初中数学专题复习证明一含答案文档格式.docx
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两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称:
两直线平行,同位角相等.
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:
两直线平行,内错角相等.
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:
两直线平行,同旁内角互补.
(四)证明的一般步骤和方法
(1)根据题意,画出图形;
(2)根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证;
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
(五)三角形内角和定理的证明思路:
作平行线转移三角形的一个或两个或三个角,构造平角或同旁内角
(六)三角形内角和定理的两个推论
1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
二、考点与命题趋向分析
(一)能力
1.了解证明的含义
(1)理解证明的必要性.
(2)通过具体的例子,了解含义、命题、定理的含义,会区分命题的条件(题设)和结论.
(3)通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的.
(4)掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据.
2.掌握以下基本事实,作为证明的依据
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等.
(2)两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两条直线平行.
(3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别相等,则这两个三角形全等.
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.利用2中的基本事实证明下列命题
(1)平行线的性质定理(内错角相等,同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行).
(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和,三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角).
(二)命题趋向分析
本章内容在中考中单独命题时一般以填空题、选择题为主,主要考查三角形内角和定理及推论等知识的综合运用.有时也作为一个大题的一个步骤出现.
【例1】
(2003年天津市)如图,△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°
,则∠EDF=_______.
【分析】由∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°
,由∠FDC=90°
知,∠EDF与∠BDE互余,而∠BDE与∠B互余,故只需求∠B.由∠AFD=158°
,可求∠C,而∠C=∠8.
【解】∠EDF=68°
∵∠AFD=∠C+∠FDC
∴∠C=∠AFD-∠FDC
=158°
-90°
=68°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=68°
在Rt△BED中,∠B+∠BDE=90°
又∵∠EDF+∠BDE+∠FDC=180°
,
而∠FDC=90°
∴∠EDF+∠BDE=90°
∴∠EDF=∠B=68°
【规律总结】遇到这个基本图形,要注意∠EDF=∠B.
【例2】
(2003年陕西省)下列语句,哪些是命题,哪些不是命题?
(1)平角都相等.
(2)平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)直线AB与CD垂直吗?
(4)两直线平行,同旁内角互补.
(5)延长线段AB到C使AC=2AB.
(6)若│a│<
0,则a是一个负数.
【分析】
(1)、
(2)、(4)是真命题;
(6)是假命题;
(3)是一个疑问句,它没有判断的意思,因而它不是命题.(5)是一个画图语句,是陈述句,因此(5)也不是命题.
【解】
(1)、
(2)、(4)、(6)都是命题,其余不是.
三、解题方法与技巧
方法1:
代数方法解决几何问题
【例1】在等腰三角形ABC中,若AB=AC,且BD=BC=AD.
求:
∠A的度数.
【思路分析】由等腰三角形两底角相等及三角形外角知识,可求得图中各角间的关系,设∠A为x°
,通过三角形内角和定理找等量关系,列方程,求出x的值.
【解】设∠A为x°
∵AD=BD
∴∠1=∠A=x°
∴∠2=∠A+∠1=2x°
∵BD=BC
∴∠C=∠2=2x°
∴∠ABC=∠C=2x°
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°
∴x+2x+2x=180
∴x=36,即∠A=36°
方法2:
分类讨论方法
【例2】小明是一个数学迷.一天,他与同学一起研究质数时得到这样一个猜想:
“若P为质数,P3+5也为质数,则P5+7一定为合数.”你能肯定他的这个猜想是正确的吗?
【思路分析】我们不妨从质数的分类(奇质数、偶质数)入手.若P为奇质数,则P3为奇数,则P3+5为大于或等于32的偶质数,这是不存在的,则P为偶质数,则P=2,问题变得很简单了.
【解】若P为奇质数,则P3+5为偶质数,∵P3≥27,∴P3+5≥32,因为不存在这样的偶质数,所以可知:
P一定为偶质数,即P=2,∴P5+7=39为一个合数.
方法3:
转化方法:
将非常规图形问题转化为三角形问题来解决.
【例3】如图所示,是一个正五角星.即∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,求∠A的度数.
【分析】在△AMN中,∠A+∠1+∠2=180°
,而利用∠1是△MCE的外角知∠1=∠C+∠E,∠2是△NBD的外角,可得∠2=∠B+∠D,故∠A+∠B+∠D+∠C+∠E=180°
.从而可求∠A的度数.
【解】在△AMN中,∠A+∠1+∠2=180°
又∵∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D
∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴5∠A=180°
∴∠A=36°
【规律总结】我们常常见到正五角星,应用所学数学知识可以发现它周围的五个等腰三角形顶角均是36°
,通过前面的学习,也知道这五个等腰三角形均是黄金三角形,其底边与腰长的比为
,使其看起来令人感到很舒服.
本题体现了转化的思想方法,把求∠A的度数转化为先求五个顶角的度数和,再转化为三角形问题来解决.
方法4:
利用外角知识解决角度计算问题
【例4】如所示,△ABC的三条角平分线相交于O点,过O作OE⊥BC于E.
求证:
∠BOD=∠COE。
【思路分析】如图所示,∠BOD与∠OCE互余,∠1和∠OCE互余,
∴∠BOD=∠COE.
【证明】由题意∠3=∠2,∠4=∠5,
∠6=7,而∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠4+∠3+∠7=90°
∵∠BOD=∠3+∠4
∴∠BOD+∠7=90°
又∵∠1+∠7=90°
∴∠BOD=∠1
【规律总结】在有关角度计算问题中,要灵活运用外角知识,构建图中各角间的联系,使角度计算问题得以顺利解决.
【例5】如图所示,已知AB=AC,AD=AE,其中D在BC上,E在AC上,∠BAD=30°
,求∠EDC的度数.
【思路分析】如图10-5所示,∠AED是△EDC的外角,∠ADC是△ABD的外角.灵活运用外角知识将顺利解决问题.
【解】∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED=∠EDC+∠C
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=2∠EDC+∠C
∵∠ADC=∠BAD+∠B
∴2∠EDC+∠C=∠BAD+∠B
∵∠B=∠C
∴∠EDC=
∠BAD=
×
30°
=15°
方法5:
数学建模思想
【例6】地面上有10条公路(假设公路是笔直的,并且可以无限延伸),无任何三条公路交于同一个岔口,现有31位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警执勤,请你画出分路的示意图.
【思路分析】把分路抽象成10条直线,岔口抽象或点,由交警的人数及题意可知这10条直线刚好有31个交点,而平面上的10条直线,若两两相交,最多可出现45个交点(
=45),按题目要求只出现了31个交点,即要减少14个交点,通常有如下两种方法:
①多条直线共点;
②出现平行线.
但①不符合题意,故考虑方法②.若在同一方向上有5条直线互相平行,则可减少10个交点,若有6条直线平行,则可减少15个交点,故在这个方向上最多可取5条平行线,这时还需要减去4个点,转一个方向取3条平行线,即可减少3个交点,这时还剩下2条直线和1个需要减去的点,只需让其在第三个方向上互相平行.
【解】如图的三组平行线即为所求公路的示意图.
【规律总结】
1.平面上n条直线,最多有
n(n-1)个交点;
2.平面内两直线不相交则平行,是两直线平行的又一判定方法.
3.很多实际问题可以通过构建数学模型来解决.
四、中考试题归类解析
(一)按规律推理
【例1】
(2004,呼和浩特)下列一组按规律排列的数:
1、2、4、8、16…,第2004个数是()
A.22004B.22004-1C.22003D.以上答案均不对
【思路分析】1=202=214=228=2316=24…可以得到规律是第n个数2n-1所以第2004个数是22004-1=22003
【解】答案:
C
(二)命题、定理
(2004年,黄石)下列四个命题()
(1)一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形.
(2)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.
(3)等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则底角的度数为75°
.
(4)三点确定一个圆.
其中不正确的命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【思路分析】
(1)等腰梯形符合条件但不是平行四边形.
(2)没有符合这个条件的判断两个三角形全等的定理.
(3)当等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半时底角的度数不为75°
(4)应加上“不在同一直线上”才能正确.
D
【规律总结】证明是假命题只要能举出一个反例说明不成立就可以.
(三)证明
(2004年,宜昌)已知:
如图,点C、D在△ABE的边BE上,BC=ED、AB=AE,求证:
AC=AD。
【思路分析】从图形分析可以证△ABC与△AED全等来证AC=AD.
【证明】∵AB=AE∴∠B=∠E
在△ADE和△ACB中
∴△ADE≌△ACB
∴AD=AC
【规律总结】此题还可以过A作AF⊥BE,垂足为点F证明,AF是DC的垂直平分线.
(2004年,上海)如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,延长BA到点D,使AD=
AB,点E、F分别为边BC,AC的中点.
(1)求证:
DF=BE.
(2)过点A作AG∥BC,交DF于点G,求证:
AG=DG。
【思路分析】欲证DF=BE而BE=EC可证明△DAF≌△EFC欲证AG=DG,可证明∠DAG=∠D.
【证明】:
(1)∵EF是△ACB中位线
∴EF=
AE
又∵AD=
AB
∴EF=AD
而AF=FC
∵EF∥AB,∠BAC=90°
∴∠EFC=90°
在△DAF和△EFC中
∴△DAF≌△EFC
∴DF=EC
而EC=BE∴DF=BE
(2)由
(1)得∠D=∠FEC而∠FEC=∠B
∴∠D=∠B
∵AG∥BC
∴∠B=∠DAG
∴∠D=∠DAG
∴AG=DG
【规律总结】三角形中位线平行于底边且等于底边一半是非常重要的一个定理,要善于利用它.
五、中考试题集萃
(一)选择题:
1.(2004年,淄博)观察下列数表:
1234…第一行
2345…第二行
3456…第三行
4567…第四行
┇┇┇┇
第第第第
一二三四
列列列列
根据数表所反映的规律,第n行第n列交叉点上的数应为()
A.2n-1B.2n+1C.n2-1D.n2
2.(2004,福州)下列命题错误的是()
A.平行四边形的对角相等;
B.等腰梯形的对角线相等
C.两条对角线相等的平行四边形是矩形;
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
3.(2004,岳阳)给出下列四个命题,正确的个数为()
(1)平行四边形的对角线互相垂直平分;
(2)两条对角线互相垂直的矩形是正方形
(3)菱形的对角线互相垂直;
(4)对角线互相垂直的四边形是菱形
A.4B.3C.2D.1
(二)解答题
1.(2004年,长沙)请用“如果……,那么……”的形式写一个命题:
________.
2.(2004,荆州)如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,且AE=CE,FC∥AB,求证:
CD=AF。
3.(2004,岳阳)如图,已知:
.求证:
BD=CE。
4.(2004,玉林)如图,在△ABC中,AB=AC,BE平分∠ABC,DE∥BC,求证:
DE=EC.
5.(2004,郴州)如图,在ABCD中,DE=BF,求证:
四边形AFCE是平行四边形.
6.(2004,四川实验区)如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠BEF交CD于点G,∠1=50°
,求∠2的度数.
答案:
一、选择题:
1.A2.D3.C
二、解答题:
1.答案不惟一,略.
2.证明:
∵FC∥AB,∴∠DAF=∠FCE
又AE=CE,∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF又AD∥CF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴CD=AF.
3.证明:
过点E作EM∥AB交BF于点M
在△BDF中∵EM∥BD∴△FME∽△FBD∴
在△ABC中∵EM∥AB∴△ABC∽△EMC∴
即
又∵已知
∴
∴BD=CE.
4.证法一:
∵DE∥BC∴
又AB=AC∴DB=EC
∵DE∥BC∴∠DEB=∠EBC而∠DBE=∠EBC
∴∠DEB=∠DBE∴DB=DE∴DE=EC.
证法二:
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
∵DE∥BC∴四边形BCED为等腰梯形
∴DB=EC∴DE∥BC
∴∠DEB=∠EBC而∠DBE=∠EBC∴∠DEB=∠DBE
∴DB=DE∴DE=EC.
5.证明:
因为平行四边形ABCD,所以DC=ABAD=BC
∵DE=BF∴CE=AF∵∠D=∠B∴△ADE≌△CBF
∴AE=CF∴四边形AFCE是平行四边形.
6.解法一:
∵AB∥CD∴∠BEF+∠1=180°
∴∠BEF=180°
-∠1=130°
∵EG平分∠BEF∴∠BEC=∠FEG=
∠BEF=65°
∵AB∥CD∴∠2=∠BEG=65°
解法二:
∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠FEG=
∵∠1+∠2+∠FEG=180°
∴∠2=180°
-∠1-∠FEG=65°
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