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1,以x为自变量,显然定义域为实数r;
1,以x为自变量,显然定义域也为实数r;
两者作用法则相同“2□?
1”
与自变量用何记号表示无关,故两者为同一函数;
sinx,x?
★3.设?
(x)?
(x)的图形
分段函数;
注意自变量的不同范围;
()?
sin
,求?
(
),?
(),?
),?
2),并做出函数644
6
1?
2?
,?
sin?
242?
4?
2?
0;
如图:
★4.试证下列各函数在指定区间内的单调性:
x
1?
lnx,?
0,?
单调性定义。
单调性是局部性质,函数在定义域内不一定有单调性,但是可以考查定义域的
某个子区间上函数的单调性的问题。
利用单调性的定义即可。
(1)设x1,x2?
,当x1?
x2时,
y1?
y2?
(2)设x1,x2
x1xx1?
x2
0,由单调性的定义知是单调增函数;
x11?
x21?
,x1?
x2,
(x1?
lnx1)?
(x2?
lnx2)?
x2)?
ln
x2,知
x1x2
由x1,x2
x1x
,则有?
1,故ln1?
0(对数函数的性质)
x2x2
0,得结论是单调增函数;
★5.设
f(x)为定义在?
l,l?
内的奇函数,若f(x)在?
0,l?
内单调增加,证明:
f(x)在?
l,0?
内也单调增加
单调性和奇偶性的定义。
从单调增加的定义出发,证明过程中利用奇函数的条件;
证明:
设x1,
由
x2?
x1?
x2,则?
x1,?
(0,l),?
x1,
f?
在?
内单调增加得,f?
f?
x1?
,又f?
为定义在?
内的奇函
,即f?
,则结论成立。
数,则
(1)式变形为?
★6.设下面所考虑函数的定义域关于原点对称,证明:
(2)两个偶函数的和仍然是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;
(3)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
函数奇偶性定义,奇偶性是函数的整体性质。
本题可作为结论应用。
按定义证明即可。
设函数f?
(1)设f
当
;
g?
定义域分别是d1,d2(d1,d2是关于原点对称区间)
g?
,定义域为d1?
d2,显然d1?
d2也关于原点对称,
g?
均为偶函数时,f?
,得
为偶函数;
均为奇函数时,f?
,得
为奇函数;
(2)令g当
d2,d1?
d2关于原点对称,
均为奇函数时,g?
)?
均为偶函数时,g?
,得f?
为
偶函数;
得g?
为一奇一偶时,g?
,
为奇函数;
★7.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数?
ex?
e?
(1)y?
tanx?
secx?
1;
xcosxecosx;
。
函数奇偶性定义,奇偶性是函数的整体性质;
按定义证明,尤其先判断函数定义域是否关于原点对称,并利用基本初等函数的性质;
(1)f?
tan?
sec?
1,显然既不等于f?
,也不
等于?
,故是非奇非偶函数;
下面三个函数的定义域为全体实数r,关于原点对称
(2)
e?
,故是偶函数;
xcos?
xecos?
,故是奇函数;
★8.下列各函数中哪些是周期函数?
并指出其周期:
cos?
xtanx;
(3)y?
sin2x。
函数周期性。
利用定义,及基本初等函数性质,或已知结论,可按已知结论(如弦函数y?
acos?
c,
则最小正周期t
,切函数也有类似结论)。
(1)由弦函数周期公式知最小正周期t?
(2)对正数t,不是周期函数;
t?
,而切函数周期是?
的整数倍,故本题函数
sin2x?
cos2x2?
,则最小正周期t?
22
★★9.证明:
xsinx在?
上是无界函数;
无界函数定义。
证明函数在某区间上是无界的,只需证对?
m?
0(无论m有多大),?
x0?
(0,?
),使其
函数值|
|?
m即可。
对于任意正数m,要使|f?
|xsinx|?
m,
考虑当x
2k?
k?
z?
,|f?
1,(m?
m,只要k?
∴要使2k?
,取k0?
22?
∴?
2k0?
,使得|f?
|x0sinx0|?
m?
∴
上是无界函数
【篇二:
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解】
t>
习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?
如满足,请求出满足定理的数值
。
f(x)?
2x2?
3,[?
1,1.5];
x,[0,3]。
罗尔中值定理。
(1)∵f(x)?
3在[?
1,1.5]上连续,在(?
1,1.5)内可导,且f(?
1)?
f(1.5)?
0,
(2)∵∴
1
1,1.5)即为所求。
4
x在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)?
f(3)?
0,f(x)?
x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。
令
4x3?
5x2?
2在区间[0,1]上的正确性。
f
(1)?
f(0)
3
拉格朗日中值定理。
可验证定理的正确性。
1]连续,在(0,1)内可导,∴y?
4x?
5x?
2在解:
∵y?
f(x)?
2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。
又区间[0,
32
2,f(0)?
2,f?
12x2?
10x?
1,
∴要使
f(0)5?
0,只要:
(0,1),
012
★3.已知函数
要使
的?
f
(2)?
f
(1)3
1★★4.试证明对函数
总是位于区间的正中间。
证明:
不妨设所讨论的区间为[a,b],则函数y?
px2?
qx?
r在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,从
而有
f(b)?
f(a)(pb2?
qb?
r)?
(pa2?
qa?
r)
b?
ab?
a
,结论成立。
★5.函数
x3与g(x)?
1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件?
如满足,请求出满
柯西中值定理。
根据柯西中值定理的条件和结论,求解方程
便为所求。
∵f(x)?
x3及g(x)?
1在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且在(1,2)内的每一点处有
0,所以满足柯西中值定理的条件。
14
即为满足定理的数值。
★★★6.设
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f
(1)?
0。
求证:
/
结论出发,变形为
f/(x)x?
f(x),然后再利用罗尔中值定理,便得结论。
构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
构造辅助函数f(x)?
xf(x),f?
xf?
(x)
根据题意f(x)
xf(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f
(1)?
f
(1)?
f(x)
,只要x
注:
辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推,如:
要使f?
(x)1[xf(x)]?
[lnf(x)]?
[lnx]?
[lnxf(x)]?
[xf(x)]?
0f(x)xxf(x)
xf(x)
∴只要设辅助函数f(x)
★★7.若函数
f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,且f(x1)?
f(x2)?
f(x3)
罗尔中值定理的应用。
连续两次使用罗尔中值定理。
∵f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,∴f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]内连续,
在(x1,x2)、(x2,x3)内可导,又
f(x1)?
f(x3),
(x2,x3),
★★8.若4次方程
a0x4?
a1x3?
a2x2?
a3x?
a4?
0有4个不同的实根,证明:
4a0x3?
3a1x2?
2a2x?
a3?
的所有根皆为实根。
讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。
令f(x)?
a0x4?
a4
则由题意,∵又
f(x)有4个不同的实数零点,分别设为x1,x2,x3,x4,
f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4]上连续,在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)上可导,
f(x3)?
f(x4)?
三次方程最多有3个实根,从而结论成立。
★★★9.证明:
方程
x5?
0只有一个正根。
零点定理和罗尔定理的应用。
思路:
讨论某些方程根的唯一性,可利用反证法,结合零点定理和罗尔定理得出结论。
零点定理往往用来
讨论函数的零点情况;
罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
x5?
1,∵f(x)在[0,1]上连续,且f
(1)?
0,f(0)?
5
(x?
1)(x?
2)(x?
3)(x?
4)的导数,说明方程f?
0有几个实根,
★★10.不用求出函数
并指出它们所在的区间。
讨论导函数的零点,可考虑利用罗尔中值定理。
∵f(x)?
4)在[1,2]、[2,3]、[3,4]上连续,
f
(2)?
f(4)?
0为三次方程,至多有三个实根,
又方程∴
★★★11.证明下列不等式:
arctana?
arctanb?
a?
b;
(2)当x
1时,ex?
ex;
(3)设x
11
0,证明ln(1?
x;
(4)当x?
0时,ln(1?
利用拉格朗日中值定理。
(或
f(a)b?
(1)令f(x)?
arctanx,∵f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
【篇三:
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解】
xt>
课后习题全解
习题5-1
★★1.利用定积分的定义计算由抛物线
1,直线x?
a,x?
b(b?
a)及横轴所围成的图形的
面积
定积分的定义及几何意义思路:
根据求定积分的三步骤做
解:
将?
a,b?
分成n等分,取?
i(i?
n)为第i个小区间[a?
点,则?
i?
1i
(b?
a),a?
(b?
a)]的右端nn
xi?
?
i?
i,nn
显然,?
b
n?
于是根据定积分的几何意义,该图形面积
n
a2b?
a?
ydx?
lim?
y(?
i)?
xi?
[(a?
1]
0n?
nni?
0i?
an2b?
a(b?
a)22?
[a?
n2ai?
n2i]n?
ni?
a)2n22
lim[n(a?
2a?
i]?
2n?
nnni?
1i?
2a(b?
a)n(n?
1)(b?
a)21
n(n?
1)(2n?
1)]}?
lim{(b?
a)[a?
23n?
n2n6
1(b?
a)211(1?
1)(?
2)]?
a)lim[a?
a)?
n?
n6nn
a)2b3?
a3
]?
a).?
33
★★2.利用定积分的定义计算下列积分:
定积分的定义
a
xdx(a?
b).
n
易见函数f(x)?
c?
,从而可积,将?
分成n等分,则?
于是?
i
;
取?
n)为第i个小区间的右端点,则b?
i,i?
0,1,2,?
n?
1,
所以
xdx?
f(?
(a?
i)
1n?
1b?
a[na?
(0?
1)]}
nn
an(n?
1)b?
a1
2]?
(1?
)]
n22n
)?
(b2?
a2).?
a)(a?
a)
(2)
e
lnxdx
in
用分点xi?
e(i?
0,1,?
n)划分区间?
1,e?
:
xi则?
e,i?
1,2,?
n,取?
i是区间右端点,
ini?
1n
i
e,f(?
ln(?
lne?
ii?
1in
作和,并取极限得:
lnxdx?
(e?
en)
1n?
1ni1i?
lim{?
[?
(en?
en)]}
1ni?
111i?
1(1?
e)
e)lim()?
en?
lim11n?
1n1?
en(1?
x0
0g(x)记g(x)?
,则当时,是型的,由洛必达法则,
ex0
有lim
x1
01?
exx?
ex
从而,当n?
时,有
nlim
11?
e
1n
1,故
lnxdx?
e)?
1.
★3.利用定积分的几何意义,说明下列等式:
2xdx?
定积分的几何意义
定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积
等式右边.解:
等式左边为直线y?
2x与x轴和x?
1三条直线所围成的面积,该面积等于?
12
等式左边为正弦曲线y?
sinx与x轴在x?
及x?
之间所围成的面积,其左右两边面积互
为相反数.则
sinxdx?
等式右边
★★4.
用定积分的几何意义求
0)的值.
定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:
bb?
a为圆心,为半径的上半圆,是以22
12?
b?
a2?
a)2
()?
其面积为:
s?
r?
2228
由定积分的几何意义知:
8
.
1p?
2p?
np
(p?
0)表示成定积分.★★★5.试将和式的极限lim
np?
根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分
np11p2pnp1nip
lim[()?
()]?
()解:
lim
nn?
nnp?
1nnni?
设
p
,则用定义求解
f(x)dx为:
①、等分[0,1]为n个小区间:
[
1i1
],i?
n,?
nnn
nn
1iii1
]上的右端点为?
i,即?
,作和:
②、求和:
取区间[
nnnni?
ip11nip
③、求极限:
()
11p?
np1nipp
∴lim?
lim()?
xdx?
p?
★★★6.有一河,宽为200米,从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深,测得数据如下:
试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.
由定积分定义知:
求定积分(曲边梯形面积)的第二步:
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积,即
f(?
xi
xi?
f(x)dx,
若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为:
xi1
[f(xi?
f(xi)]?
f(x)dx。
积分区间?
0,200?
并对该区间作10等分,则区间分点xi(i?
n)及其对应的函数值
yi恰如表中所示,第i段的梯形横截面面积:
(yi?
yi)?
2n
[(y0?
y10)?
y1?
y9]?
2330m∴此河横截面面积a?
n2
习题5-2
★1.证明定积分性质:
kf(x)dx?
f(x)dx.(k是常数)
定积分性质
利用定义推导定积分的性质
设f(x)在?
上可积,对任意的分法与取法,记
max{?
xi}(i?
n)
f(x)dx?
klim?
kf(?
kf(x)dx
k
dx?
dx=b?
a.
因为
1,于是对任意的分法,有
dx?
lim(b?
★2.估计下列各积分的值:
(x2?
1)dx
确定被积函数在积分区间上的最大、最小值,从而确定积分值的取值范围解:
因为x及x?
1在区间[1,4]上单调递增,故2?
17,x?
[1,4],
而区间长度b?
a即6?
3,所以2?
6?
1)dx?
17?
51.
51
exdx
记f(x)?
ex,先求出f(x)在?
上的最值,
由于
ex?
2xex?
所以f(x)在?
上单调增加,
因此min
f(0)?
e0?
1,maxf(x)?
e1?
e,即1?
e,
再由定积分的性
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