春季高考北京卷理科数学试题及答案.docx
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春季高考北京卷理科数学试题及答案
2005年普通高等学校春季招生考试(北京卷)
数学试卷(理工农医类)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、的共轭复数是()
A.B.C.D.
2、函数y=|log2x|的图象是
3、有如下三个命题:
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;
③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直。
其中正确命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
4、如果函数的最小正周期是T,且当时取得最大值,那么()
A.B.C.D.
5、设,“”是“曲线为椭圆”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
6、已知双曲线的两个焦点为,,P是此双曲线上的一点,且,,则该双曲线的方程是()
A.B.C.D.
7、在中,已知,那么一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
8、若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
把答案填在题中横线上。
9、=__________。
10、已知,那么的值为_____,的值为_____。
11、若圆与直线相切,且其圆心在轴的左侧,则的值为__________。
12、如图,正方体的棱长为,将该正方体沿对角面切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为__________。
13、从这四个数中选三个不同的数作为函数的系数,可组成不同的二次函数共有__________个,其中不同的偶函数共有__________个。
(用数字作答)
14、若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是__________;若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是__________。
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分12分)设函数的定义域为集合M,函数的定义域为集合N。
求:
(1)集合M,N;
(2)集合,。
16、(本小题满分14分)如图,正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线,分别交AB、AC于、。
将沿折起到的位置,使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M。
求:
(1)二面角的大小;
(2)异面直线与所成角的大小(用反三角函数表示)。
17、(本小题满分14分)已知是等比数列,,;是等差数列,,。
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和的公式;
(3)设,,其中,试比较与的大小,并证明你的结论。
18、(本小题满分14分)如图,O为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和,且交抛物线于、两点。
(1)写出直线的截距式方程;
(2)证明:
;
(3)当时,求的大小。
19、(本小题满分13分)经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为:
。
(1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
(精确到千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车站的平均速度应在什么范围内?
20、(本小题满分13分)现有一组互不相同且从小到大排列的数据:
,其中。
为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:
记,,,作函数,使其图象为逐点依次连接点的折线。
(1)求和的值;
(2)设的斜率为,判断的大小关系;
(3)证明:
当时,;
(4)求由函数与的图象所围成图形的面积(用表示)。
2005年普通高等学校春季招生考试
数学(理工农医类)(北京卷)参考答案
一、选择题:
本大题主要考查基本知识和基本技能.每小题5分,满分40分.
1.D2.A3.C4.A5.B6.C7.B8.A
二、填空题:
本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.
9.10.11.12.13.186
14.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.本小题主要考查集合的基本知识,考查逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
.
16.本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力,罗辑思维能力和运算能力.满分14分.
解(Ⅰ)连接AM,A1G
∵G是正三角形ABC的中心,
且M为BC的中点,
∴A,G,M三点共线,AM⊥BC.
∵B1C1∥BC,
∴B1C1⊥AM于G,
即GM⊥B1C1,GA1⊥B1C1,
∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角.
∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M,
∴A1M⊥MG,∠A1MG=90°
在Rt△A1GM中,由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90°
即二面角A1—B1C1—M的大小是60°
(Ⅱ)过B1作C1C的平行线交BC于P,则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角.
由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP,
PM=BM—BP=A1B1=AB1=2.
∵A1M⊥面BB1C1C于M,
∴A1M⊥BC,∠A1MP=90°.
在Rt△A1GM中,A1M=A1G·
在Rt△A1MP中,
在△A1B1P中,由余弦定理得
,
∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力,分析问题和解决问题的能力.满分14分.
解:
(Ⅰ)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得
(Ⅱ)
(Ⅲ)b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,所以
18.本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力,满分14分.
(Ⅰ)解:
直线l的截距式方程为
①
(Ⅱ)证明:
由①及y2=2px消去x可得
②
点M,N的纵坐标y1,y2为②的两个根,故
(Ⅲ)解:
设OM,ON的斜率分别为k1,k2,
19.本小题主要考查函数、不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力,满分13分.
解:
(Ⅰ)依题意,
(Ⅱ)由条件得
整理得v2-89v+1600<0,
即(v-25)(v-64)<0,
解得25 答: 当v=40千米/小时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时. 20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,满分13分. (Ⅰ)解: (Ⅱ)解: 因为a1 所以k1 (Ⅲ)证明: 由于f(x)的图象是连接各点的折线,要证明 下面证明 证法一: 对任何n(n=1,2,3,4), 证法二: 对任何n(n=1,2,3,4) (Ⅳ)解: 设S1为[0,1]上折线f(x)与x轴及直线x=1所围成图形的面积,则
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