高考数学考点通关练第六章立体几何42空间点直线平面间的位置关系试题文Word文档格式.docx
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①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是( )
答案 B
解析 ①正确,否则三点共线和第四点必共面;
②错,如图三棱锥,能合题意但A、B、C、D、E不共面;
③错,从②的几何体知;
空间四边形为反例可知,④错.
5.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( )
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
解析 由已知得,直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾.
6.使直线a,b为异面直线的充分不必要条件是( )
A.a⊂平面α,b⊄平面α,a与b不平行
B.a⊂平面α,b⊄平面α,a与b不相交
C.a∥直线c,b∩c=A,b与a不相交
D.a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=l,a与b无公共点
解析 对A:
a与b可能有交点;
对B,D:
a与b可能平行,故选C.对C:
可用反证法,若b与a不异面,而且a∩b=∅,则a∥b.又a∥c,从而b∥c,与b∩c=A矛盾.
7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°
,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
解析 如图,连接AB1,易知AB1∥EF,连接B1C交BC1于点G,取AC的中点H,连接GH,则GH∥AB1∥EF.设AB=BC=AA1=a,连接HB,在△GHB中,易知GH=HB=GB=a,故两直线所成的角即为∠HGB=60°
.
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上).
答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.
二、高考小题
9.[2015·
广东高考]若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
解析 解法一:
如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;
如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.
解法二:
因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.
10.[2016·
山东高考]已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;
反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.
11.[2014·
广东高考]若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;
若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.
三、模拟小题
12.[2017·
武昌调研]已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l( )
A.相交B.平行
C.垂直D.异面
解析 当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.
13.[2017·
贵州安顺调研]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O,M,N分别是线段BD,DD1,D1C1的中点,则直线OM与AC,MN的位置关系是( )
A.与AC,MN均垂直
B.与AC垂直,与MN不垂直
C.与AC不垂直,与MN垂直
D.与AC,MN均不垂直
解析 因为DD1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD1,又因为AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1B1,因为OM⊂平面BDD1B1,所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2,则OM==,MN==,ON==,所以OM2+MN2=ON2,所以OM⊥MN.故选A.
14.[2016·
江西景德镇二模]将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直B.相交但不垂直
C.异面且垂直D.异面但不垂直
解析 在题图1中,AD⊥BC,故在题图2中,AD⊥BD,AD⊥DC,又因为BD∩DC=D,所以AD⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,D不在BC上,所以AD⊥BC,且AD与BC异面,故选C.
15.[2016·
河北石家庄质检]下列正方体或四面体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四点不共面的一个图是( )
(利用“经过两条平行直线,有且只有一个平面”判断)对选项A,易判断PR∥SQ,故点P、Q、R、S共面;
对选项B,易判断QR∥SP,故点P、Q、R、S共面;
对选项C,易判断PQ∥SR,故点P、Q、R、S共面;
而选项D中的RS、PQ为异面直线,故选D.
如图,可知选项A、B中的四点共面.对于选项C,易知可构成平行四边形.故选D.
16.[2016·
云南师大附中月考]三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC、AB所成的角均为60°
,∠BAC=90°
,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为( )
A.1B.
C.D.
解析 如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设AB=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=a,A1D1=a,∴sin∠A1BD1=,故选D.
17.[2017·
南昌调研]若α、β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)
①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;
②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;
③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;
④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.
答案 ②④
解析 对于①,若直线m⊥α,如果α、β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;
对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故②正确;
对于③,若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确.
一、高考大题
1.[2014·
陕西高考]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)证明:
四边形EFGH是矩形.
解
(1)由该四面体的三视图可知BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,
∴四面体ABCD的体积V=×
×
2×
1=.
∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,
∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.
同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC,
∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,
∴四边形EFGH是矩形.
2.[2015·
四川高考]一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;
(3)证明:
直线DF⊥平面BEG.
解
(1)点F,G,H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH,证明如下:
因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,
又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,
于是四边形BCHE为平行四边形,
所以BE∥CH.
又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG=B,
所以平面BEG∥平面ACH.
连接FH.
因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH.
因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.
又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.
又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.
同理DF⊥BG.
又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.
二、模拟大题
3.[2016·
广东佛山模拟]如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°
的菱形,M为PC的中点.
(1)求证:
PC⊥AD;
(2)在棱PB上是否存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面?
若存在,指出点Q的位置并证明;
若不存在,请说明理由;
(3)求点D到平面PAM的距离.
解
(1)证明:
取AD的中点O,连接OP,OC,AC,
因为ABCD是∠ABC=60°
的菱形,所以∠ADC=60°
,AD=CD,所以△ACD是正三角形,所以OC⊥AD,又△PAD是正三角形,所以OP⊥AD,
又OC∩OP=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,
所以AD⊥平面POC,又PC⊂平面POC,所以PC⊥AD.
(2)存在.当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面.
证明:
取棱PB的中点Q,连接QM,QA,
因为M为PC的中点,所以QM∥BC,
在菱形ABCD中,AD∥BC,所以QM∥AD,
所以A,Q,M,D四点共面.
(3)点D到平面PAM的距离即为点D到平面PAC的距离,
由
(1)可知PO⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高,
在Rt△POC中,PO=OC=,PC=,
在△PAC中,PA=AC=2,PC=,
边PC上的高AM==,
所以S△PAC=PC·
AM=×
=,
设点D到平面PAC的距离为h,
由VD-PAC=VP-ACD,得S△PAC·
h=S△ACD·
PO,即×
·
h=×
22×
,
解得h=,所以点D到平面PAM的距离为.
4.[2016·
河南焦作一模]如图所示,平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直,AD⊥CD,AD⊥ED,AF∥DE,AB∥CD,CD=2AB=2AD=2ED=xAF.
(1)若四点F、B、C、E共面,AB=a,求x的值;
(2)求证:
平面CBE⊥平面EDB.
解
(1)∵AF∥DE,AB∥DC,AF∩AB=A,DE∩DC=D,
∴平面ABF∥平面DCE.
∵四点F,B,C,E共面,∴FB∥CE,
∴△ABF与△DCE相似.
∵AB=a,∴ED=a,CD=2a,AF=,
由相似比得=,即=,
所以x=4.
不妨设AB=1,则AD=AB=1,CD=2,
在Rt△BAD中,BD=,取CD中点为M,则MD与AB平行且相等,连接BM,可得△BMD为等腰直角三角形,因此BC=,因为BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD,又因为平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直,平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊥AD,所以ED⊥平面ABCD,∴BC⊥DE,又因为BD∩DE=D,∴BC⊥平面EDB,∵BC⊂平面ECB,∴平面CBE⊥平面EDB.
5.[2016·
沈阳质检]如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
证明
(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.
6.[2017·
广东适应性检测]如图,在直二面角E-AB-C中,四边形ABEF是矩形,AB=2,AF=2,△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形,点P是线段BF上的一点,PF=3.
(1)证明:
FB⊥面PAC;
(2)求异面直线PC与AB所成的角的余弦值.
易得FB=4,
cos∠PFA=cos∠BFA=,
在△PAF中,
PA=
==.
∵PA2+PF2=3+9=12=AF2,∴PA⊥BF.
∵平面ABEF⊥平面ABC,平面ABEF∩平面ABC=AB,AB⊥AC,∴AC⊥平面ABEF.
∵BF⊂平面ABEF,∴AC⊥BF.
∵PA∩AC=A,∴BF⊥平面PAC.
(2)过P作PM∥AB,PN∥AF,分别交BE,BA于M,N,∠MPC或其补角为PC与AB所成的角.连接MC,NC.
易得PN=MB=,AN=,NC==,BC=2,PC==,MC==,cos∠MPC===-.
∴异面直线PC与AB所成的角的余弦值为.
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