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4)从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段:
设将S3个销售点(S3=0,1,2,3,4)全部分配给第三个地区时,最大利润值为:
f3(S3)=max[P3(X3)]其中X3=S3=0,1,2,3,4
表1
X.X3
S3\
P3(X3)
f3(S3)
*
X3
1
2
3
4
12
22
36
47
第二阶段:
设将S2个销售点(S2=0,1,2,3,4)分配给乙丙两个地区时,对每
一个S2值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:
f2(S2)=max[P2(X2)+f3(S2-X2)]
其中,X2=0,1,2,3,4
表2
P2(X2)+f3(S2-X2)
f2(S2)
X2
0+12
13+0
13
0+22
13+12
24+0
25
0+36
13+22
24+12
34+0
0,2
0+47
13+36
24+22
34+12
42+0
49
第一阶段:
设将S1个销售点(S1=4)分配给三个地区时,则最大利润值为:
f1(S1)=max[P1(X1)+f2(4-X1)]
其中,X1=0,1,2,3,4
表3
\/1S1\
P1(X1)+f2(4-X1)
f1(4)
X1
0+49
16+36
28+25
40+13
50+0
53
2,3
然后按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有两个:
最大总利润为53
1)由X1*=2,X2*=1,X3*=1。
即得第一个地区分得2个销售点,第二个地区分得1个销售点,第三个地区分得1个销售点。
2)由X1*=3,X2*=1,X3*=0。
即得第一个地区分得3个销售点,第二个地区分得1个销售点,第三个地区分得0个销售点。
3、某施工单位有500台挖掘设备,在超负荷施工情况下,年
产值为20万元/台,但其完好率仅为0.4,在正常负荷下,年产值为15万元/台,完好率为0.8。
在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量,使第四年年末仍有160台设备保持完好,并使产值最高。
试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。
1)该问题分成四个阶段,k表示年度,k=1,2,3,4
2)设Sk表示为分配给第k年初拥有的完好挖掘设备数量,
Uk表示为第k年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量,
Dk(Sk)={Uk|0<
Uk<
Sk}
Sk—Uk表示为第k年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。
状态转移方程:
Sk+1=0.4Uk+0.8(Sk—Uk),S1=500台
3)设vk(sk,uk)为第k年度的产量,则
vk=20Uk+15(Sk—Uk)
故指标函数为V1,4='
Vk(Sk,Uk)
k=1
fk(Sk)表示由资源量Sk出发,从第k年开始到第4年结束时所生产的产量最大。
4)递推关系式:
fk(Sk)=MAX{20Uk+15(Sk—Uk)+fk+1【0・4Uk
5)从第4阶段开始,向前逆推计算
当k=4时,
S5=160,0.4U4+0.8(S4-U4)=1602S4-U4=400U4=2S4-400
f4(S4)=MAX{20U4+15(S4—U4)+f5[0・4U4+0・8(S4—U4)]}
=MAX{5U4+15S4}
=25S4-2000
当k=3时,
f3(S3)=MAX{20U3+15(S3—U3)+f4[0・4U3+0・8(S3—U3)]}
=MAX{5U3+15S3+25(0・8S3-0・4U3)-2000}
=MAX{-5U3+35S3-2000}
故得最大解U3*=0
所以f3(S3)=35S3-2000
依次类推,可求得:
U2*=0,f2(S2)=43S2-2000
U1*=0,f1(S1)=49.4S1-2000
因为S1=500台,故f1(S1)=22700台
最优策略为U1*=0,U2*=0,U3*=0,U4*=112
已知S1=500,
S2=0・4U1*+0・8(S1—U1*)=0・8S1=400
S3=0・4U2*+0・8(S2—U2*)=0・8S2=320
S4=0・4U3*+0・8(S3—U3*)=0・8S3=256
即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工,第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工,144台投入正常负荷下施工。
这样最高产量为22700台。
4、某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭,生产以万只为单
位。
根据以往记录,一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3
万、2万只。
设每万只存放在仓库内一个季度的存储费为0.2万元,
每生产一批的装配费为2万元,每万只的生产成本费为1万元。
问应该怎样安排四个季度的生产,才能使总的费用最小?
再生产点性质,
Ci(Xi)="
0以:
=眷=1,2,nhi(xi)=0.2Xi
C(1,1)=C(3)+h(0)=5C(1,2)=C(5)+h
(2)=7.4
C(1,3)=C(8)+h(5)+h(3)=11・6
C(1,4)=C(10)+h(7)+h(5)+h
(2)=14.8
C(2,2)=C
(2)+h(0)=4C(2,3)=C(5)+h(3)=7.6
C(2,4)=C(7)+h(5)+h
(2)=10.4
C(3,3)=C(3)+h(0)=5C(3,4)=C(5)+h
(2)=7.4
C(4,4)=C
(2)+h(0)=4
f0=0f1=f0+C(1,1)=5j
(1)=1
f2=min{f0+C(1,2),f1+C(2,2)}=min{0+7.4,5+4}=7.4j
(2)=1
f3=min{f0+C(1,3),f1+C(2,3),f2+C(3,3)}
=min{0+11.6,5+7.6,7.4+5}=11.6j(3)=1
F4=min{f0+C(1,4),f1+C(2,4),f2+C(3,4),f3+C(4,4)}
=min{0+14.8,5+10.4,7.4+7.4,11・6+4}=14.8j(4)=1,3
当j(4)=1,X仁d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0
当j(4)=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。
5、某工厂生产三种产品,各产品重量与利润关系如下表所示,
现将此三种产品运往市场出售,运输能力总重量不超过6吨。
问如何
安排运输使总利润最大。
种类
重量
利润
80
130
180
f36二maX180x3max(80X130x2)?
二max'
180x3f26-4x3'
x3=0,1
二max:
0f26,180f?
2?
f261=max130x2max(80x1)'
二max‘130x2仏6-3x2
x2=0,1,2
二max〈0f6,130f3,260f“0
二max:
240,210,260^
二260
x1=0
f22二ma护130x2max(80x1)』二maxS30x2」2-3x2
x2=0
fi2
=80
x1二1
f36二max「260,260?
x1=0,x2=2,x3=0
x1=1,x2=0,x3=1
6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制,由于资金不足,估计在年内这三种新产品研制不成功的概率分别为0.40、0.60、
0.80,因而都研制不成功的概率为0.4X0.6X0.8=0.192。
为了促进三
种新产品的研制,决定增援2万元的研制费,并要资金集中使用,以万元为单位进行分配。
其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所示。
试问如何分配费用,使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。
新产品
不成功IS率
A
B
c
-■a_--N
0J0
(MO
0.80
I
j
0.15
0.30
解:
1)(1分)将问题按产品A、B、C分为三个阶段,k=1、2、
2)(6分)设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产品的研制费,S1=2
Xk设为决策变量,表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。
状态转移方程为Sk+1=Sk—Xk
允许决策集合:
Dk(Sk)={XkI0<
Xk<
SkXk为整数}
Pk(Xk)表示为第k个产品失败的概率
fk(Sk)表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的最小的失败概率
3)(4分)递推关系式:
fk(Sk)=min[Pk(Xk)fk+i(Sk—Xk)]k=3,2,1
边界条件:
f4(S4)=1
4)(11分)从最后一个阶段开始向前逆推计算
设将S3万元研制费(S3=0,1,2)全部分配给C产品时,最小的失败概率为:
f3(S3)=min[P3(X3)]其中X3=S3=0,1,2
\X3
0.50
X3*表示使得f3(S3)为最大值时的最优决策。
设将S2万元研制费(S2=0,1,2)分配给B、C产品时,最小的失败概率为:
f2(S2)=min[P2(X2)f3(S2—X2)]
其中,X2=0,1,2
P2(X2)f3(S2—X2)
0.600.80
0.48
0.600.50
0.400.80
0.32
0.600.30
0.18
0.400.50
0.20
0.200.80
0.16
第一阶段:
设将S1万元研制费(S1=2)分配给三个产品时,最小的失败概率为:
f1(S1)=min[P1(X1)f2(S1—X1)]
其中,X1=0,1,2
P1(X1)f2(S—X1)
f1
(2)
0.400.16
0.064
0.200.30
0.060
0.150.48
0.072
)即分配给A产品1万元,B产品0万元,C产品1万元,可使三
个小组都失败的概率减小到0.060。
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