材料力学内部习题集及答案.doc
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第二章轴向拉伸和压缩
2-1一圆截面直杆,其直径d=20mm,长L=40m,材料的弹性模量E=200GPa,容重γ=80kN/m3,杆的上端固定,下端作用有拉力F=4KN,试求此杆的:
⑴最大正应力;
⑵最大线应变;
⑶最大切应力;
⑷下端处横截面的位移。
解:
首先作直杆的轴力图
⑴最大的轴向拉力为
故最大正应力为:
⑵最大线应变为:
⑶当(为杆内斜截面与横截面的夹角)为时,
⑷取A点为轴起点,
故下端处横截面的位移为:
2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L。
已知杆横截面面积为A,长度为L,材料的容重为。
解:
距离为x处的轴力为
所以总伸长
2-3图示结构,已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。
在结点A处受荷载F作用,今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1=4×10-4,ε2=2×10-4,试确定荷载P及其方位角θ的大小。
解:
由胡克定律得
相应杆上的轴力为
取A节点为研究对象,由力的平衡方程得
解上述方程组得
2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用,且F1=F2=F,已知杆的横截面面积为A,材料的应力-应变关系为ε=cσn,其中c、n为由试验测定的常数。
(1)试计算杆的总伸长;
(2)如果用叠加法计算上述伸长,则所得的结果如何?
(3)当n=1时,上述两解答是否相同?
由此可得什么结论?
解:
(1)轴力图如图(a)所示。
根据:
则
(2)采用叠加法。
单独作用F1时,轴力图如图(b)所示。
单独作用F2时,轴力图如图(c)所示。
则
(3)当n=1时,上述两解答相同。
结论:
只有当与成线性关系时,叠加法才适用于求伸长。
2-5试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移,已知两根杆的抗拉刚度均为EA。
解:
取C点分析受力情况,如图(b)所示,得
因此只有CD杆有伸长
变形几何图如图(c)所示,得。
2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂,钢丝绳绕过定滑轮G、H。
已知钢丝的E=210GPa,绳横截面面积A=100mm2,荷载F=20KN,试求C点的铅垂位移(不计绳与滑轮间的摩擦)。
解:
首先要求绳的内力。
刚性梁的受力分析如图,
由平衡方程:
解得:
绳的原长
绳的伸长量为
在作用下结构变形如图,
可得:
再由三角几何关系得:
由、式联立可得:
又因为:
所以,
2-7图示结构中AB杆为刚性杆,杆AC为钢质圆截面杆,直径d1=20mm,E1=200GPa;杆BD为铜质圆截面杆,直径d2=25mm,E2=100GPa,试求:
(1)外力F作用在何处(x=?
)时AB梁保持水平?
(2)如此时F=30kN,则两拉杆横截面上的正应力各为多少?
解:
(1).容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为
从而AC杆、BD杆的伸长量
若要AB梁保持水平,则两杆伸长量应相等,即.
于是,
(2).当时,两拉杆横截面上的正应力分别为
2-8图示五根杆的铰接结构,沿其对角线AC方向作用两力F=20kN,各杆弹性模量E=200GPa,横截面面积A=500mm2,L=1m,试求:
(1)AC之间的相对位移△AC,
(2)若将两力F改至BD点,则BD点之间的相对位移△BD又如何?
解:
(1)取节点为研究对象,受力分析如图(b)
由平衡方程:
得
同理,可得:
节点受力分析如图(c)
,
,,四杆材料相同,受力大小相同,所以四个杆的应变能相同,可求得整个杆件应变能为:
力作的功为:
由弹性体的功能原理得:
当两力移至两点时,可知,只有杆受力,轴力为
所以
从而
2-9图示结构,已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2,E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。
解:
取AB为研究对象,选取如图所示坐标轴,
故,即,
即,
于是得,
,即,
于是,
解得:
,
所有构件的应变能为
由功能原理得,作的功在数值上等于该结构的应变能
即:
所以.
2-10图示结构,已知四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力,并求下端B点的位移。
解:
(1)以B结点为研究对象,受力图如图(a)所示
由得
得
以刚性杆为研究对象,受力图如图(b)所示
由得
由得
(2)由于1,2杆的伸长变形,引起CD刚性杆以及B结点的下降(如图(c))
由于3,4杆的伸长引起B点的继续下降(如图(d))
则
2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子,用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。
已知此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。
(1)如麻绳长为1.7m时,试问此时绳是否会拉断?
(2)如改变ɑ角使麻绳不断,则麻绳的长度至少应为多少?
解:
(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.
由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N.
即
而
则
于是,此时绳子不会被拉断.
(2)绳子被拉断时
其中
则
解得:
答:
(1)N=417N
(2)L=1.988m
2-12图示结构,BC为刚性杆,长度为L,杆1、2的横截面面积均为A,其容许应力分别为[σ1]和[σ2],且[σ1]=2[σ2],荷载可沿梁BC移动,其移动范围0<x<L,试从强度方面考虑,当x取何值时,F的容许值最大,Fmax等于多少?
解:
分析题意可知,由于1、2两杆横截面积均为A,而1杆的容许应力为2杆的二倍,则由公式可知,破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。
本题要求F的容许值最大,即当力F作用在距离B点的位置上时,1、2两杆均达到破坏所需的轴力,即
此时,对力的作用点求矩得:
解得:
此时,由竖直方向的受力平衡得:
2-13图示结构,AC为刚性杆,BD为斜撑杆,荷载F可沿杆AC移动,试问:
为使BD杆的重量最轻,BD杆与AC杆之间的夹角θ应取何值?
解:
如图所示,取整体为研究对象,对A点取钜,由得:
而
则
要想使重量最轻,应该使sin2θ最大,即2θ=90º
解得:
θ=45º
2-14铰接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力[σ]=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。
解:
由零杆的判别条件知,图中BC杆为零杆。
取整体为研究对象,对A点取钜,由得:
解得:
取D节点为研究对象,由平衡方程得:
则可以解得:
同理,对于B节点,也有平衡方程:
则可以解得:
于是,由许用应力定义得:
2-15圆截面钢杆如图所示,已知材料的E=200GPa,若杆内应变能U=4N·m,试求此杆横截面上的最大正应力。
解:
各截面压力相同为
应变能
代入数据可得kN
MPa
2-16图示杆件的抗拉(压)刚度为EA,试求此杆的应变能。
解:
如图所示,为杆件的轴力图,则杆件的应变能计算应该分为两部分。
其中:
则:
第三章扭转
3-1直径d=400mm的实心圆截面杆扭转时,其横截面上最大切应力τmax=100Mpa,试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。
解:
法1距圆心处切应力为
阴影部分扭矩k
法2:
距离圆心处切应力为
kN
3-2将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆,如图所示。
管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为GB和GA。
试分别求出该组合杆承受扭矩MT时,实心杆与空心管中的最大切应力表达式。
答:
实心杆:
,空心管:
解:
设实心杆受扭矩,空心管受扭矩,且两杆的最大切应力出现在外边缘处,
由已知得+=;
对两杆接触截面的相对转角相同,即=;
且=,=;
所以=,=;
则实心杆:
=,
空心管:
=
3-3图示受扭轴,AB段因安装手轮,截面为正方形,试从强度方面考虑,轴的容许扭矩因此降低了多少(用百分比表示)?
解:
由题意可知,从强度方面考虑,
即:
截面为圆时,
当截面为正方形时,如图,边长
查表可得,当时,
所以
所以降低为:
3-4受扭转力偶作用的圆截面杆,长L=1m,直径d=20mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa,两端截面的相对扭转角φ=0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变γ、横截面上的最大切应力τmax和扭转力偶矩Me。
答:
γ=1×10-3,τmax=80MPa,Me=125.6N•m
解:
由公式,=
得出Me=125.6N•m
且==80MPa,
由,得==.
3-5圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86º,如杆长L=300mm,试求端截面的扭转角;如果材料的G=2.7MPa,试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Me。
解:
rad
所以rad
MPa
另外因为
所以
3-6一根在A端固定的圆截面杆AB如图所示,图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。
杆在B端焊有一根不计自重的刚性臂,在截面C处有一固定指针,当杆未受荷载时,刚性臂及指针均处于水平位置。
如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物,同时在杆上D和E处作用有扭转力偶MD和ME。
当刚性臂及指针仍保持水平时,试求MD和ME。
解:
扭矩图如图(a)所示
要保证指针及刚性臂保持水平
则
得
(1)
得
(2)
(1)、
(2)两式联立
得
3-7图示圆截面杆,其全长受集度为m=的均布扭转力偶作用,并在中点受其矩为T的扭转力偶作用,试作此杆的扭矩图,并求杆的应变能。
解:
对1-1截面,有
.
.
对2-2截面,有
.
.
作出扭矩图.
(2)杆的应变能
.
第四章弯曲应力
4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。
解:
(a)1、计算支反力由平衡方程:
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AC段:
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