最新数学f1初中数学七年级数学下册第十章二元一次方程组复习教案2苏科版优秀名师资料Word格式文档下载.docx
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1.二元一次方程(组)的概念
例1.下列方程中,二元一次方程是(B)
A.B.
C.D.
解析:
根据二元一次方程的概念进行判断.
|m|变式题1若2x+(m+1)y=3m-1是关于x、y的二元一次方程,则m的取值范围是(C)
A、m?
1B、m=?
1C、m=1D、m=0
根据二元一次方程的概念可得|m|=1,且m+1?
0,所以m=1,选C.
x变式题2方程?
x,2y,x,5是二元一次方程,?
是被污染的的系数,请你推
x断被污染的的系数的值可能是(C)
1,2A、不可能是B、不可能是C、不可能是1D、不可能是2.解析:
根据等式的基本性质将原方程进行变形,未知数x的系数是?
-1,当其等于0,即
-2-
?
=1时,此方程只含有一个未知数,是一元一次方程,因此选C.
例2下列方程组中,属于二元一次方程组的是(D)
1,2,3,5xy2x,,1x,5y,2x,2y,8,,,,A、B、C、D、y,,,,4xy,,xy,7x,3y,12,,,,433,3x,4y,0,
本题考察对二元一次方程组的概念的理解.答案选D
x,y,7,x,0,,变式题写出一个以为解的二元一次方程组.,,x,y,,7,y,7,
x,y,7,解析:
答案有无数种,如等.,x,y,,7,
2.二元一次方程(组)的解的含义
例3适合方程x+y=5且x、y绝对值都小于5的整数解有(C)
A.2B.3C.4D.5
二元一次方程的解有无数组,本题用简单列举法:
绝对值小于5的整数有9个,分别取x=,4,,3,,2,,1,0,1,2,3,4;
再计算出对应的y的值,其中符合条件的解有4组.选C.
变式题1若x+y=0,且|x|=2则y的值为(D)
A0B2C,2D?
2
因为|x|=2,所以x=?
2,当x=2时,y=,2,当x=,2时,y=2,选D
变式题2已知是方程的解,那么k的值是(A)
A.2B.C.1D.
本题考察对二元一次方程组的解的含义的理解,将代入方程中,得2k-1=3,解得k=2.答案选A
22xy,,,例4已知二元一次方程组的解是(B),,,,xy5,
x,1x,,1x,,3x,3,,,,A.B.C.D.,,,,y,6y,4y,2y,2,,,,
本题有两种解法:
一种是将被选答案代入方程组,逐个验证;
另一种是解方程组,求出其解.答案选B
-3-
x,,1,变式题1以为解的方程组是(C),y,3,
4x,y,,13x,y,,6x,y,27x,2y,,1,,,,A、B、C、D、,,,,5x,2y,,13x,y,0x,4y,112x,7y,19,,,,
x,,1,解析:
将代入各方程组中,能使某方程组的两个方程的左右两边的值都相等,,y,3,
x,,1,则此方程组的解是.答案选C.,y,3,
变式题2在下列方程组中,只有一个解的是(C)
x,y,0x,y,1x,y,1x,y,1,,,,(A);
(B);
(C);
(D),,,,3x,3y,03x,3y,,23x,3y,43x,3y,3,,,,解析:
观察各方程组的未知数的系数特征,将方程组A、B、D中的方程?
两边都同时除
以3,发现方程组A、B、D均无解,选C.
类型之二二元一次方程组的解法
代入法1.
yx,2, ?
例5解方程组:
328yx,,(?
因为方程组中相同未知数表示同一个量,方程?
中的y=2x,所以方程?
中的2x可
用y代替,这样,方程?
转化成了关于y的一元一次方程.或将方程?
中的y用2x代替,
这样,方程?
转化成了关于x的一元一次方程.
解:
将?
代入?
,得(38yy,,
解这个方程,得(y,2
x,1将代入?
,得(y,2
x,1,,所以,原方程的解为,y,2(,
点评:
本题用代入消元法求解,充分体现了将“二元”转化为“一元”的消元思想.
2316xy,,?
变式题解方程组,xy,,412?
对于方程组中的?
中,未知数x的系数为1,因此可以把?
变形为x=•13-4y,用代
-4-
入法消去方程?
中的未知数x,从而求出y的值.
由?
得,x=13-4y?
把?
得2(13-4y)+3y=16
-5y=-10
y=2
把y=2代入?
得x=5
x,5,所以原方程组的解是,y,2,
本题运用代入消元法求解,需运用等式的基本性质将方程?
变形为用含y的代数式表示x的形式.
2.加减法
例6.用加减法解下列方程组
xy,,20?
(1)解方程组,328xy,,?
3x,y,5,?
(2)解方程组:
5x,2y,23.?
(1)方程组?
式与?
式中未知数y的系数互为相反数,将?
式相加,可消去其中一个未知数y,达到消元的目的.
(2)观察方程组中两个未知数系数,发现y的系数成整倍数关系,则只需将?
式两边同乘以2,则两个方程中y的系数互为相反数,将两式相加可消去“一元”,达到了消元的目的.
(1)?
+?
得4x=8,解得x=2,
x,2,,将x=2代入?
得,6+2y=8,解得y=1,所以原方程组的解是,y,1(,
,2
(2)?
得:
?
6210xy,,
11x=33,解得x=3,
把x=3代入?
9-y=5,解得y=4.
x,3,,所以原方程组的解是,y,4(,
第
(2)题也可用代入消元法求解.
-5-
2312xy,,?
变式题1解方程组,3417xy,,?
未知数的系数没有绝对值为1的,也没有哪一个未知数的系数相同或成相反数或成整倍数关系,但观察发现,x的系数绝对值较小,因此,我们找到2和3的最小公倍数6,•然后
便可将?
、?
的x的系数化为相同,这样通过相减就可以把未知数x•消去.把?
×
3,?
2,
使“二元”转化为“一元”.
3,得6x+9y=36?
2,得6x+8y=34?
-?
得y=2
将y=2代入?
得x=3
x,3,所以原方程组的解是,y,2,
求出方程组的解后,应将答案代入原方程组进行检验,并形成习惯.
2x,y,,a,4,变式题2已知:
关于的方程组为的值为则,(D)x,y,xy,x,2y,3,a,
a,1A、,1B、C、0D、1
认真观察此方程组的系数,发现只要用?
,便可得到x-y=1,这里巧妙地运用加减消元法,则很顺利地得到正确答案.选D.
用代入法或加减法解二元一次方程组时,•“代入”与“加减”的目的就是“消元”,化“二元”为“一元”.
3.灵活消元
例7.用适当方法解下列方程组
(1)解方程组
x,yx,y,,,6,?
(2)解方程组23,,3,,,,x,y,4x,y.?
(1)将原方程组化简后再选择适当的方法求解;
(2)观察方程组的特征,可将原方程组的两个方程分别去分母、去括号,转化为二元一次方程组的一般形式,再选用适当的方法求解;
也可用整体代入法或加减法解题,也可用“换元法”求解.
4x,3y,,5,?
解:
(1)原方程组可变形为,2x,3y,1.?
-6-
7?
2x=-6解得x=-3,将x=-3代入?
-6-3y=1,解得y,,3
所以原方程组的解为
x,5y,36,
(2)解法一原方程组化简为,解这个方程组得,x,7y,
解法二由?
得,3(x+y)=2(x-y)+36?
把?
得,x-y=18,把x-y=18代入?
得
x+y=24,
所以
解这个方程组,得:
所以原方程组的解是
解法三设,则原方程组可变形为
,解得
这里运用了换元法.
变式题1用适当方法解下列方程组
4x,3y,3?
(1),3x,4y,4?
4x,3y,3?
(2),3x,2y,15?
(1)观察发现,本题用代入法或加减法解题过程都比较繁琐,但若将?
式相
加或相减,则可简化系数,解题过程将被简化.
(2)该题可先消常数,答到简化运算过程的
目的.
7x-7y=7
所以x-y=1?
x+y=-1?
解?
组成的方程组得:
(2)?
5-?
得:
,所以x=-y?
把代入?
-7-
灵活选择适当的方法可简化运算,同时可发展同学们的思维能力,提高解题速度.
2x,y,7?
22,变式题2已知,则x-y=-5.x,2y,8?
22解析:
得3x+3y=15,x+y=5,由?
得x-y=-1,x-y=(x+y)(x-y)=-5.
代入法和加减法这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发,先把“二元”转化为“一元”,把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程,在“消元”法中,包含了“未知”转化为“已知”的重要数学思想。
类型之三二元一次方程组的综合应用
1.构造二元一次方程组解决问题
2例8.已知|3x+y–2|+(2x+3y+1)=0,求x、y的值。
绝对值有非负性质(即不是负数),完全平方也有非负性质,如果两个非负数相加为0,那么每一个数必须是0,于是可得到:
3x+y–2=0;
2x+3y+1=0.把它们组成方程组,再解方程组即可得到x、y的值。
3x,y,2,?
3x,y,2,0,,解:
由绝对值及完全平方的非负性质得即,,2x,3y,,1.?
2x,3y,1,0.,,
得y=-3x+2.?
把?
,2x+3(-3x+2)=-1,解得x=1,
把x=1代入?
,得y=-1.所以x=1,y=-1。
本题是根据两个非负数和为0,那么这两个数都为0,把原来的一个等式转化为两个方程,再组合成一个方程组,从而解决问题.这种转化的方法要注意体会.
2变式题已知5+|x+y-3|+(x–2y)=5,则(C)
x,,2x,,1,x,2x,1,,,ABCD,,,,y,,2y,,1y,1y,2,,,,
本题利用非负数的性质可构造二元一次方程组来求解,由非负数的性质可得方程组:
答案:
C
x,4x,,2,,例9.已知与都是方程y=kx+b的解,则k与b的值为(A),,y,,2y,,5,,
1111k,,k,,k,k,(A),b=-4;
(B),b=4;
(C),b=4;
(D),b=-42222
4k,b,,2,1k,解析:
根据题意可得方程组解得,b=-4;
因此选A,,2k,b,,52,
2s3s,2t3t52ab,3ab变式题已知与是同类项.则s+t=5.
-8-
2s,3t,解析:
根据同类项的定义,可列出方程组为解这个方程组得t=2,s=3,所以,3s,2t,5,
t+s=5.
将已知条件转化成解二元一次方程组问题,可解决求值问题.2.应用二元一次方程组求待定系数或代数式的值
例10.已知方程组的解是,则3.
本题主要考查二元一次方程组的解的意义和二元一次方程组的解法.根据方程组的解的含义,把x=2,y=1代入方程组,转化为关于a、b的方程组,解出a与b的值,问题就解决了,也可应用整体思想,直接求出a+b的值.
解法1:
把x=2,y=1代入方程组,
24ab,,a,1,,得解得,,b,225ba,,,,
所以a+b=3
解法2:
把x=2,y=1代入原方程组,
24ab,,?
得,25ba,,?
得3(a+b)=9,所以a+b=3?
运用整体思想巧求代数式的值是中考常考内容,解题时,注意观察方程组的特点,
灵活运用方程组的变形技巧而进行合理、正确的解答.
1,2x,y,5k,?
5x,2y,5变式题1若二元一次方程组的解满足方程.则k=.,2x,y,7k.?
3,3
1x,2y,5x,y解析:
将k当作常数,解关于x、y的二元一次方程组,用k表示,再代入,3
k,把x=3k,y=-k,代入方程求出k的值(?
得,4x=12k,解得x=3k,把x=3k代入?
得,y=-
15x,2y,5k,中得,k+2k=5,解得.33
ax,2y,2?
1x,变式题2若方程组有无穷多解,则3ax+1=b的解是.,x,2y,,3b?
9,
此方程组可通过加减消元法,转化为关于x的一元一次方程(其中a、b当成已知常数),形如Ax=B,当A=0,且B=0时,此方程有无穷多解,则方程组有无穷多解.
2?
得(1+a)x=2-3b,根据题意得1+a=0,且2-3b=0,所以a=-1,b=,代入方程3ax+1=b3
-9-
21中得,-3x+1=,解得x=.39
把已知条件转化为能够直接应用的关系,是解题的关键.一般来说,一个相等关系通常只能求出一个未知数的值.要求出两个未知数的值,需要两个相等关系,这一点在今后的学习中逐步能体会到.
类型之四用方程组解决生活实际问题
1.用方程组解决简单实际问题
例11根据题意列方程组:
开学报到时小刚带了新版人民币50元和10元共12张240元准备交代办费,求小刚携带50元和10元的人民币各几张?
【思路分析】问题中包含的两个相等关系为:
新版人民币50元张数+10元张数=12张;
新版人民币50元总价值+10元总价值=240元
设小刚带50元的人民币x张,带10的人民币y张,根据题意列方程组得
xy,,12,,5010240xy,,,
点评列二元一次方程组的关键是找出问题中蕴涵的相等关系.
变式题1小芳买了35张贺卡,共花了50元钱,其中大贺卡每张2元,小贺卡每张1元,小芳买大、小贺卡各多少张?
【思路分析】设买大贺卡x张,小贺卡y张,则大贺卡总价值2x元,小贺卡总价值y元,相等关系为:
大贺卡张数+小贺卡张数=35张,大贺卡总价+小贺卡总价=50元.
xy,,35,解:
设买大贺卡x张,小贺卡y张,根据题意列方程组得,,250xy,,,
x,15,解这个方程组得.,y,20,
答:
买大贺卡15卡,小贺卡20张.
点评理解题意找出相等关系是解决问题的关键.
变式题2七年级
(2)班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五一”节期间的销售情况。
下图是调查后小敏与其他两位进行交流的情景,请你根据他们的对话,分别求出A、B两个超市今年“五一”节期间的销售额.
-10-
【思路分析】分析三个同学的对话,从中发现问题中的已知量、未知量及相等关系.解:
设A、B两个超市去年“五一”节期间的销售额分别为x、y万元.
xy,,150,根据题意列方程组得,1.151.1170xy,,,
x,100,解这个方程组得.,y,50,
1.15x=115,1.1y=55.
A、B两个超市今年“五一”节期间的销售额分别为115万元、55万元.
,需认真审题,设间接未知数可使问题简化.点评:
本题图文并茂
2.运用列表法分析问题、解决问题
例12为响应承办“绿色奥运”的号召,某中学初三
(2)班计划组织部分同学义务植树180棵,由于同学们参与的积极性很高,实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%,结果每人比原计划少栽了2棵树,问实际有多少人参加了这次植树活动,【思路分析】本题可通过列表来表示植树活动的有关数量.
每人植树棵数人数植树总棵数原计划xy180实际x-21.5y180根据每人植树棵数×
人数=植树总棵数,可列出两个方程.
设原计划每人植树x棵,原计划参加人数为y人,则实际参加人数为1.5y人.
xy,180,根据题意列方程组得,(x,2),1.5y,180,
将xy当成一个整体,把?
得y=30,则1.5y=45.
实际有45人参加了这次植树活动.
运用整体代入法是解此特殊方程组的关键.
变式题1甲桶装水49升,乙桶装水56升,如果把乙桶的水倒入甲桶,甲桶装满后,乙桶
-11-
剩下得水恰好是乙桶容量的一半,若把甲桶的水倒入乙桶,待乙桶装满后则甲桶剩下的水
1恰好是甲桶容量的,求这两个水桶的容量.3
【思路分析】本题可以通过列表来表示前后两桶水的变化。
(1)乙桶倒给甲桶.
容
原有水量变化结果
量
x—+(
甲x49x
49)
乙y56—(x—49)56—(x—49)=105—x
1此时相等关系为:
乙桶剩下的水量=×
乙桶的容量。
2
(2)甲桶倒给乙桶。
y——(
甲49—(x49y—49)=105—y
56)
乙y56+(y—56)y
甲桶剩下的水量=×
甲桶的容量。
3
设甲桶的容量时x升,乙桶的容量时y升。
1,105—x,y,x,63,,2根据题意列方程组得解得,,1y,84,,105—y,x,3,
甲桶的容量是63升,乙桶的容量是84升。
有些题目中,数量之间的关系不够明显,有时还有变化,为了弄清题意,理顺数
量之间的关系,需要通过设计一些表格来帮助我们解题。
如本例中,分析时用了较大的篇
幅,花了一定的时间,但到实际解题时却显得很简便。
变式题2水源透支问题令人担忧,节约用水迫在眉睫。
针对居民用水浪费现象,某城
3市规定了居民每月每户用水8,超标部分加m价收费。
某户居民连续两个月的用水和水费分
-12-
33别为12m,22元;
10m,16.2元,试求该户居民每户每月用水收费标准。
3333【思路分析】若设不超过8m的水的单价为x元/m,超过8m的水的单价是y元/m,通过下面表格理顺各个量的关系。
3的水费超过8m3用水费/元不超过8m的水费/元
/元
第一
8x(12—8)y22
个月
第二
8x(10—8)y16.2个月
3333解答:
设不超过8m的水的单价为x元/m,超过8m的水的单价是y元/m。
8x,(12,8)y,22x,1.3,,根据题意列方程组得解方程组得,,8x,(10,8)y,16.2y,2.9,,
33答:
该户居民每户每月用水收费标准是:
不超过8m的水的单价为1.3元/m,超过
33价是2.9元/m。
8m的水的单
列表可以帮助我们尽快地理解题意,我们在解题时,不要怕麻烦,分析问题的能力会逐渐提高。
3.运用画示意图法分析问题、解决问题
例13一列匀速行驶的火车通过一座160米长的铁路桥用了30秒,若它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了32秒,求这列火车的速度和长度.
【思路分析】本题可通过画线段图来表示有关量的数量关系,火车在通过铁路桥时,从车头上桥到车尾出桥历时30秒,火车所行驶的路程是桥长与火车长的和;
同理,它穿过一段200米长的隧道用了32秒,其所行驶的路程是隧道长与火车长的和.若设火车速度是xm/s,火车长为ym,其
-13-
示意图如下所示:
30x,160,y,解:
设火车速度是xm/s,火车长为ym,根据题意列方程组得,32x,200,y,
x,20,解方程组得,y,440,
火车速度是20m/s,火车长为440m.
有关速度、时间及路程的问题,一般情况下可通过画直线型示意图帮助理解题
意,这充分
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