浙江省金华十校届高三上学期期末联考数学试题解析版.docx
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浙江省金华十校届高三上学期期末联考数学试题解析版
2018-2019学年浙江省金华市十校高三(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)
1.如果全集,,,则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解:
全集,,,,.
故选:
B.
化简集合A、B,根据补集和交集的定义写出.
本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.
2.已知条件p:
,条件,则p是q的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】解:
p:
,,,即,或
于是,由p能推出q,反之不成立.
所以p是q充分不必要条件
故选:
A.
本题考查的判断充要条件的方法,先化简q,再根据充要条件的定义进行判断.
判断充要条件的方法是:
若为真命题且为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;若为假命题且为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;若为真命题且为真命题,则命题p是命题q的充要条件;若为假命题且为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.
3.若实数x,y满足约束条件,则的最小值是
A.6B.5C.4D.
【答案】C
【解析】解:
作出实数x,y满足约束条件,表示的平面区域如图示:
阴影部分
由得,
由得,平移,
易知过点A时直线在y上截距最小,
所以.
故选:
C.
首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求z的最小值.
本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值首先画出可行域,利用几何意义求值.
4.已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解:
由题意,双曲线的右焦点为在圆上,
双曲线方程为双曲线的渐近线方程为
故选:
B.
确定双曲线的右焦点为在圆上,求出m的值,即可求得双曲线的渐近线方程.
本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
5.已知,,则
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解:
已知,,,,
则,
故选:
D.
利用同角三角函数的基本关系,求得的值,可得的值,再利用二倍角公式求得的值.
本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.
6.把函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则m的最小值是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解:
把函数的图象向左平移个单位,
得到,,
由,得,,当时,m最小,此时,
故选:
B.
根据三角函数的诱导公式化成同名函数,结合三角函数的图象平移关系进行求解即可.
本题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象平移关系以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键.
7.已知,则
A.64B.48C.D.
【答案】C
【解析】解:
由,
得,.
故选:
C.
把已知等式左边变形,再由二项展开式的通项求解.
本题考查二项式定理的应用,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题.
8.若关于x的不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解:
关于x的不等式在上恒成立,
等价于,
当时,成立,
当时,,即,
因为恒成立,
所以,
故选:
A.
关于x的不等式在上恒成立,等价于,分类讨论,根据二次函数的性质即可求出.
本题考查了函数恒成立的问题,以及二次函数的性质,属于中档题
9.已知向量,满足:
,,,且,则的最小值为
A.B.4C.D.
【答案】A
【解析】解:
由题意可知,把看作,,,
则可表示为,点B在直线上,
设,,,,,,,
则的最小值可转化为在直线
取一点B,使得最小,
作点C关于的对称点,
则最小值即可求出,
设,
由,解得,,
则,
故的最小值为.
故选:
A.
由题意可知,把看作,根据坐标系,和向量的坐标运算,则的最小值可转化为在直线取一点B,使得最小,作点C关于的对称点,则最小值即可求出.
本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义,考查了转化能力和数形结合的能力,属于难题.
10.如图,在底面为正三角形的棱台中,记锐二面角的大小为,锐二面角的大小为,锐二面角的大小为,若,则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解:
在底面为正三角形的棱台中,
记锐二面角的大小为,
锐二面角的大小为,
锐二面角的大小为,,三条侧棱,,中,最小,最大,.
故选:
C.
利用二面角的定义,数形结合能求出结果.
本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
二、填空题(本大题共7小题,共36.0分)
11.已知复数z的共轭复数,则复数z的虚部是______,______.
【答案】
【解析】解:
由,
可得,复数z的虚部是,.
故答案为:
;.
利用复数代数形式的乘除运算,则复数z的虚部可求,再由复数模的计算公式求.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础题.
12.一个口袋里装有大小相同的5个小球,其中红色两个,其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球颜色相同的概率是______;若变量X为取出的三个小球中红球的个数,则X的数学期望______.
【答案】
【解析】解:
一个口袋里装有大小相同的5个小球,其中红色两个,其余3个颜色各不相同.
现从中任意取出3个小球,
基本事件总数,
其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数,其中恰有2个小球颜色相同的概率是;
若变量X为取出的三个小球中红球的个数,则X的可能取值为0,1,2,,,,数学期望.
故答案为:
,.
现从中任意取出3个小球,基本事件总数,其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数,由此能求出其中恰有2个小球颜色相同的概率;若变量X为取出的三个小球中红球的个数,则X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出数学期望.
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
13.记等差数列的前n项和为,若,,则______;当取得最大值时,______.
【答案】0 1009或1008
【解析】解:
,,,,,,,,,
故当取得最大值时,或,
故答案为:
0,1009或1008.
根据等差数列的性质和求和公式公式可得,再求出与d的关系,可得,即可求出当或1008时,取得最大值
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.一个棱柱的底面是边长为6的正三角形,侧棱与底面垂直,其三视图如图所示,则这个棱柱的体积为______,此棱柱的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】解:
由题意可知,该三棱柱是一个直三棱柱,且底面是边长为6的正方形,底面积为,
该三棱柱的高,所以,该三棱柱的体积为.
由正弦定理可知,该正三棱柱底面的外接圆直径为,
则其外接球的直径为,则,
因此,此棱柱的外接球的表面积为.
故答案为:
;.
计算出棱柱的底面积,利用柱体体积公式可得出柱体的体积,利用正弦定理求出底面的外接圆直径2r,再利用公式可计算出外接球的半径R,再利用球体表面积公式可得出外接球的表面积.
本题考查球体表面积的计算,考查柱体体积的计算,考查公式的灵活应用,属于中等题.
15.某高中高三某班上午安排五门学科语文,数学,英语,化学,生物上课,一门学科一节课,要求语文与数学不能相邻,生物不能排在第五节,则不同的排法总数是______.
【答案】60
【解析】解:
若第五节排语文或数学中的一门,则第四节排英语,化学,生物中的一门,其余三节把剩下科目任意排,则有种,
若第五节排英语,化学中的一门,剩下的四节,将语文和数学插入到剩下的2门中,则有种,
根据分类计数原理共有种,
故答案为:
60.
由题意可以分两类,根据分类计数原理可得.
本题考查了分类计数原理,关键是分类,以及特殊元素特殊处理,属于中档题.
16.已知,则的最小值为______.
【答案】
【解析】解:
,
则,
若,则,;
若,可得,
设,可设,
即为,
若,可得,成立;
若,则,即,
解得,
即有z的最小值为,此时,成立.
故答案为:
.
由题意可得,讨论,,分子分母同除以y,转化为关于的式子,令,可得关于t的函数,再由二次方程有解的条件:
判别式大于等于0,解不等式可得所求最小值.
本题考查函数的最值求法,注意运用转化思想和二次方程有解的条件,考查运算能力,属于中档题.
17.已知F为抛物线C:
的焦点,点A在抛物线上,点B在抛物线的准线上,且A,B两点都在x轴的上方,若,,则直线FA的斜率为______.
【答案】
【解析】解:
的焦点,准线方程为,
如图,设A在x轴上的射影为N,准线与x轴的交点为M,
由,,
可设,,
可得,,
即有,,
则直线AF的斜率为.
故答案为:
.
求得抛物线的焦点和准线方程,运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义,求得A的坐标,由斜率公式计算可得所求值.
本题考查抛物线的方程和性质,注意运用解直角三角形,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
三、解答题(本大题共5小题,共74.0分)
18.已知函数.Ⅰ求的值;Ⅱ已知锐角,,,,求边长a.
【答案】解:
,Ⅰ,Ⅱ由,可得:
,
由,可得
可得:
,可得:
,
由于:
,,
可得:
,,
可得:
,
可得:
.
【解析】Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式,即可代入求值;Ⅱ由,可得,由三角形的面积公式,余弦定理可求a的值.
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
19.数列的前n项和为,且满足,Ⅰ求通项公式;Ⅱ记,求证:
.
【答案】解:
Ⅰ,当时,,得,
又,,数列是首项为1,公比为2的等比数列,;
证明:
Ⅱ,,时,,,
同理:
,
故:
.
【解析】Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式.Ⅱ利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和.
本题考查的知识要点:
数列的通项公式的求法及应用,等比数列的前n项和公式和放缩法在求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
20.在三棱锥中,,H为P点在平面ABC的投影,.Ⅰ证明:
平面PHA;Ⅱ求AC与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】证明:
Ⅰ取M为BC的中点,连结PM,AM,,,,,
又为P点在平面ABC的投影,,
而,,又,,、A、M三点共线,
从而,结合条件,平面PHA.
解:
Ⅱ过A作,连结CN,平面PHM,,,平面PBC,就是直线AC与平面PBC所成角,
设,
由,得,,
由,知,,,,,,,解得,与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】Ⅰ取M为BC的中点,连结PM,AM,推导出,,,,,从而H、A、M三点共线,进而,结合条件,能证明平面PHA.Ⅱ过A作,连结CN,推导出,,平面PBC,从而就是直线AC与平面PBC所成角,由此能求出AC与平面PBC所成角的正弦值.
本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
21.已知椭圆C:
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