产生好奇心和求知欲,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好学习习惯.
4.重点与难点
重点:
通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点,
难点:
是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节:
第一环节:
创设问题情境,搭建“回顾与思考”的平台;
第二环节:
建立本章的知识框架图;
第三环节:
例题讲解;
第四环节:
课时小结;
第五环节:
布置作业。
学生课前准备:
一副三角尺;
教师课前准备:
制作好课件.
创设问题情境,搭建“回顾与思考”的平台
活动内容:
通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识,如定理、逆定理等。
活动目的:
使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固,最终达到掌握并灵活应用的目的。
活动过程:
问题1:
你能说说作为证明基础的几条公理吗?
教师通过学生回答并整理出六条公理如下:
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;
(SAS)
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;
(ASA)
5.三边对应相等的两个三角形全等;
(SSS)
6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
问题2:
向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.
①综合法:
从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理;
②反证法.
(教师可关注基础较差的学生,给于关注和指导)
问题3:
你能说出一对互逆命题吗?
它们的真假性如何?
问题4:
任意画一个角,利用尺规将其二等分、四等分.
已知:
如图,∠AOB
求作:
(1)射线OC,使∠AOC=∠BOC;
(2)射线OD、OE,使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB
作法:
(1)1、在OA和OB上分别分别截取OM、ON,使OM=ON.
2.分别以M、N为圆心,以大于
MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
3.作射线OC
∴OC就是∠AOB的平分线.
(2)同上,分别在AOC和BOC内部作射线OD、OE.
活动效果及注意事项:
在整理基本定理及相关知识时,可以先通过学生讨论,或在课前提前布置总结的任务,这样学生准备的更充足一些,课堂复习的效果估计会更好一些!
建立本章的知识框架图
本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关,主要包括哪些呢?
等腰三角形(含等边三角形)、直角三角形的性质定理及判定定理;
线段垂直平分线的性质定理及判定定理;
角平分线的性质定理及判定定理.
1.通过探索、猜测、计算、证明得到的定理:
(1)与等腰三角形、等边三角形有关的结论:
性质:
等腰三角形的两个底角相等,即等边对等角;
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;
等腰三角形两底角的平分线相等,两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等.
等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,并且每个角都等于60°
;
等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等.
判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形;
有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形;
三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)与直角三角形有关的结论:
勾股定理的逆定理;
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)
(3)与一般三角形有关的结论:
在一个三角形中,两个角不相等,它们所对的边也不相等(用反证法证明).
2.命题的逆命题及其真假:
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如勾股定理及其逆定理.
3.尺规作图
线段垂直平分线的性质定理和判定定理;
用尺规作线段的垂直平分线;
已知底边和底边上的高,用尺规作等腰三角形
角平分线的性质定理和判定定理;
用尺规作已知角的平分线.
例题讲解
例1、已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且DE=DF.
求证:
△ABC是等腰三角形.
分析:
要证△ABC是等腰三角形,可证∠B=∠C.
例2、如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC-BC=2.求AB与BC的长.
由已知AC-BC=2,即AB-BC=2,要求AB和BC的长,利用方程的思想,需找另一个AB与BC的关系.
课时小结
本章的内容总结如下:
布置作业
P38A组题中的第3、4、5、6、7、8题;
课外:
A组题中的9题,B组题第1、2、3题.
四、教学反思
本节容量较大,教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理,然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上,思路上可以更灵活一些,要让学生的积极性调动起来,做到以学生为本。
4.角平分线
(二)
学生的知识技能基础:
通过上节的学习,学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解,在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用,提高学生证明推理能力。
(1)证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.
(2)角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
(1)进一步发展学生的推理证明意识和能力.
(2)培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.
(3)提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力.
3.情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
4.教学重点、难点
重点
①三角形三个内角的平分线的性质.
②综合运用角平分线的判定和性质定理,解决几何中的问题.
难点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.
设置情境问题,搭建探究平台;
展示思维过程,构建探究平台;
课时小结;
课后作业。
设置情境问题,搭建探究平台
问题l习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什么?
能证明自己发现的结论一定正确吗?
于是,首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”.
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明,但最终,教师要引导学生进行逻辑上的证明。
展示思维过程,构建探究平台
如图,设△ABC的角平分线.BM、CN相交于点P,
证明:
P点在∠BAC的角平分线上.
过P点作PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,其中D、E、F是垂足.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理:
PE=PF.
∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
∴△ABC的三条角平分线相交于点P.
在证明过程中,我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外,还有什么“附带”的成果呢?
(PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等.)
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论,即定理三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形
锐角三角形
交于三角形内一点
钝角三角形
交于三角形外一点
直角三角形
交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
问题2
如图:
直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有几处?
你如何发现的?
要求学生思考、交流。
实况如下:
[生]有一处.在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处.因为三角形三条角平分线交于一点,且这一点到三边的距离相等.而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等.这一点刚好符合.
[生]我找到四处.(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外,我认为在三角形外部还有三点.作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示),我们利用角平分线的性质定理和判定定理,可知点P1在∠CAB的角平分线上,且到l1、l2、l3的距离相等.同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3;
因此满足条件共4个,分别是P、P1、P2、P3
教师讲评。
[例1]如图,在△ABC中.AC=BC,∠C=90°
,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD.
本例需要运用前面所学的多个定理,而且将计算和证明融合在一起,目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法,并能综合运用它们解决问题.第
(1)问中,求AC的长,需求出BC的长,而BC=CD+DB,CD=4cIn,而BD在等腰直角三角形DBE中,根据角平分线的性质,DE=CD=4cm,再根据勾股定理便可求出DB的长.第
(2)问中,求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这种形式的证明,利用转化的思想AB=AE+BE,所以需证AC=AE,CD=BE.
(1)解:
∵AD是△ABC的角平分线,
∠C=90°
,DE⊥AB.
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC(等边对等角).
∵∠C=90°
,
∴∠B=
×
90°
=45°
.
∴∠BDE=90°
—45°
=45°
∴BE=DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=42cm(勾股定理),
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm.
(2)证明:
由
(1)的求解过程可知,
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
[例2]已知:
如图,P是么AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C、D.
求证:
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
(1)P是∠AOB角平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等).
在Rt△OPC和Rt△OPD中,
OP=OP,PC=PD,
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理).
∴OC=OD(全等三角形对应边相等).
(2)又OP是∠AOB的角平分线,
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理).
思考:
图中还有哪些相等的线段和角呢?
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点,且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题.
课后作业
习题1.9第1、2题
本节对学生能力的要求很高,如例1中问题作为教师要善于利用这个典型例题,加以发挥,使例题的功能得以体现,达到以点带线,以线带面的功效。
如果课堂时间允许还可以将该题加以改变,用多种方法证明和求解。
4.角平分线
(一)
本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质,而此处在学生回忆的基础上,尝试着证明它,学习角平分线的画法,并还能说明所作的射线是角平分线的理由,进一步讨论三角形三个内角平分线的性质.
①角平分线的性质定理的证明.
②角平分线的判定定理的证明.
③用尺规作已知角的角平分线.
①进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力.
②体验解决问题策略的多样性,提高实践能力.
3.情感与价值观要求
①角平分线的性质和判定定理的证明.
②用尺规作已知角的角平分线并说明理由.
①正确地表述角平分线性质定理的逆命题.
②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言,对几何命题加以证明.
设置情境温故知新;
展示思维空间.构建活动空间;
随堂练习及时巩固;
设置情境温故知新
搭建探究平台问题
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下:
从折纸过程中,我们可以得出CD=CE,
即角平分线上的点到角两边的距离相等.
你能证明它吗?
展示思维空间.构建活动空间
请同学们自己尝试着证明它,然后在全班进行交流.
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.
PD=PE.
∵∠1=∠2,OP=OP,
∠PDO=∠PEO=90°
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理,我们再来一起陈述:
(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题.你能写出这个定理的逆命题吗?
我们在前面学习线段的垂直平分线时,已经历过构造其逆命题的过程,我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题.
如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线上.
此时有学生提问:
“我觉得这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线,而角的外部也存在到角两边距离相等的点.”
教师肯定这位同学思考问题很仔细.并加以解释。
事实上,从同一点出发的两条射线一般组成两个角,而“角的内部”通常是指其中小于180°
的角的内部,其余部分为角的外部.如上图所示,到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF,但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线.因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件.
再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.
它是真命题吗?
你能证明它吗?
[生]没有加“在角的内部”时,是假命题.
(由大家自己独立思考完成,在全班讨论交流,对困难学生可个别辅导)
证明如下:
在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,
点P在么AOB的角平分线上.
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理).
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。
你能用什么办法平分一个已知角呢?
能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗?
请在小组内交流.
学生提出:
可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法.
教师提出:
学习的是用直尺和圆规平分一个已知角.
∠AOB(如图)
射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE,使OD=OE.
2.分别以D、E为圆心,以大于
DE的长为半径作弧,两弧在么AoB内交于点C.
3.作射线OC
OC就是∠AOB的平分线.
(教学时,教师可以边介绍作法,边让学生动手完成整个操作过程)
完成做法后,请学生说明OC为什么是∠AOB的平分线,与同伴交流.
从作图的过程中,不难发现OD=OE,CE=CD,OC=OC,
△OCEC≌△OCD(SSS).
∴∠1=∠2,即OC是∠AOB的角平分线.
随堂练习及时巩固
如图,AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?
解:
∵AD平分∠CAB.
∴又∠1=∠2=
∠CAB
又∵AE平分∠CAF.
∠CAB+∠CAF=180°
∴∠3=∠4=
∠CAF
∵∠CAB+∠CAF=180°
∴∠1+∠3=
(∠CAB+∠CAF)=
180°
=90°
,即AD⊥AE.
这节课我们在折纸的基础上,证明了角平分线的性质定理和判定定理,并学习了用尺规作一个已知角的角平分线,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
1.习题1.8第1,2,3题.
2.阅读“读一读”,使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”
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