数学教学辩证关系研究论文Word格式文档下载.docx

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　　至此，似乎无路可走．

　　变形2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｂｃ２）＋（ｃ２ａ－ｃａ２）

　　＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｂｃ（ｂ－ｃ）＋ｃａ（ｃ－ａ）．

　　如此，仍然重蹈复辙．

　　变形3．差式＝（ｃ２ａ－ａｂ２）＋（ａ２ｂ－ｂｃ２）＋（ｂ２ｃ－ｃａ２）

　　＝ａ（ｃ２－ｂ２）＋ｂ（ａ２－ｃ２）＋ｃ（ｂ２－ａ２）．

　　如此，仍未走出“怪圈”．

　　以上对差式“均匀分组”的尝试均未成功．在反思与寻觅中，受范畴间相互对立关系的启发，想到对差式作“不均匀分组”的变形．

　　证法1．差式＝ａ２ｂ＋（ｂ２ｃ＋ｃ２ａ）－（ａｂ２＋ａ２ｃ）－ｂｃ２

　　＝ｂ（ａ２－ｃ２）＋（ｂ２＋ａｃ）（ｃ－ａ）

　　＝（ａ－ｃ）［ｂ（ａ＋ｃ）－（ｂ２＋ａｃ）］

　　＝（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＞０．

　　∴原不等式成立．

　　探索初解为什么受阻，可以说过分“对称”组合是解题陷入困境的原因之一．在差式的对称结组中，不对称的条ａ＞ｂ＞ｃ难以发挥作用．于是，再由范畴间的相互对立，想到差式的“不对称”结组．

　　证法2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｃａ２）＋（ｃ２ａ－ｂｃ２）（有意避开对称结组）

　　＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｃ（ｂ２－ａ２）＋ｃ２（ａ－ｂ）

　　＝（ａ－ｂ）［ａｂ－ｃ（ａ＋ｂ）＋ｃ２］

　　＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０．

　　∴原不等式成立．

　　再寻初解受困的缘由，除了对称（均匀）结组的思维习惯，更重要的是自身思维的狭隘--局限于孤立考察各组的表面形式．于是对由范畴间的相互对立，想到寻觅各组之间的内在联系，诸多新解法由此产生．

　　证法3．由上述变形1得

　　差式＝ａ２（ｂ－ｃ）＋ｂ２（ｃ－ａ）＋ｃ２（ａ－ｂ）

　　＝ａ２（ｂ－ｃ）－ｂ２［（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）］＋ｃ２（ａ－ｂ）（刻意沟通与前后两组的联系）

　　＝（ｂ－ｃ）（ａ２－ｂ２）＋（ａ－ｂ）（ｃ２－ｂ２）

　　＝（ａ－ｂ）［（ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ）＋（ｃ２－ｂ２）］

＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０．

　　其他证法从略．二、对偶范畴间相互依存关系的点拨

　　在数学中，“加”与“减”，“直”与“曲”，特殊与一般，孤立与联系……这每一对范畴的双方相互依存，或明或暗地共处于同一问题的解题过程之中．因此，当我们从范畴的某一方入手问题未能（或取得）突破时，还应想到从范畴的另一方入手再行考察与求索．对范畴双方顾此失彼的思维上的偏颇，是解题陷入困境或出现疏漏的重要原因．

　　例2过抛物线ｙ＝ｘ２的顶点Ｏ任作互相垂直的弦ＯＡ、ＯＢ，分别以ＯＡ、ＯＢ为直径作圆，并设两圆的另一交点为Ｃ，求Ｃ点的轨迹方程．

　　分析与解答：

循着求动直（曲）线交点轨迹方程的一般思路，设Ａ（ｘ１，ｘ１２），Ｂ（ｘ2，ｘ2２），Ｃ（ｘ，ｙ），由ＯＡ⊥ＯＢ得

　　ｘ１ｘ2＝－１．①

　　以ＯＡ为直径的圆的方程为

　　ｘ（ｘ－ｘ１）＋ｙ（ｙ－ｘ１２）＝０，即

　　ｘ２＋ｙ２－ｘ１ｘ－ｘ１２ｙ＝０．②

　　同理，以ＯＢ为直径的圆的方程为

　　ｘ２＋ｙ２－ｘ2ｘ－ｘ2２ｙ＝０．③

　　至此，欲消参数ｘ１、ｘ2，探索中容易想到两式相减．

　　②－③，得ｘ１＋ｘ2＝－ｘ/ｙ．④

　　下一步如何动作？

至此往往陷入困境．此时，循着辩证思维的途径，由加与减的相互依存，想到再考察②、③两式相加，则局面由此打开．

　　解法1．②＋③，得２（ｘ２＋ｙ２）－（ｘ１＋ｘ2）ｘ－（ｘ１２＋ｘ2２）ｙ＝０，

　　２（ｘ２＋ｙ２）－（ｘ１＋ｘ2）ｘ－［（ｘ１＋ｘ2）２－２ｘ１ｘ2］·

ｙ＝０．⑤

　　将①、④代入⑤并整理，得

　　ｘ２＋ｙ２－ｙ＝０（ｙ≠０）．

　　故Ｃ点的轨迹方程为

　　ｘ２＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．

　　事实上，当我们孤立考察动圆的方程而导出②、③两式后，根据范畴间的相互依存关系，可转而去寻觅两圆方程间的内在联系．这种联系一经发现，新的解法便随之产生．

　　解法2．注意到这里ｙ≠０，考察②、③两式的联系，知ｘ１、ｘ2是二次方程ｙｔ２＋ｘｔ－（ｘ２＋ｙ２）＝０的两实根，由韦达定理得ｘ１ｘ2＝－（ｘ２＋ｙ２）/ｙ．⑥

　　于是由①、⑥得Ｃ点的轨迹方程为

　　“直”与“曲”是辩证的统一．面对所给的曲线问题，分析问题的特殊性，发掘问题中与曲线相互依存的直线．这样的直线一经揭露，化“曲”为“直”的解法便应运而生．

　　解法3．由圆的性质知ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ．

　　∴Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，且ＯＣ⊥ＡＢ．

　　设过点Ｏ且垂直ＡＢ的直线为ｌ，则Ｃ点的轨迹即为动直线ＡＢ与ｌ的交点的轨迹（化曲为直）．

　　ｋAB＝ｘ１＋ｘ2，直线ＡＢ的方程为ｙ－ｘ１２＝（ｘ１＋ｘ2）（ｘ－ｘ１）．

　　以①代入上式得ｙ－１＝（ｘ１＋ｘ2）ｘ，⑦

　　又直线ｌ的方程为ｙ＝（－１/（ｘ１＋ｘ2））ｘ．⑧

　　⑦×

⑧并整理，得ｘ２＋ｙ２－ｙ＝０（ｙ≠０）．故Ｃ点的轨迹方程为

　　ｘ2＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．

　　三、对偶范畴间相互贯通关系的诱导

　　分析问题是解决问题的前提和基础．分析的方法就是辩证的方法（毛泽东语）．范畴间相互贯通的辩证关系，为解题思路的发现提供线索，为数学问题的转换变通提供依据．其中，特殊与一般是最为重要的一对范畴．就认识的过程说，人们总是从事物的特殊性入手去认识事物的一般性，而当人们掌握了事物的一般属性之后，又能以一般性为指导去认识尚未认知的其他特殊性质．人们对事物的认识由此一步步引向纵深．

　　例3对于二次曲线Ｃ：

ｘ２/（９－ｋ）＋ｙ２/（４－ｋ）＝１，证明：

任取平面上一点（ａ，ｂ）（ａｂ≠０），总有Ｃ中一个椭圆和一个双曲线通过．

　　分析（特殊探路）：

取点（1，1）代入Ｃ并整理，得ｋ２－１１ｋ＋２３＝０，解得

　　ｋ１＝（１１－）/２∈（－∞，４），

　　ｋ2＝（１１＋）/２∈（４，９）．

　　由此可知，对于ｋ＝ｋ１，Ｃ表示椭圆；

对于ｋ＝ｋ2，Ｃ表示双曲线．

　　至此，便探知本题解题思路：

（1）取点（ａ，ｂ）（ａｂ≠０）代入Ｃ并整理，得

　　ｆ（ｋ）＝ｋ２＋（ａ２＋ｂ２－１３）ｋ＋（３６－４ａ２－９ｂ２）＝０；

（2）证明ｆ（ｋ）＝０的一根在（－∞，４）内，而另一根在（４，９）内，即证ｆ（４）＜０，ｆ（９）＞０．（证明从略）

　　注意到特殊与一般的辩证关系，当由问题本身难以推出所需结论时，不妨主动“升级”，转而研究关于原命题的更具一般性的命题．这样的命题一经解决，便如登高眺远，解题环节与问题本质纵览无余．于是，求解原的问题便可居高临下，一蹴而就．

　　例４已知Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ2，ｙ2）为抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上两点．设甲：

ｙ１ｙ2＝－ｐ２；

乙：

直线ＭＮ经过抛物线的焦点Ｆ．那么甲是乙的____条．

　　分析：

由本Ｐ．１０１第8题知，甲是乙的必要条．由于条的充分性难以判断，故转而考察更为一般的问题：

经过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的轴上一点Ｑ（ａ，０）（ａ＞０）作抛物线的弦ＭＮ，寻找Ｍ、Ｎ两点纵坐标之间的联系．

　　设直线ＭＮ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－ａ），①

　　①代入ｙ２＝２ｐｘ，得ｙ２－（２ｐ/ｋ）ｙ－２ｐａ＝０．②

　　由②得ｙ１ｙ2＝－２ｐａ．

　　此此易见ｙ１ｙ2＝－ｐ２ａ＝ｐ/２点Ｑ即焦点Ｆ．故甲是乙的充分条．于是可知甲是乙的充要条．

　　四、对偶范畴间相互转化关系的运用

　　解题过程是一系列的转化过程，其中，范畴间由此及彼的相互转化，乃是这一系列转化中的关键环节．有关事物的定义、定理和性质是完成这种转化的桥梁，变量替换则是以量变促发质变的基本手段．循着范畴间的辩证关系思考问题，东方不亮西方亮，南方受阻有北方，使我们得以左右周旋，转换变通，从而避繁就简，化生为熟，发现令人满意的解题思路．

　　例已知Ａ（４，０）、Ｂ（２，２）是椭圆ｘ２/２５＋ｙ２/９＝１内的点．Ｍ是椭圆上的点，求｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最值．

　　解：

这里ａ＝５，ｂ＝３，ｃ＝４，Ａ（４，０）即椭圆右焦点Ｆ2．由于这一和式的最值难以寻觅，考虑将“＋”向“－”转化．

　　由椭圆定义得｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ2｜＝１０．

　　∴｜ＭＡ｜＝１０－｜ＭＦ１｜（Ｆ１为椭圆左焦点），

　　∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜＝１０＋（｜ＭＢ｜－｜ＭＦ１｜），（完成“＋”向“－”的转化）

　　∵｜ＭＢ｜－｜ＭＦ１｜≤｜ＢＦ１｜＝２，

　　∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜≤１０＋２（当且仅当Ｍ为直线Ｆ１Ｂ与下半椭圆的交点时等号成立），

　　∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最大值为１０＋２．

　　同理可得｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最小值为１０－２（当且仅当Ｍ为直线Ｆ１Ｂ与上半椭圆的交点时取得）．

　　例６已知０＜ｘ，ｙ，ｚ＜１，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝２，求证：

１＜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．

根据题意，设ｘ＝１－ａ，ｙ＝１－ｂ，ｚ＝１－ｃ，则有ａ，ｂ，ｃ∈（０，１），且ａ＋ｂ＋ｃ＝１．

　　∴ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ

　　＝（１－ａ）（１－ｂ）＋（１－ｂ）（１－ｃ）＋（１－ｃ）（１－ａ）

　　＝３－２（ａ＋ｂ＋ｃ）＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

　　＝１＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＞１．①

　　至此，上述问题转化为人们所熟悉的问题：

　　已知正数ａ、ｂ、ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１．求证

　　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１/３．（化生为熟）

　　此时注意到３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）－１

　　＝３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）－（ａ＋ｂ＋ｃ）２

　　＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－ａ２－ｂ２－ｃ２

　　＝－（１/２）［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］≤０，

　　∴ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１/３．

　　于是由①得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．②

　　综合①、②便证得１＜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．