微积分在物理竞赛中的应用整理人教版.docx
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微积分在物理竞赛中的应用整理人教版
求解在立体斜面上滑动的物体的速度
一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩擦因数恰好满足,为斜面的倾角。
今使物体获得一水平速度而滑动,如图一,求:
物体在轨道上任意一点的速度V与的关系,设为速度与水平线的夹角。
解:
物体在某一位置所受的力有:
重力,弹力以及摩擦力。
摩擦力总是与运动速度V的方向相反,其数值
重力在斜面上的分力为,如图二,将分解为两个分力:
是沿轨迹切线方向的分力,;是沿轨迹法向的分力,,如图三。
根据牛顿运动定律,得运动方程为
(1)
(2)
由
(1),
而
得到
(3)
式中是t的函数,但是这个函数是个未知函数,因此还不能对上式积分,要设法在与t中消去一个变量,才能积分,注意到
(4)
而表示曲线在该点的曲率半径,根据
(2)式,
(5)
由式(3)(4)(5),可得到
,
积分,得到
,
运用积分法求解链条的速度及其时间
一条匀质的金属链条,质量为m,挂在一个光滑的钉子上,一边长度为,另一边长度为而且,如图一。
试求:
链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。
解:
设金属链条的线密度为当一边长度为,另一边长度为时受力如图二所示,则根据牛顿运动定律,得出运动方程
则
因为,所以
令可以求得链条滑离钉子时的速度大小
再由得到
积分,得到
令x=,可以求得链条滑离钉子所需的时间为
求解棒下落过程中的最大速度
在密度为的液体上方有一悬挂的长为L,密度为的均匀直棒,棒的下端刚与液面接触。
今剪断细绳,棒在重力和浮力的作用下下沉,若,求:
棒下落过程中的最大速度。
解:
剪断细绳后,直棒在下沉过程中受到重力和浮力的作用,如图一所示。
根据牛顿运动定律,有
(1)
随着棒往下沉,浮力逐渐增大。
当直棒所受合力为零,即时,棒的加速度为零,速度最大。
设棒达到最大速度时,棒浸入液体中的长度为,设棒的截面积为S,则有
解得,
(2)
取x坐标如图所示,则
(1)式可以写为
做变量代换,令代入上式,得到
两边积分,得到
得到,
将
(2)式代入(3)式,得棒的最大速度为
运用微分法求解阻尼平抛
质量为m的物体,以初速为,方向与地面成角抛出。
如果空气的阻力不能忽略,并设阻力与速度成正比,即,k为大于零的常数。
求:
物体的运动轨道。
解:
根据受力情况,列出牛顿运动定律方程
其分量式,
(1)
(2)
将代入式
(1),得
改写成
两边积分,得到
可见由于空气阻力的存在,x方向的速度不再是常数,而随时间逐渐衰减。
由于再积分,并以t=0时x=0,代入得到
(3)
同理,由于式
(2)转化为
积分,并以t=0时,代入,得到
可见,y方向的速度也不再是匀减速的。
再将上式对时间积分,并以t=0时y=0代入,得到
(4)
由(3)(4)两式消去t,得到有阻力时的轨道方程
显然由于空气阻力的作用,抛体的轨道不再是简单的抛物线了,实际轨道将比理想轨道向左下方偏离,如图一。
例如:
以初速620m/s,仰角发射的步枪子弹的射程,没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.
求解飞机的滑行距离
飞机以的水平速度触地滑行着陆。
滑行期间受到空气的阻力为,升力为,其中V是飞机的滑行速度。
设飞机与跑道间的摩擦系数为,试求:
飞机从触地到停止所滑行的距离。
解:
取飞机触地点为坐标原点,取飞机滑行方向为x轴。
飞机在水平方向上受力为:
摩擦力,空气阻力为;在竖直方向上受力为:
重力、支持力和升力如图一所示,应用牛顿第二定律,得到
由上两式消去N,得到
利用
得到
分离变量,积分
,
得到
在飞机触地的瞬间,支持力N=0,由运动方程,得到
于是
这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。
社(升阻比),。
代入数值计算后,得到
x=221m.
求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题
两小球的质量均为m,小球1从离地面高度为h处由静止下落,小球2在小球1的正下方地面上以初速同时竖直上抛。
设空气阻力与小球的运动速率成正比,比例系数为k(常量)。
试求:
两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。
解:
两小球均受重力和阻力作用,取坐标如图一所示,两小球的运动方程可统一表示为
它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的,故
分离变量
对于小球1,初始条件为时,故
(1)
对于小球2,初始条件是t=0时,故
得到
(2)
由
(1)式,得到
积分,得到
由式
(2)得到
积分,得到
两小球相遇时,相遇时间为,由(3(4)两式,得到
,
故
把上述结果代入(3)或者(4),得到两小球相遇的地点
代入
(1)
(2),得到两小球相遇时的速度
讨论:
(1)当阻力很小时,即当时,利用展开式
上述结果简化为
这正是不考虑空气阻力时的结果。
(2)当考虑如提设的空气阻力时,由上述结果可知,只在下述条件下
或者
两小球才有可能相遇。
在非惯性系中求解球环系统的运动情况
一轻绳的两端分别连接小球A和小环B,球与环的质量相等,小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动,如图一。
现使小球在图示的平面摆动。
求:
小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。
解:
当小球摆动时,小环沿钢丝做加速运动。
以小环B为参考系,则小球受重力和绳子拉力外,还受惯性力的作用,如图二。
其加速度沿圆弧的切线方向。
在最大摆角为时的运动方程为
小环B在水平方向的运动方程为.
解方程,得到
。
小球A相对地的加速度,取如图二所示的坐标系,则有
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