概率论与数理统计习题集及答案Word格式文档下载.docx
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1•丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是
2.已知P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,则P(AB)。
1.6全概率公式
1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中’的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。
1.7贝叶斯公式
1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求
(1)该厂产品能出厂的概率,
(2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。
2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3:
2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
1.8
随机事件的独立性
1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。
AB
/
L1
Cd
R
CD
3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率:
(1)恰好命中一次,
(2)至少命中一次。
第1章作业答案
1.11:
(1)S{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
(2)S{0,1,2,3}
2:
(1)A{1,3,5}B{3,4,5,6};
(2)A{正正,正反},B{正正,反反},C{正正,正反,反正}。
1.21:
(1)ABC;
(2)ABC;
(3)ABC;
(4)ABC;
(5)ABACBC;
(6)AB
AC
BC
或ABCABCABCABC;
(1)AB
{x:
x4}
;
⑵AB
2x3};
(3)AB{x:
3x4};
(4)A
B{x:
:
0x
1或2
x5};
(5)AB{x:
1x4}。
1.31:
(1)P(AB)=0.3,
(2)P(AB)=0.2,(3)P(AB)=0.7.2:
P(AB))=0.4.
1.4
28101019
1:
(1)C8C22/C30,
(2)((C22C8C22
c;
2)/c30,(3)1-(c22c8c;
2)/c30.
2:
P43/43.
1.51:
.2/6;
2:
1/4。
1.61:
设A表示第一人“中”,则P(A)=2/10
设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=_21_82_2
10910910
两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。
随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:
p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45
1.71:
(1)94%
(2)70/94;
0.993;
1.8.1:
用A,B,C,D表示开关闭合,于是T=ABUCD,
从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
22424
PPP2pp
(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38;
(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章随机变量及其分布
2.1随机变量的概念,离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球
中的最大号码.,试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,—次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为
止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。
2.201分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;
(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;
⑶每分钟最多有1次呼叫的概率;
2设随机变量X有分布律:
X23,Y〜n(X),试求:
p0.40.6
(1)P(X=2,Y<
2);
(2)P(YW2);
(3)已知Y<
2,求X=2的概率。
2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算
机是否被使用相互独立,问在同一时刻
(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少?
(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少?
(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少?
(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少?
2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率
不小于0.9?
2.4随机变量的分布函数
x
1设随机变量X的分布函数是:
F(x)=
0.5
x1
(1求P(X<
0);
P0X
1;
P(X>
1),
(2)写出X的分布律。
Ax°
x0
2设随机变量X的分布函数是:
1x,求
(1)常数A,⑵P1
0x0
2.5连续型随机变量
(3)用二种方法计算P(-0.5<
X<
0.5).
0x1
2设连续型随机变量x0勺分布函数为:
F(x)=inx1xe
⑵并用二种方法计算P(X>
1xe
(1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形,
2.6均匀分布和指数分布
4x2+4Kx+K+2=0
1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程
有实根的概率。
2假设打一次电话所用时间(单位:
分)X服从0.2的指数分布,如某人正好在你前面
走进电话亭,试求你等待:
(1)超过10分钟的概率;
(2)10分钟到20分钟的概率。
2.7正态分布
1随机变量X〜N(3,4),⑴求P(2<
X<
5),P(-4<
10),P(|X|>
2),P(X>
3);
(2)确定c,使得P(X>
c)=P(X<
c)。
2某产品的质量指标X服从正态分布,卩=160,若要求P(120<
200)>
0.80,试问最多取多大?
2.8随机变量函数的分布
1设随机变量X的分布律为;
X
p
0.3
0.4
Y=2X-1,求随机变量X的分布律。
YX2;
求随机变量Y的密度函数。
3.
2lnX,求随机变量Y的密度函数。
设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布,丫
第2章作业答案
2.11:
X|345
p0.10.30.6
X12345
p0.40.6为.40.6为.6J0.40.6&
6为.6E.40.6为.6J0.6E.6X
2.21:
(1)P(X=1)=P(X>
1)-P(X>
2)=0.981684-0.908422=0.073262,
(2)P(X>
1)=0.981684,
(3)P(X<
1)=1-P(X>
2)=1-0.908422=0.091578
P(X=2,YW2)=P(X=2)P(YW2|X=2)=0.4(e^2e22e2)=2e2
由全概率公式:
P(Y<
2)=P(X=2)P(YW2|X=2)+P(X=3)P(Y<
2|X=3)
2173
=0.4+0.61e=0.27067+0.25391=0.52458
由贝叶斯公式:
P(X=2|YW2)=旦冬空引0.270670.516
P(Y2)
2:
f(x)
1/x1
0其
xe
他
(2)P(X
2)
1In2
2.61
3/5
(1)e2
(2)e2e4
2.71:
(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5;
(2)c=3
dW31.25。
2.81:
Y
-1
3
P
fY(y)
(1<
y)
0y1
3:
1y/2
_e
其他
第3章多维随机变量
3.1二维离散型随机变量
1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数,写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。
2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:
x\y
试根据卜列条件分别求a和b的值;
0.1
0.2
a
(1)P(X1)0.6;
b
⑵P(X1|Y2)0.5;
(3)设F(x)是Y的分布函数,F(1.5)0.5。
3.2二维连续型随机变量
求
(1)常数k;
(2)P(X+Y<
1);
(3)P(X<
1/2)o
3.3边缘密度函数
f(x,y)
xc
f(x,y)
e0yx
0其他
3.4随机变量的独立性
1.(X,Y)的联合分布律如下,
试根据下列条件分别求a和b的值;
⑴P(Y1)1/3;
1/9
⑵P(X1|Y2)0.5;
(3)已知X与Y相互独立。
2.(X,Y)的联合密度函数如下,求常数
c,并讨论X与丫是否相互独立?
cxy0x1,0y1
0其他
第3章作业答案
3.11:
X\Y
0.7
0.
3.2
(1)a=0.1b=0.3
(2)a=0.2b=0.2
(3)a=0.3b=0.1
3.4
1:
(1)k=
1;
8;
fx
(x)
3.3
J(y)
fx(x)
4.1
1.盒中有
(A)1;
(2)P(X<
1/2,Y<
1/2)=1/8
(2)P(X+Y<
1)=1/6;
1/2)=1/16。
(3)P(X+Y<
1)=1/3
21厂dy
2(1x2)(1y2)
(1x
(4)P(X<
1/2)=3/8。
2(1
)(1
-^dx
y)(1
y2)
xe
(1)a=1/6c=6,
b=7/18;
X与Y相互独立。
⑵a=4/9b=1/9;
随机变量的数字特征
数学期望
5个球,其中2个红球,随机地取3个,用
1.5;
(B)1.2;
(C)
(3)
a=1/3,b=2/9。
X表示取到的红球的个数,则EX是:
(D)2.
3x2
2.设X有密度函数:
f(x)8
求E(X),E(2X1),E(匕),并求X
大于数学期望E(X)的概率。
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:
已知E(XY)0.65,
则a和b的值是:
(A)a=0.1,b=0.3;
(B)a=0.3,b=0.1;
X\y
(C)a=0.2,b=0.2;
(D)a=0.15,b=0.25。
4•设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下:
EX,EY,E(XY
1)。
f(x,y)
xy
1,0
4.2数学期望的性质
相互独立。
4.3方差
4.4常见的几种随机变量的期望与方差
1设X〜
(2),丫〜B(3,0.6),相互独立,则E(X2Y),D(X2Y)的值分别是:
(A)-1.6和4.88;
(B)-1和4;
(C)1.6和4.88;
(D1.6和-4.88.
(A)0和8;
(B)1和7;
(C)2和6;
(D)3和5.
4.6独立性与不相关性矩
1.下列结论不正确的是()
(A)X与丫相互独立,则X与丫不相关;
(B)X与Y相关,则X与Y不相互独立;
(C)E(XY)E(X)E(Y),则X与Y相互独立;
(D)f(x,y)fx(x”Y(y),则X与丫不相关;
2.若COV(X,Y)0,则不正确的是()
(D)既不必要,也不充分。
X与丫不相关,但不独立。
D(X)D(Y);
(C)D(XY)D(X)D(Y);
(D)D(XY)
X、Y
1.
-
1/8
3.(X,Y)有联合分布律如下,试分析
X与Y的相关性和独立性。
4.E(XY)E(X)E(Y)是X与丫不相关的()
(A)必要条件;
(B)充分条件:
(C)充要条件;
5.E(XY)E(X)E(Y)是X与丫相互独立的()
(A)必要条件;
(C)充要条件;
6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下:
试验证
第4章作业答案
4.11:
B;
2:
3/2,2,3/4,37/64;
3:
D;
4:
2/3,4/3,17/9;
4.21:
D;
4.31:
7/2,35/12;
11/36;
4.41:
A2:
B;
4.51:
0.2,0.355;
-1/144,—1/11;
4.61:
C;
3:
X与Y不相关,但X与Y不相互独立;
4:
5:
A;
第5章极限定理
*§
5.1大数定理§
5.2中心极限定理
1.一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元
件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。
2.某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。
第5章作业答案
5.22:
0.1788;
0.889,0.841;
第6章数理统计基础
6.1数理统计中的几个概念
1.有n=10的样本;
1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,则样本
均值X=,样本均方差S,样本方差S2。
2•设总体方差为b2有样本X1,X2,,Xn,样本均值为X,则Cov(X-X)。
6.2数理统计中常用的三个分布
1.查有关的附表,下列分位点的值:
Z°
.9=,為(5)=,t0.9(10)=
2•设X1,X2,,Xn是总体2(m)的样本,求E(X),D(X)。
6.3一个正态总体的三个统计量的分布
22
1•设总体X~N(,),样本X1,X2,,Xn,样本均值X,样本方差S,贝y
xX
6.3
1.N(0,1),t(n1),2(n
1),
2(n);
第6章作业答案
第7章参数估计
7.1矩估计法和顺序统计量
鼠法
1.设总体X的密度函数为:
f(x)
■,x
一10x
”r,
有样本X1,X2,,Xn,求未
其
丿、
他
知参数的矩估计。
2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X
~()
,为估计
的值,
在实地随机地调查了20次,
每次1分钟,结果如下:
次数:
34
5
6
量数:
9
53
7
4
试求的一阶矩估计和二阶矩估计。
7.2极大似然估计
(、
1)x0
,有样本X1,X2,,Xn,求
未知参数的极大似然估计。
7.3估计量的评价标准
1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布,有样本X1,X2,,Xn,证明召2X1是a的无偏估计。
2.设总体X〜(),有样本X1,X2,,Xn,证明aX(1a)S是参数的无偏估计
(0a1)。
7.4参数的区间估计
1.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度X~N(,2),抽取9根纤维,测
量其纤度为:
1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求的置信度为0.95的置信区间,
(1)若20.0482,
(2)若2未知
2.2.为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得x12.075mm,s=0.0494mm,设另件长度X~N(,2),取置信度为0.95,
(1)求2的置信区间,
(2)求的置信区间。
第7章作业答案
X2
7.11:
()2;
5,4.97;
1X
7.211)2;
InXi
i1
7.3
7.41:
(1.377,1.439),(1.346,1.454);
(0.0013,0.0058);
(0.036,0.076)
第8章假设检验
8.1假设检验的基本概念
1.某种电子元件的阻值(欧姆)X〜N(1000,400),随机抽取25个元件,测得平均电
阻值X992,试在0.1下检验电阻值的期望是否符合要求?
2.在上题中若2未知,而25个元件的均方差S25,则需如何检验,结论是什么?
8.2假设检验的说明
1.设第一道工序后,半成品的某一质量指标X~N(,64),品质管理部规定在进入下一工
序前必需对该质量指标作假设检验H0:
0,H1:
0;
n16,当X与0的绝
对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。
8.3一个正态总体下参数的假设检验
1.成年男子肺活量为3750毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一
定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为x3808毫升,设方差为21202,试检
验肺活量均值的提高是否显著(取0.02)?
第8章作业答案
8.1
1:
拒绝H0:
1000-2:
?
J•
接受H。
:
1000;
8.2
1:
0.1;
8.3
拒绝H0;
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