人教版初一数学上册知识点Word格式.docx
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C、0.25的倒数是-0.25D、0.25的相反数的倒数是-0.25
③用-a表示的数一定是()
A、负数B、正数C、正数或负数D、都不对
④一个数的相反数是最小的正整数,那么这个数是()
A、–1B、1C、±
1D、0
3、判断
①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁()
②在一个数前面添上“-”号,它就成了一个负数()
③只要符号不同,这两个数就是相反数()
4、计算:
已知和的值互为相反数,求x的值。
知识点四:
绝对值
1、绝对值的几何意义:
一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。
2、绝对值的代数定义:
(1)一个正数的绝对值是它本身;
(2)一个负数数的绝对值是它的相反数;
(3)0的绝对值是0;
(4)|a|大于或者等于0。
3、比较两个数的大小关系
数学中规定:
在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从大到小的顺序,即左边的数小于右边的数。
由此可知:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
(2)两个负数,绝对值大的反而小。
1、化简
(1)-|-2/3|=_____;
(2)|-3.3|-|+4.3|=___;
(3)1-|-1/2|=___;
(4)-1-|1-1/2|=______。
3、填空题。
①若|a|=3,则a=____;
|a+1|=0,则a=____。
②若|a-5|+|b+3|=0,则a=___,b=___。
③若|x+2|+|y-2|=0,则x=___,y=___。
④绝对值小于2的整数有________。
⑤绝对值等于它本身的数有___________。
⑥绝对值不大于3的负整数有__________。
⑦数a和b的绝对值分别为2和5,且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧,则b的值为。
⑧将2.5,0,-1,1/2,-3,-1/3,2,1/3,1这组数按从大到小的顺序排列,并用“>
”号连接。
知识点五:
有理数加减法
1、有理数的加、减法法则
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
②互为相反数的两个数相加得0。
③一个数同0相加,仍得这个数。
④减去一个数,等于加上这个数的相反数。
2、计算
知识点六:
乘除法法则
①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
0乘以任何数,都得0。
②几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,负因数的个数为偶数时,积为正;
负因数的个数为奇数时,积为负。
③两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
④有理数中仍然有:
乘积是1的两个数互为倒数。
⑤除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。
知识点七:
乘方
乘方定义:
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
中,底数是
,指数是
,幂是乘方的结果;
读作:
的n次方或
的n次幂。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
① 23中,底数是;
指数是;
结果是;
。
② (-2)2中,底数是;
结果是。
③ 5中,底数是;
指数是。
④
中,底数是;
幂是。
⑤ 18表示个相乘,结果是。
2、计算:
32=;
-23=;
-14=;
(-3)2=;
05=;
0.13=.
知识点八:
运算律及混合运算
1、基本知识
v
加法交换律:
乘法交换律:
加法结合律:
乘法结合律:
乘法分配律:
v有理数混合运算顺序:
先乘方;
再乘除;
最后算加减。
有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
同级运算,从左到右进行。
知识点九:
科学记数法近似数
把一个大于10的数表示成
的形式(其中
是整数数位只有一位的数,即1≤|a|<
10,
是正整数),使用的是科学记数法。
如:
。
知识点十:
近似数
1、近似数:
在一定程度上反映被考察量的大小,能说明实际问题的意义,与准确数非常地接近,像这样的数我们称它为近似数。
2、近似数的分类:
(1)具体近似数(如30.2、58.0…)
(2)带单位近似数(如2.4万…)
(3)科学记数法(如
…)
3、精确度:
用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数,有一个近似程度的问题,这个近似程度就是精确度。
四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:
2.4万精确到千位,而非十分位,因为2.4万就是24000,4在千位上)。
4、有效数字:
对于一个不为0的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到末尾数止,所有数字都是这个近似数的有效数字。
求近似数要求保留n个有效数字时,第n+1个有效数字作四舍五入处理。
例:
0.0109有三个有效数字1、0、9,要求保留2个有效数字时,0.0109的第三个有效数字9四舍五入,变为0.0110,保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。
5、计算
按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)0.1296(精确到0.1/0.01/0.001)
(2)220.45(精确到个位/0.1)
(3)0.0099999(保留3个有效数字)
第二章整式的加减
整式的相关概念
代数式中的一种有理式:
不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式。
(分母中含有字母有除法运算的,那么式子叫做分式)
1.单项式:
数或字母的积(如5n,
,
等),单个的数或字母也是单项式。
(1)单项式的系数:
单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
(如果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。
(2)单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。
2.多项式
(1)概念:
几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
(2)多项式的次数:
多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
(3)多项式的排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;
把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意:
(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符
看作是这一项的一部分,一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:
a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
b.确定按这个字母降幂排列,还是升幂排列。
3、整式:
单项式和多项式统称为整式。
4、列代数式的几个注意事项:
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“·
”乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×
”乘,不用“·
”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×
5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×
应写成
a;
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷
a写成
的形式;
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;
若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a.
整式的加减运算
1.同类项的概念:
所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项。
(同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关)。
2.合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
法则:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
不能合并的项单独作为一项,不可遗漏
3.整式加减实质就是去括号,合并同类项。
注:
去括号时,如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
4、几个重要的代数式:
(m、n表示整数)
(1)a与b的平方差是:
a2-b2;
a与b差的平方是:
(a-b)2;
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是:
10a+b,则三位整数是:
100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是:
5m+n;
偶数是:
2n,奇数是:
2n+1;
三个连续整数是:
n-1、n、n+1;
(4)若b>0,则正数是:
a2+b,负数是:
-a2-b,非负数是:
a2,非正数是:
-a2.
补充例题如下:
第三章一元一次方程
方程的相关概念
等式:
表示相等关系的式子。
方程:
含有未知数的等式。
(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。
方程的解:
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程:
求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。
一元一次方程:
只含一个未知数,未知数的次数是1,并且等式两边都是整式的方程。
同解方程:
两方程的解相同。
等式的性质
等式的性质1:
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
即:
如果
,那么
等式的性质2:
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
;
解一元一次方程
一般解法:
ⅰ去分母:
两边同乘以各分母的最小公倍数;
ⅱ去括号;
ⅲ移项:
移项要变号;
ⅳ合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
ⅴ系数化为1:
两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。
一元一次方程的应用(重点难点):
列方程解应用题的关键是:
仔细审题,找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系,再设未知数,并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。
几种常见问题:
1.和差倍分问题:
这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。
2.行程相遇问题:
三个基本量的关系路程=速度×
时间
(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:
甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同);
(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:
快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。
3.工程任务问题:
三个基本量的关系:
工作量=工作效率×
工作时间
一般情况下,把全部工作量看做1(即100%),工作效率=1/工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。
合作效率=各个人的效率之和。
4.利润问题:
利润=售价-成本=成本×
利润率;
利润率=利润÷
成本;
实际售价=标价×
折扣率。
5.分配问题:
某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个,一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据),应该分配多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产品刚好配套?
6.水上航行问题:
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度。
应用举例:
1.一本书,小明第一天读了十分之一,第二天读了10页,已读的是未读的1/4,请问这本书一共有多少页?
等量关系:
已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的,未读的=总页数-已读的)。
2.某服装七月份下降了10%,八月份上升了10%,则八月份价格与原价比()
A.不变B.增加1%C.减少9%D.减少1%
注意:
不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。
3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,
(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
分析
(1):
设经过x秒首次相遇。
两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:
甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程=甲的速度×
时间x乙的路程=乙的速度×
时间x得到方程:
9x+7x=400
(2)设经过x秒首次相遇。
同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇,所以等量关系式是:
快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。
4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天
分析:
合作时间=工作量/合作效率工作量=1合作效率=甲的效率+乙的效率
甲的效率=工作量/甲的时间=1/x乙的效率=工作量/乙的时间=1/y
∴合作时间=1/(1/x+1/y)
5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元?
分析:
设标价x元,等量关系:
利润(求)÷
成本(已知250元)=利润率(已知15.2%)
利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250
∴(90%x-250)/250=15.2%
练习:
小明、小红买工具,所带钱之比为7:
6,小明用掉50元,小红用掉60元,两人余下钱之比为3:
2,,求他们分别余下多少钱?
第四章图形认识初步
几何图形
1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。
2、有些几何图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。
3、有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形。
如线段、角、三角形、长方形、圆等。
4、立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形,但是立体图形中某些部分是平面图形,对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究和处理。
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。
点、线、面、体
1、立体图形是几何体,简称体;
包围着体的是面,面有平面和曲面;
面和面相交的地方形成线,线有直线和曲线;
线和线相交的地方是点。
2、几何图形都是由点、线、面、体组成,点是构成图形的基本元素。
直线、射线、线段
1、线段:
直线上两个点和它们之间的部分叫线段,这两个点叫线段的端点。
射线:
将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
直线:
将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
2、点与直线的位置关系:
点p在直线a上(或说直线a经过点p);
点p不在直线a上(或说直线a不经过点p)。
过一点可画无数条直线,过两点有且仅有一条直线。
简述为:
两点确定一条直线。
3、线段的中点:
把一线段分成两相等线段的点。
两点的所有连线中,线段最短,简述为:
两点之间,线段最短。
两点间的距离:
连接两点间的线段的长度。
线段的长短比较:
⑴度量法;
⑵叠合法
判断:
①两点间的距离是指两点间的线段。
()
②两点间连线的长度叫这两点间的距离。
角
角:
由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成)。
角的表示:
三个大写字母;
一个大写字母(不混淆情况下方可使用);
一个数字;
一个希腊字母。
角的要素:
顶点和边,角的大小与边的长短无关。
角的单位:
度,分,秒①1°
的60分之一为1分,记作1′,即1°
=60′
②1′的60分之一为1秒,记作1″,即1′=60″
角的大小比较:
⑵叠合法。
角平分线:
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个等角,这条射线叫角平分线。
余角和补角:
如果两个角的和等于90°
(直角),就说这两个角互为余角;
如果两个角的和等于180°
(平角),就说这两个角互为补角。
性质:
等角的补角相等;
等角的余角相等。
n
题型一:
作图题
例1、已知:
线段m、n。
(如图)
求作:
线段AC,使AC=m-n。
作法:
(1)作射线AM;
(2)在射线AM上截取AB=m。
(3)在线段AB上截取BC=n。
则线段AC就是所求作的线段。
题型二:
线段的分类考虑
例2已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC,使它等于3cm,求线段AC的长.
解:
本题分两种情况:
如图4—4—9所示,当点C在线段AB的延长线上时,
AC=AB+BC=8+3=11(crn);
如图4—4—10所示,当点C在线段AB上时,
AC=AB-BC=8—3=5(cm).
所以线段AC的长为11cm或5cm.
例3经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是()
A.1或3B.3C.2D.1
解析:
这道题要分两种情况考虑:
一是这三点都在一条直线上时,就只能画出一条直线;
二是这三点不在同一条直线上时,此时共可以画出三条直线.答案:
A
题型三:
两角互补、互余定义及其性质的应用
例4一个角的补角是这个角的4倍,求这个角的度数.
解:
设这个角是x°
,则它的补角是(180-x)°
.
由题意,得180-x=4x,解得x=36.所以这个角是36°
点拨
本题主要考查补角定义的应用,数学中利用方程、转化思想,可将“形”的问题转化为“数”的问题研究,从而简捷解决问题.
例5如果一个角的补角是120°
,那么这个角的余角是()
A.30°
B.60°
C.90°
D.150°
解析:
本题是对余角、补角的综合考查,先根据这个角的补角是120°
,求出这个角是60°
,再求出它的余角是30°
.答案:
例6根据补角的定义和余角的定义可知,10°
的角的补角是170°
,余角是80°
15°
的角的补角是165°
,余角是75°
32°
的角的补角是148°
,余角是58°
.….观察以上各组数据,你能得出怎样的结论?
请用任意角α代替题中的10°
、15°
、32°
的角来说明你的结论.
结论为:
一个角的补角比这个角的余角大90°
说明:
设任意角是α(0<α<90°
),α的补角是180°
-α,α的余角是90°
-α,
则(180°
-α)-(90°
-α)=90°
.
题型四:
角的有关运算
例7如图4—4—3所示,AB和CD都是直线,∠AOE=90°
,∠3°
=∠FOD,∠1=27°
20′,求∠2、∠3的度数.
因为∠AOE=90°
所以∠2=90°
-∠1=90°
-27°
20′=62°
40′.
又因为∠AOD=180°
-∠1=152°
40′,∠3=∠FOD,
所以∠3=
∠AOD=76°
20′.
所以上2=62°
40′,∠3=76°
例8如图4—4—4所示,OB、OC是∠AOD内任意两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,用α、β表示∠AOD.
因为∠MON=α,∠BOC=β,
所以∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=α-β
又OM平分∠AOB,ON平分∠COD,
所以∠AOB+∠COD=2∠BOM+2∠CON
=2(∠BOM+∠CON)=2(α-β),
所以∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC=2(α-β)+β=2α-β.
例9
(1)用度、分、秒表示54.12°
(2)32°
44′24″等于多少度?
(3)计算:
133°
22′43″÷
3.
(1)因为0.12°
=60′×
0.12=7.2′,0.2′=60″×
0.2=12″,
所以54.12°
=54°
7′12″.
(2)因为24″=(
)′×
24=0.4′,44.4′=(
)°
×
44.4=0.74°
所以32°
44′24″=32.74°
(3)133°
3=(132°
+82′)÷
3+43″÷
3=44°
+82′÷
3
=44°
+(81′+1′)÷
+27′+1′÷
=44°
+27′+103″÷
3≈44°
+27′+3″=44°
27′3″.
方法总结
角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算.角度制的单位是60进制的,和计量时间的时、分、秒一样.加减时,要将度、分、秒分别相加、相减,分、秒逢60要进位,而相减不够时要借1作60;
度、分、秒形式乘一个数时,要将度、分、秒分别乘这个数,分、秒逢60进位;
度、分、秒形式除以一个数时,也是将度、分、秒分别除以这个数,不过要将高位的余数转化成低位,与原位上的数相加后再除以这个
数.
题型五:
钟表的时针与分针夹角问题
例10、15:
25时钟面上时针和分针所构成的角是度.
起始时刻定为15:
00(下午3点整时,时针和分针构成的角是90°
),终止时刻为15:
25,从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟,转了6°
25=150°
,时针转了0.5°
25=1
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