学年高中数学北师大版选修12同步学案第一章 21 条件概率与独立事件Word版含答案.docx
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学年高中数学北师大版选修12同步学案第一章21条件概率与独立事件Word版含答案
§2 独立性检验
2.1 条件概率与独立事件
学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
知识点一 条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格,90件产品的质量合格,85件产品的长度、质量都合格.
令A={产品的长度合格},B={产品的质量合格},AB={产品的长度、质量都合格}.
思考1 试求P(A),P(B),P(AB).
答案 P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
思考2 任取一件产品,已知其质量合格(即B发生),求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率.
答案 事件A|B发生,相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格,其概率为P(A|B)=.
思考3 P(B),P(AB),P(A|B)间有怎样的关系.
答案 P(A|B)=.
梳理 条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下,A发生的概率,称为B发生时A发生的条件概率,记为P(A|B).
(2)公式
P(A|B)=(其中,A∩B也可以记成AB).
(3)当P(A)>0时,A发生时B发生的条件概率为P(B|A)=.
知识点二 独立事件
甲箱里装有3个白球、2个黑球,乙箱里装有2个白球,2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球,记事件A=“从甲箱里摸出白球”,B=“从乙箱里摸出白球”.
思考1 事件A发生会影响事件B发生的概率吗?
答案 不影响.
思考2 P(A),P(B),P(AB)的值为多少?
答案 P(A)=,P(B)=,
P(AB)==.
思考3 P(AB)与P(A),P(B)有什么关系?
答案 P(AB)=P(A)·P(B).
梳理 独立事件
(1)概念:
对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.
(2)推广:
若A与B相互独立,则A与,与B,与也相互独立.
(3)拓展:
若A1,A2,…,An相互独立,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1.在“A已发生”的条件下,B发生的概率可记作P(A|B).( × )
2.在某种情况下,条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩,相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算.( √ )
3.如果事件A与事件B相互独立,则P(B|A)=P(B).( √ )
4.“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.( √ )
类型一 条件概率
例1 甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问:
(1)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率是多少?
(2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率是多少?
解 设A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则:
(1)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率是
P(A|B)===.
(2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率是
P(B|A)===0.60.
反思与感悟 条件概率的求法
(1)利用定义,分别求出P(A)和P(AB),得P(B|A)=.特别地,当B⊆A时,P(B|A)=.
(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=.
跟踪训练1 某地区气象台统计,该地区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率是,设下雨为事件A,刮风为事件B.求:
(1)P(A|B);
(2)P(B|A).
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 由题意知P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
(1)P(A|B)===.
(2)P(B|A)===.
类型二 事件的独立性的判断
例2 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下列两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
解 有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},
它有4个基本事件,由等可能性知概率都为.
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男,女),(女,男)},
于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B),
所以事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.
由等可能性知这8个基本事件的概率均为,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.
于是P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
显然有P(AB)==P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法:
直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法:
检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
(3)条件概率法:
当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
跟踪训练2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)
①A,B;②A,C;③B,C.
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
答案 ①②③
解析 根据事件相互独立性的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.
可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.
类型三 求相互独立事件的概率
例3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
解 用A,B,C分别表示“这三列火车正点到达”的事件,
则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
(1)由题意得A,B,C之间互相独立,
所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2=1-P()=1-P()P()P()
=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地,已知两个事件A,B,它们发生的概率分别为P(A),P(B),那么:
(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.
(2)A,B都发生为事件AB.
(3)A,B都不发生为事件.
(4)A,B恰有一个发生为事件A+B.
(5)A,B中至多有一个发生为事件A+B+.
跟踪训练3 某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率:
语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是( )
A.0.612B.0.765C.0.329D.0.68
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案 C
解析 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,
则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85,
故P(BC+AC+AB)
=P(BC)+P(AC)+P(AB)
=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]
=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329.
1.下列说法正确的是( )
A.P(B|A)
B.P(B|A)=是可能的
C.0
D.P(A|A)=0
答案 B
解析 ∵P(B|A)=,
而P(A)≤1,∴P(B|A)≥P(AB),∴A错;
当P(A)=1时,P(AB)=P(B),
∴P(B|A)==,∴B正确;
而0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,∴C、D错,故选B.
2.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.B.C.D.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
答案 B
解析 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A,
因为事件相互独立,所以P(A)=×+×=.
3.坛子里放有3个白球,2个黑球,从中不放回地摸球,用A1表示第1次摸得白球,A2表示第2次摸得白球,则A1与A2是( )
A.互斥事件B.相互独立事件
C.对立事件D.不相互独立事件
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
答案 D
解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件,故选项A,C错.而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响,故两者是不相互独立事件.
4.在感冒流行的季节,设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5,则他们中有人患感冒的概率是________.
答案 0.8
解析 设甲、乙患感冒分别为事件A,B,则
P=1-P()=1-P()P()=1-(1-0.6)(1-0.5)=0.8.
5.一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,两人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率是________,问题得到解决的概率是________.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
答案
解析 设“甲解决这道难题”为事件A,“乙解决这道难题”为事件B,则A,B相互独立.
所以两人都未解决的概率为P()=×=.
问题得到解决的概率为P(A)+P(B)+P(AB)=1-P()=1-=.
1.条件概率的前提条件是:
在知道事件A必然发生的前提下,只需局限在A发生的范围内考虑问题,在事件A发生的前提下事件B发生,等价于事件A和B同时发生,由古典概型知,其条件概率为P(B|A)===,
其中,n(Ω)为一次试验可能出现的所有结果数,n(A)为事件A所包含的结果数,n(AB)为AB同时发生时的结果数.
2.P(AB)=P(A)P(B)使用的前提条件是A,B为相互独立事件;当事件A与B相互独立时,事件A与、与B、与也相互独立.
3.求事件的概率时,有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题,可
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