第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准.doc

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第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准

一、参考解答：

解法一

取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为

（1）

a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．

以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有

S

P

（2）

设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得

（3）

（4）

图1

由图1可知，P点的坐标

（5）

（6）

把（5）、（6）式代入

（1）式化简得

（7）

根据求根公式可得

（8）

由

（2）、（3）、（4）、（8）各式并代入有关数据得

（9）

可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为

（10）

式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有

（11）

得

（12）

代入有关数据得

（13）

设P点速度方向与的夹角为（见图2），根据开普勒第二定律

（14）

S

P

其中为面积速度，并有

（15）

由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得

（16）

图2

解法二

取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为

（1）

其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知

（2）

将

（2）式代入

（1）式可得

（3）

以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有

（4）

在近日点，由（3）式可得

（5）

将、、的数据代入（3）式即得

（6）

可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能

（7）

式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有

（8）

可得

（9）

代入有关数据得

（10）

设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为，再根据角动量守恒定律，有

（11）

根据（8）式，同理可得

（12）

由（6）、（10）、（11）、（12）式并代入其它有关数据

（13）

评分标准：

本题20分

解法一

（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，（13）式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．

解法二

（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，（10）式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．

二、参考解答：

q

a

B

D

C

A

N1

N2

E

mg

mg

f2

F

O

y

f1

N4

N3

x

1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：

为地面作用于杆的摩擦力，为地面对杆的支持力，、为杆作用于杆的摩擦力和支持力，、分别为墙对杆和的作用力，为重力.取杆和构成的系统为研究对象，系统平衡时,由平衡条件有

（1）

（2）

以及对A点的力矩

即

（3）

式中待求.是过的竖直线与过的水平线的交点，为与的交点．由几何关系有

（4）

取杆CD为研究对象，由平衡条件有

（5）

（6）

以及对点的力矩

（7）

解以上各式可得

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

CD杆平衡的必要条件为

（14）

由（12）、（13）、（14）式得

（15）

AB杆平衡的必要条件为

（16）

由（10）、（11）、（16）式得

（17）

因此，使系统平衡，应满足的条件为（15）式和（17）式．

2．将题给的数据代入（15）式可得

（18）

将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得

（19）

因此，的取值范围为

（20）

评分标准：

本题20分

第1问15分

（1）、

（2）、（3）式共3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）式共3分，（9）、（10）式各1分,（12）到（17）式各1分．

第2问5分

（18）式1分，（19）式3分，（20）式1分．

三、

参考解答：

解法一

图1

T

O

P

1．设在时刻，小球和圆筒的运动状态如图1所示，小球位于点，绳与圆筒的切点为，到的距离即绳的拉直部分的长度为，圆筒的角速度为，小球的速度为.小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度和垂直于绳子方向的速度两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有

（1）

（2）

因为绳子不可伸长，与切点的速度相等，即

（3）

解

（1）、

（2）、（3）式得

（4）

（5）

由（4）式可得

（6）

这便是在卫星角速度减至时绳的拉直部分的长度．

2．由（6）式，当得

T

图2

O

（7）

这便是绳的总长度L.

3．如图2所示，从时刻到，切点跟随圆筒转过一角度，由于绳子的拉直部分的长度增加了，切点相对圆筒又转过一角度，到达处，所以在时间内，切点转过的角度

（8）

切点从变到也使切线方向改变了一个同样的角度，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度引起的，故有

（9）

由

（1）、

（2）、（3）式可得

（10）

由（8）、（9）、（10）三式得