第6章计数问题模块Word文档下载推荐.docx
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若不考虑食物的挑选次序,则他可以有多少种不同的选择方法?
A.4B.24C.72D.144
C
×
=72。
【例4】一张节目表上原有3个节目,如果保持这三个节目的相对顺序不变,再添加2个新节目,有多少种安排方法?
A.20B.12C.6D.4
方法1:
两个节目排在一起:
=8;
两个节目分开排列A
=12。
共有20种安排方式。
方法2:
先将其中一个节目插入,4种方法;
再将另外一个节目插入,5种方法。
4×
5=20。
【例5】要求厨师从12种主料中挑出2种,从13种配料中挑出3种来烹饪菜肴,烹饪方式共7种,最多可做出多少道不一样的菜肴?
A.131204B.132132C.130468D.133456
C123C133×
7=13×
12×
11×
7尾数法;
7、3、4、13、11的倍数
【例6】小王忘记了朋友的手机号的最后两位数,只记得倒数第一位是奇数,则他最多要拨
号多少次才能保证拨通?
A.90B.50C.45D.20
5×
10=50分步计算思想。
【例7】用六位数字表示日期,如980716表示1998年7月16日,如用这种方法表示2009年的日期,则全年中六个数字都不相同的日期有多少个?
(C)
A.12B.29C.0D.1
表示为09ABCD=09123分步计算思想。
【例8】甲、乙、丙、丁四个人站成一排,已知:
甲不站在第一位,乙不站在第二位,丙不站在第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?
A.6B.12C.9D.24
错位排列问题核心提示
错位排列问题:
有N封信和N个信封,则每封信都不装在自己的信封里,可能的方法的种数记作Dn,D1=0;
D2=1;
D3=2;
D4=9;
D5=44;
D6=265……
核心要求:
大家只要把前六个数背下来即可:
0、1、2、9、44、265。
一一对应——123456
012944265
2倍加13倍减14倍加15倍减16倍加1
第三项=前两项之和的两倍
0×
2+1=1(0+1)×
2=2
1×
3-1=2(1+2)×
3=9
4+1=9(2+9)×
4=44
9×
5-1=44(9+44)×
5=265
44×
6+1=265
【例9】五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则错的可能情况共有多少种?
C
(在5个瓶子中抽3个瓶子)×
2(2是根据上面的核心公式而来)=20。
五个瓶子贴标签,恰好贴错1个,则错的情形有几种。
0=0。
★捆绑法(不能分开)——相邻。
ABCDEFG
ABCDEFG排队,CDE一定要在一起(相邻)CDE捆在一起,A
。
当成一个人,连同剩下的A、B、F、G,当成五个人进行排列,A
A
★插空法(不能在一起)——相隔。
又是ABCDEFG排队,CDE不能在一起,则先排列剩下4个的顺序,在在四个人形成的5个空中插入三人,跟顺序有关,则A
第2节比赛计数问题
核心提示
N支队伍的比赛所需场次:
N个人打淘汰赛,决出冠军或者决出冠、亚军都要打N-1场比赛。
N个人打淘汰赛,决出冠军、亚军、第三名、第四名要打N场比赛。
循环赛,单循环(任意两队打一场比赛),C
循环赛,双循环(任意两队打两场比赛),2×
主客场
注:
默认的循环赛应改为“单循环赛”。
【例1】十支球队打联赛,每两支球队都需要进行主、客两场比赛,请问一共需要打多少场比赛?
(A)
A.90B.95C.98D.99
【例2】100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛,要产生男、女冠军各一名,则要安排单打赛多少场?
【例3】某足球赛决赛,共有24个队参加,它们先分成六个小组进行循环赛,决出16强,这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军和第三、四名。
总共需要安排多少场比赛?
A.48B.51C.52D.54
循环赛6×
=36。
决出1、2、3、4名,16场。
(世界杯32支球队,分成8个组,循环赛8×
=48。
决出1、2、3、4名,需16场,共64场比赛)
第3节容斥原理
基本解题方法
1.公式法(交∩,并∪)
两个集合:
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
三个集合:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
2.画图法
【例1】现有50名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人,两种实验都做错的有4人,则两种实验都做对的有多少人?
A.27人B.25人C.19人D.10人
设都做对的是X。
40+31-X=50-4
两集合容斥原理公式:
1的个数+2的个数-都的个数=总-都不的个数。
【例2】某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都及格的有22人,那么两次考试都没有及格的人数是多少?
A.10B.4C.6D.8
设都不及格的人数为X。
26+24-22=32-X
【例3】一个停车场有50辆汽车,其中红色轿车35辆,夏利轿车28辆,有8辆既不是红色轿车又不是夏利轿车,问停车场有红色夏利轿车多少辆?
A.14B.21C.15D.22
设红色夏利轿车为X辆,则35+28-X=50-8。
【例4】60个人上身着白上衣或黑上衣,下身着蓝裤子或黑裤子。
其中有12个人穿白上衣蓝裤子,有34个人穿黑裤子,有29个人穿黑上衣,求身着黑裤子黑上衣多少人?
( )
A.13
B.14
C.15
D.20
根据公式“黑裤子数+黑上衣数-黑裤子黑上衣数=总数-白衣服蓝裤子数”可得:
34+29-x=60-12,解得x=15。
【例5】一名外国游客到北京旅游,他要么上午出去游玩,下午在旅馆休息,要么上午休息,下午出去游玩,而下雨天他只能一天都呆在屋里。
期间,不下雨的天数是12天,他上午呆在旅馆的天数为8天,下午呆在旅馆的天数为12天,他在北京共呆了多少天?
A.16天B.20天C.22天D.24天
假设在北京呆了N天。
上呆+下呆-上下呆=总-上下都不呆
8+12-下雨天(N-12)=N-0(上下午都不呆宾馆,故为0)
32=2N=>N=16
【例6】对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有多少人?
A.22人B.28人C.30人D.36人
只喜欢看电影=既不喜欢看球赛,又不喜欢看戏剧。
设其为X。
喜欢球赛(58)+喜欢戏剧(38)-二者都喜欢(18)=总数(100)-既不喜欢看球赛又不喜欢看戏剧(X)。
X=22;
总数部分两集合还是三集合,所以用100。
复杂容斥原理画图法核心步骤:
一、画圈图;
二、标数字三、做计算
【例8】某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;
有3人既会说英语又会说法语,有2人既会说法语又会说西班牙语,有2人既会说西班牙语又会说英语;
有1人这三种语言都会说。
则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人?
A.1人B.2人C.3人D.5人
读题时倒着读,从中间开始标数字,逐渐往外边延伸。
【例9】外语学校有英语、法语、日语教师共27人,其中只能教英语的有8人,只能教日语的有6人,能教英、日语的有5人,能教法、日语的有3人,能教英、法语的有4人,三种都能教的有2人,则只能教法语的有多少人()
A.4人B.5人C.6人D.7人
【例10】三个图形共覆盖的面积为290,其中X、Y、Z的面积分别为64、180、160。
X与Y、Y与Z、Z与X的重叠面积分别为24、70、36,求阴影部分面积为()?
A.12B.16C.18D.20
290=64+180+160-24-70-36+X,算尾数,选B。
第四节抽屉原理问题
处理数学运算当中抽屉原理问题最常用方法:
运用“最不利原则”
“保证”后面那句话,就是最不利的对象。
【例1】有红、黄、蓝、白珠子各10粒,装在一只袋子里,为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同,应至少摸出几粒?
A.3B.4C.5D.6
4+1=5。
【例2】在一个口袋里有10个黑球,6个白球,4个红球,至少取出几个球才能保证其中有白球?
A.14B.15C.17D.18
10+4+1=15。
【例3】一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。
问最少抽几张
牌,才能保证有4张牌是同一种花色的?
A.12B.13C.15D.16
3+1=13。
【例4】从一副完整的扑克牌中,至少抽出多少张牌,才能保证至少6张牌的花色相同?
A.21B.22C.23D.24
一幅完整的扑克牌,有大小王各一张。
1(大王)+1(小王)+4×
5+1=24。
第五节植树相关问题*
基本知识点
1.单边线型植树公式:
棵数=总长÷
间隔+1;
总长=(棵数-1)×
间隔
2.单边环型植树公式:
间隔;
总长=棵数×
3.单边楼间植树公式:
间隔-1;
总长=(棵数+1)×
4.双边植树问题公式:
相应单边植树问题所需棵树的2倍
【例1】有一条大街长20米,从路的一端起,每隔4米种一棵树,则共有()棵树?
A.5棵B.4棵C.6棵D.12棵
单边线型植树问题。
根据单边线型植树公式(棵数=总长÷
间隔+1)
总长=20米,间隔=4米,所需的棵数=20÷
4+1=6(棵),选择C。
【例2】一块三角地,在三个边上植树,三个边的长度分别为156米、186米、234米,树与树之间的距离均为6米,三个角上都必须栽一棵树,问共需植树多少棵?
A.90棵B.93棵C.96棵D.99棵
单边环型植树问题。
根据单边环型植树公式(棵数=总长÷
间隔)
总长=234+186+156=576米,间隔=6米,所需的棵数=576÷
6=96(棵)
【例3】有两座塔间距140米,两塔间每隔20米种一棵树,则共需种多少棵树?
A.7棵B.6棵C.8棵D.5棵
单边楼间植树问题。
根据单边楼间植树公式(棵数=总长÷
间隔-1)
总长=140米,间隔=20米。
所需的棵数=140÷
20-1=6(棵),选择B。
【例4】为了把2008年北京奥运办成绿色奥运,全国各地都在加强环保,植树造林。
某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树,现运回一批树苗,已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米,若每隔4米栽一棵,则少2754棵;
若每隔5米栽一棵,则多396棵,则共有树苗()。
A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵
方法1,设棵数为x,两条路长分别为a、b,根据公式可得到方程组:
(
+1)×
2+(
+1)×
2=x+2754
2=x-396
=>
x=13000,选择D。
[注释]解上述方程组的时候,需要观察两个方程的特征,显然,上式乘以4与下式乘以5的差即可将a与b同时消去。
方法2,设棵数为x,两条路总长为L,因为一条路上线形双边植树中,棵数比段数的2倍多2,所以两条路上线形双边植树里,棵数应该比段数的2倍多4。
我们得到:
×
2+4=x+2754
2+4=x-396
【例5】把一根钢管锯成5段需要8分钟,如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟?
A.32分钟B.38分钟C.40分钟D.152分钟
类似单边楼间植树问题。
钢管锯成5段,有4个锯口;
锯成20段,有19个锯口。
故所需的时间为:
8÷
19=38分钟。
第6节方阵问题
基本公式
1.N排N列的实心方阵人数为N2人;
2.N排N列的方阵,最外层有4N-4人;
其他多边形可类推之。
3.方阵中:
方阵人数=(最外层人数÷
4+1)2
【例1】某校的学生刚好排成一个方阵,最外层的人数是96人,问这个学校共有学生多少人?
A.600人B.615人C.625人D.640人
方阵的人数=(96÷
4+1)2=625。
四个选项只有C是平方数。
【例2】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形,正好用完,后来又改围成一个正方形,也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币,则小红所有五分硬币的总价值是多少?
A.1元B.2元C.3元D.4元
围成一个三角形,“围”说明是空心的。
设正三角形每边是N个硬币。
3(N-1)=4(N-5-1);
3n-3=4n-24n=21总长=60;
60×
0.05=3元
第七节过河问题
基本知识点
1.M个人过河,船上能载N个人,由于需要一人划船,故共需过河
次
2.“过一次河”指的是单程,“往返一次”指的是双程;
3.载人过河的时候,最后一次不再需要返回。
几个人划船,上述的1就相应条件成几。
【例1】49名探险队员过一条小河,只有一条可乘7人的橡皮船,过一次河需3分钟。
全体队员渡到河对岸需要多少分钟?
A.54B.48C.45D.39
[
2-1(最后一次不用回来了)]×
3=45。
【例2】有37名红军战士渡河,现仅有一只小船,每次只能载5人,需要几次才能渡完?
A.7次B.8次C.9次D.10次
【例3】32名学生需要到河对岸去野营,只有一条船,每次最多载4人(其中需1人划船),往返一次需5分钟,如果9时整开始渡河,9时17分时,至少有()人还在等待渡河。
A.15B.17C.19D.22
11。
9时-9时17分,过去了17分钟,期间往返3次,并载着4个人从这岸开往对岸,那么已到对岸9人,船上有4人,还有19人。
问题改为,如果从9点出发,到9点19分最多能送上岸几个人?
19÷
5=3个往返……4分钟,即船还不能到原来的岸边接人渡河,此时已送上岸12人,划船的人不过岸接人,最多能送上岸13人。
问题改为,如果从9点出发,到9点33分最多能送上岸几个人?
33÷
5=6.6个来回。
6个往返一定能送上岸18个人,由于过了半个来回,船上的4个人也能到岸,共22人到岸。
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