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2.1.1凸函数一些基本定义
通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:
曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;
而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。
通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。
对于凸的我们称其函数为凸函数。
数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:
设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。
葛丽萍[3]介绍了以下的结论:
若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。
同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:
在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。
并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。
2.1.2严格凸函数的定义
江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。
定义:
凸函数的定义为函数满足以下不等式,其中为区间上的函数,,为上的任意两点和。
当上面的不等式变为时,其余条件不变,该函数称为严格凸函数。
判定方法:
1、设为区间上可导函数,在上严格递增,则在区间上是严格凸函数。
反之,不成立;
2、设为区间上二阶可导函数,在上.则在区间上是严格凸函数。
2.1.3凸函数的等价描述
林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述,由此得出:
若在上有定义,则以下3个命题等价:
在上为凸函数;
,有;
且不全为零,有
。
其中命题就是著名的Jensen不等式。
在Jensen不等式中令就得到如下定义:
设在区间上有定义,称为上的凸函数,当且仅当有。
葛丽萍[3]介绍了函数在区间上可导的等价条件:
若为区间上的可导函数,可得出以下等价条件。
(1)为上的凸;
(2)为上的增函数;
(3)对上的任意两点,,有。
2.2凸函数的一些性质
2.2.1凸函数的连续性
凸函数是数学分析中的一类重要函数,而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征。
由于Jensen定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设,Jensen意义下凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数,从凸函数的定义出发,研究连续函数与凸函数的关系。
那么我们就会提出这样的问题:
当连续函数满足何种条件时,是区间上的凸函数;
当凸函数满足何种条件时,是区间上的连续函数;
连续凸函数在区间上具有何种性质?
例如函数,我们容易证明在上是凸函数,但在上不连续。
存在函数,可以得出函数在上是连续的,但是函数在上不是凸函数。
上面这个例题说明凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数。
宋方[6]提出,如果连续函数为凸函数,必定满足以下定义:
对任意的及,恒有:
例:
证明连续函数是一个凸函数。
分析:
因为,只要存在就能说明函数是一个凸函数。
显然能够找到满足条件的
性质[7]:
若在区间上连续,且满足
或
其中,则是上的凸函数。
2.2.2凸函数的微积分性质
刘鸿基,张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数,有着较好的分析性质,而关于凸函数,一般教材大都从几何意义方面引出定义,描述为:
凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦,总是位于曲线弧段的下方;
或者,当曲线各点处存在切线时,凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。
前者往往作为定义使用,后者是凸函数的充分必要条件,也可以作为定义作用。
刘鸿基,张志宏[8]举证了凸函数的4个等价性定义,并对凸函数的微积分性质予以讨论,得到两个重要的微积分性质:
1.设在区间内可导,则在上是凸函数的充分必要条件是:
对任意点,恒有。
2.设是上的凸函数,则
性质2分析:
因为是闭区间上的凸函数,因而是连续的,也是可积的。
当时,,
因此有。
根据定义,可得即。
根据定积分性质对于,
令则
所以
再者,若令,则,于是
综上所述,结论成立。
2.2.3关于凸函数性质的总结
王华[9]提出常见的凸函数定义有八个,此处就其中几个定义间的关系、几何意义作进一步思考,来得出有关凸函数的性质。
根据文中所阐述和定义的,归纳出以下性质:
1.当在上一阶可导,在凸。
由于是过点的曲线的切线,不等式的几何意义是:
上凸曲线总在曲线上任一点的切线之上。
2.在上二阶可导,在凸。
3.若在上可导,则下述两个不等式等价
(1);
(2)。
4.若在凸,则下述两个不等式等价
(1)有;
(2)有。
5.若在凸,则
(1),有,都存在,且;
(2)在连续。
证明上(下)凸函数都是连续的。
针对性质5分析:
取,据定义得式(?
)又据其几何意义,函数是单调函数,故当时单调有上界;
时单调有下界,于是极限及存在,而这两个极限即及,故对式(*)取极限,即可得。
同时可知
即。
故在的内点连续,即在上连续是在上(下)凸的必要条件。
2.3凸函数的一些应用
2.3.1凸函数的应用概述
凸函数的应用领域非常广泛,特别是在不等式的证明中,函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。
利用凸函数的性质证明有关不等式,可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化为证明比较容易,证明过程简单的问题,关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则可以对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。
凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。
邹自德[10]指出:
凸函数具有较好的几何和代数性质,由凸函数可以引导出各种平均值并对这些平均值进行比较。
几何平均值不大于算数平均值(利用凸函数导出常用的不等式)
分析:
设,考虑指数函数,是凸函数,从而对
有
成立。
令,则得到
。
这就是人们熟知的“几何平均值不大于算数平均值”定理。
梁艳[11]指出:
凸函数是一类非常重要的函数,在不等式的研究中,凸函数所发挥的作用是无可替代的,可以根据凸凹函数的特性,结合典型事例,来说明凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中的应用。
证明下列不等式:
对任意实数有.
(1)设,由于,而,故是上的凸函数,由定义可知,有,即.
小结:
在不等式的研究中,凸函数所发挥着很重要的作用,在数学规划中有着广泛的应用背景,我们可以根据凸凹函数的特性,来解决一系列拥有较大难度的不等式,以及导出一些较难的不等式,如上面所给出的指数不等式,三角函数不等式都能通过凸函数的性质来得到比较直观的证明,可以来导出如几何平均值不大于算数平均值这一类比较难的不等式,说明了凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中有着较好的应用。
2.3.2凸函数在证明Jensen不等式时的应用
王秋亮[12]讨论了凸函数在证明Jensen不等式时的应用。
不论导出不等式还是证明不等式,利用Jensen不等式的关键在于选取适当的凸函数,并且根据想要构造或证明的不等式的形式选取恰当的值。
并且应用数学归纳法在用凸函数来证明Jensen不等式时,可以得到较好的效果。
定理1(Jensen不等式):
若设区间上有定义,则以下两条件等价:
1在上为凸函数;
2,有(*)
21只要令即得。
12应用数学归纳法。
当时,可得函数为凸函数。
设时命题成立,即有,现设,及令,,。
由数学归纳法假设可推得
.
这就证明了对任何正整数,凸函数总有不等式(*)成立。
2.3.3凸函数在证明Hadamard不等式时的应用
郑宁国[13]给出了Hadamard不等式的两种证明方法。
讨论了凸函数在证明Hadamard不等式时的应用。
选取适当的凸函数来证明Hadamard不等式,并且根据要证明的不等式的形式选取恰当的值。
Hadamard不等式:
设是上连续的凸函数,则有.
根据积分区间具有可加性,有.
因为(其中令),
即有。
令,
则
即有
所以Hadamard不等式成立。
2.3.4凸函数在分析不等式中的应用
关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究,利用凸函数的概念可以来解决不等式的证明有许多方便之处,现实中常常利用凸函数的概念来证明分析中的一些常见的不等式。
李艳梅,李雪梅[14]给出了凸函数在分析不等式证明中的应用,利用凸函数的性质及Jensen不等式,对数学分析中诸多不等式给予证明,从中可举一反三,利用Jensen不等式的一些特殊情况,可以得到一些常用的分析不等式。
.
假设函数,
有,
由Jensen不等式取有于是
小结:
此处运用了凸函数的性质及Jensen不等式,可以很简洁的证得该分析不等式。
解决不等式的证明有着许多方便之处,凸函数适当的应用,使证明过程更加简洁,结论得出更加的方便。
三、总结部分(将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测)
凸函数具有一些非常优良的性质,有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用[15]。
凸函数是一类非常重要的函数,应用函数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。
本文首先对凸函数定义进行介绍,凸函数的等价性质进行了概述;
接下来介绍了凸函数的基本性质,然后由此延伸,进一步提出凸函数的应用,主要集中在下面几方面的应用:
凸函数在Hadamard不等式证明中的应用,凸函数在证明Jensen不等式时的应用,凸函数在分析不等式中的应用等方面进行了讨论。
四、参考文献(根据文中参阅和引用的先后次序按序编排)
[1]蒲义书、陈露.凸函数概论[J].高等数学研究,2006,9(4):
34-71.
[2]数学分析[M].第三版.北京:
高等教育出版社,2006:
148-154.
[3]葛丽萍.关于凸函数的几个充分必要条件[J].文化教育,2010,5:
193-193.
[4]江芹、陈文略.严格凸函数的判定[J].高等函授学报,2006,194:
27-28.
[5]林银河.凸函数的等价描述与Jensen不等式[J].丽水师范专科学校学报,2001,23
(2):
8-11.
[6]宋方.关于凸函数的定义和性质[J].数学的实践与认识,2007,278:
189-194.
[7]JonathanM.Borwein,JonVanderwerff.ConstructionsofUniformlyConvexFunctions[J].2000MathematicsSubjectClassification,2000,1-10.
[8]刘鸿基、张志宏.凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论[J].商丘师范学院学报,2008,246):
123-125.
[9]王华.关于凸函数性质的总结[J].科技教育,2005,235-236.
[10]邹自德.凸函数及应用[J].广州广播电视大学学报,2008,81:
104-112.
[11]梁艳.凸函数的应用[J].内江师范学院学报,2010,25:
90-91.
[12]王秋亮.凸函数在不等式中的应用[J].晋城职业技术学院学报,2009,2(3):
95-96.
[13]郑宁国.凸函数的Hadamard不等式的两种证明方法[J].湖州师范学院学报,2005,27
(2):
15-17.
[14]李艳梅、李雪梅.凸函数在分析不等式证明中的应用[J].高等职业教育天津职业大学学报,2003,131:
33-37.
[15]Zhenglujiang,XiaoyongFu,HongjiongTian.ConvexFunctionsandIneoualitiesForintegrals[J].//.eandAppl.Math,2006,75.
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