知识梳理与自测人教A版文科数学《122 不等式的证明》 第2课时Word文档格式.docx
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5.放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.
概念方法微思考
1.综合法与分析法有何内在联系?
提示 综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清楚,当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证明过程.
2.分析法的过程中为什么要使用“要证”,“只需证”这样的连接“关键词”?
提示 因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件,符合分析法的思维是逆向思维的特点,因此在证题时,这些词是必不可少的.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)当a≥0,b≥0时,≥.( √ )
(2)用反证法证明命题“a,b,c全为0”的假设为“a,b,c全不为0”.( ×
)
(3)若实数x,y适合不等式xy>
1,x+y>
-2,则x>
0,y>
0.( √ )
(4)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.( √ )
题组二 教材改编
2.[P35例3]已知a,b∈R+,a+b=2,则+的最小值为( )
A.1B.2
C.4D.8
答案 B
解析 因为a,b∈R+,且a+b=2,
所以(a+b)=2++≥2+2=4,
所以+≥=2,即+的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.
3.[P21例2]若a,b,m∈R+,且a>
b,则下列不等式一定成立的是( )
A.≥B.>
C.≤D.<
解析 因为a,b,m∈R+,且a>
b.
所以-=>
0,即>
,故选B.
题组三 易错自纠
4.已知a+b+c>
0,ab+bc+ac>
0,abc>
0,用反证法求证a>
0,c>
0时的反设为( )
A.a<
0,b<
0,c<
0B.a≤0,b>
C.a,b,c不全是正数D.abc<
答案 C
5.若a>
1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是( )
A.x>
yB.x<
yC.x≥yD.x≤y
答案 A
解析 x-y=a+-
=a-b+=.
1,得ab>
1,a-b>
0,
所以>
0,即x-y>
0,所以x>
y.故选A.
6.若a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>
cB.a>
c>
bC.b>
aD.c>
a>
b
解析 “分子”有理化得a=,b=,
c=,∴a>
c.
题型一 用综合法与分析法证明不等式
例1
(1)已知x,y均为正数,且x>
y,求证:
2x+≥2y+3;
(2)设a,b,c>
0且ab+bc+ca=1,求证:
a+b+c≥.
证明
(1)因为x>
0,x-y>
2x+-2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
≥3=3(当且仅当x-y=1时,等号成立),
所以2x+≥2y+3.
(2)因为a,b,c>
所以要证a+b+c≥,
只需证明(a+b+c)2≥3.
即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,
而ab+bc+ca=1,
故需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),
即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
而ab+bc+ca≤++
=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)成立,
所以原不等式成立.
思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.
跟踪训练1(2017·
全国Ⅱ)已知a>
0,a3+b3=2,证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明
(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a4+b4-2a2b2)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)
≤2+(a+b)
=2+(当且仅当a=b时,取等号),
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
题型二 放缩法证明不等式
例2
(1)设a>
0,<
,|y-2|<
,求证:
|2x+y-4|<
a.
证明 由a>
0,|x-1|<
,可得|2x-2|<
,
又|y-2|<
∴|2x+y-4|=|(2x-2)+(y-2)|≤|2x-2|+|y-2|<
+=a.
即|2x+y-4|<
(2)设n是正整数,求证:
≤++…+<
1.
证明 由2n≥n+k>
n(k=1,2,…,n),得
≤<
.
当k=1时,≤<
;
当k=2时,≤<
…
当k=n时,≤<
∴=≤++…+<
=1.
∴原不等式成立.
思维升华
(1)在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的证明技巧,常见的放缩方法有:
①变换分式的分子和分母,如<
,>
,<
,上面不等式中k∈N*,k>
1;
②利用函数的单调性;
③利用结论,如“若0<
a<
b,m>
0,则<
.”
(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时,常与放缩法结合在一起应用,利用放缩法时要目标明确,通过添、拆项后,适当放缩.
跟踪训练2设f(x)=x2-x+1,实数a满足|x-a|<
1,求证:
|f(x)-f(a)|<
2(|a|+1).
证明 |f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a|·
|x+a-1|<
|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<
1+|2a|+1=2(|a|+1),即|f(x)-f(a)|<
1.已知函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>
0,n>
0),求证:
m+4n≥2+3.
(1)解 当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,
∴或或
解得x≤-2或x≥5.
∴不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).
(2)证明 由f(x)≤1,即|x-a|≤1,
解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2],
∴解得a=1,
∴+=1(m>
0),
∴m+4n=(m+4n)=3++≥2+3.
当且仅当m=+1,n=时等号成立.
2.已知函数f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)<
x+1的解集M;
(2)设a,b∈M,证明:
(a2+1)(b2+1)>
2a2+2b2.
(1)解 当x≥3时,|x-3|<
x+1等价于x-3<
x+1,不等式恒成立,所以x≥3;
当x<
3时,|x-3|<
x+1等价于3-x<
x+1,即x>
1,
所以1<
x<
3,
综上可知,不等式f(x)<
x+1的解集为M={x|x>
1}.
(2)证明 因为(a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2)
=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2
=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),
又因为a,b∈M,所以a>
1,b>
因此a2>
1,b2>
1,a2-1>
0,b2-1>
所以(a2-1)(b2-1)>
所以原不等式(a2+1)(b2+1)>
2a2+2b2成立.
3.(2018·
河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=|x-5|,g(x)=5-|2x-3|.
(1)解不等式f(x)<
g(x);
(2)设F=f(x2+y2)-g(3y+12),求证:
F≥2.
(1)解 由题意得原不等式为|x-5|+|2x-3|<
5,
等价于或
或
解得x∈∅或≤x<
3或1<
综上可得1<
3.
∴原不等式的解集为{x|1<
3}.
(2)证明 F=|x2+y2-5|+|2(3y+12)-3|-5
=|x2+y2-5|+|6y+21|-5
≥|x2+y2-5+6y+21|-5
=|x2+(y+3)2+7|-5
=x2+(y+3)2+2≥2,
当且仅当x=0且y=-3时等号成立.
4.(2018·
河北武邑中学模拟)已知a>
0,且a2+b2=2.
(1)若+≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;
(2)证明:
(a5+b5)≥4.
(1)解 设y=|2x-1|-|x-1|=
由a2+b2=2,得(a2+b2)=1,
故+=(a2+b2)
=≥=,
当且仅当a2=,b2=时取等号,
所以≥|2x-1|-|x-1|.
当x≥1时,x≤,得1≤x≤;
当<
1时,3x-2≤,解得x≤,故<
当x≤时,-x≤,解得x≥-,故-≤x≤,
综上可知,-≤x≤.
(2)证明 (a5+b5)=a4+b4++,
=(a2+b2)2++-2a2b2,
≥(a2+b2)2+2-2a2b2=(a2+b2)2=4,
当且仅当a=b=1时取等号.
5.(2018·
广西南宁第二中学模拟)
(1)如果关于x的不等式|x+3|+|x-2|<
m的解集不是空集,求参数m的取值范围;
(2)已知正实数a,b,且h=min,求证:
h≤.
(1)解 ∵|x+3|+|x-2|≥|(x+3)-(x-2)|=5,
当且仅当(x+3)(x-2)≤0,
即-3≤x≤2时等号成立,
∴m>
∴参数m的取值范围为(5,+∞).
(2)证明 ∵a2+b2≥2ab(a>
∴≤,即a×
≤.
由于0<
h=min≤a,0<
h=min≤,
∴h2≤a×
≤,∴h≤.
6.已知函数f(x)=|x-3|.
(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥5;
(2)若|a|>
1,且f(ab)>
|a|·
f,证明:
|b|>
(1)解 |x-3|+|x-2|≥5,
当x>
3时,(x-3)+(x-2)≥5,x≥5;
当2≤x≤3时,(3-x)+(x-2)≥5,1≥5,无解;
2时,(3-x)+(2-x)≥5,x≤0,
综上,不等式的解集为{x|x≥5或x≤0}.
(2)证明 f(ab)>
f等价于|ab-3|>
,即|ab-3|>
|b-3a|,则(ab-3)2>
(b-3a)2,化简得a2b2+9-b2-9a2>
0,即(a2-1)(b2-9)>
0.
因为|a|>
1,所以a2-1>
0,所以b2-9>
0,|b|>
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