CRC从原理到实现Word下载.docx
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CRC算法的是以GF
(2)(2元素伽罗瓦域)多项式算术为数学基础的,听起来很恐怖,但实际上它
的主要特点和运算规则是很好理解的。
GF
(2)多项式中只有一个变量x,其系数也只有0和1,如:
1*x^7+0*x^6+1*x^5+0*x^4+0*x^3+1*x^2+1*x^1+1*x^0
即:
x^7+x^5+x^2
+x+1
(x^n表示x的n次幂)
GF
(2)多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减,模2就是加减时不考虑进位和借位,
0+0=0
0-0=0
0+1=1
0-1=1
1+0=1
1-0=1
1+1=0
1-1=0
显然,加和减是一样的效果(故在GF
(2)多项式中一般不出现"
-"
号),都等同于异或运算。
例
如P1=x^3
+x^2+1,P2=x^3
+x^1+1,P1+P2为:
x^3
+x^2 +1
+x^3
------------------
x^2+x
GF
(2)多项式乘法和一般多项式乘法基本一样,只是在各项相加的时候按模2算术进行,例如
P1*P2为:
(x^3+x^2+1)(x^3+x^1+1)
=(x^6+x^4+x^3
+x^5+x^3+x^2
+x^3+x+1)
=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
GF
(2)多项式除法也和一般多项式除法基本一样,只是在各项相减的时候按模2算术进行,例
如P3=x^7+x^6+x^5+x^2+x,P3/P2为:
x^4+x^3
+1
------------------------------------------
x^3+x+1)x^7+x^6+x^5+
x^7
+x^5+x^4
---------------------
x^6
+x^4
+x^4+x^3
x^3+x^2+x
-----------------
x^2
CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF
(2)多项式M,比如对于8位消息11100110,如果先传输
MSB,则它对应的多项式为x^7+x^6+x^5+x^2+x。
发送端和接收端约定一个次数为r的
GF
(2)多项式G,称为生成多项式,比如x^3+x+1,r=3。
在消息后面加上r个0对应的多
项式为M'
,显然有M'
=Mx^r。
用M'
除以G将得到一个次数等于或小于r-1的余数多项式R,
其对应的r位数值则为校验码。
如下所示:
11001100
-------------
1011)11100110000
1011.......
----.......
1010......
1011......
----......
1110...
1011...
----...
1010..
1011..
----
100
<
---校验码
发送端将m位消息连同r位校验码(也就是M'
+R)一起发送出去,接收端按同样的方法算出收
到的m位消息的校验码,再与收到的校验码比较。
接收端也可以用收到的全部m+r位除以生
成多项式,再判断余数是否为0。
这是因为,M'
+R=(QG+R)+R=QG,这里Q是商。
显
然,它也可以像发送端一样,在全部m+r后再增加r个0,再除以生成多项式,如果没有差错
发生,余数仍然为0。
3.生成多项式的选择
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很明显,不同的生成多项式,其检错能力是不同的。
如何选择一个好的生成多项式需要一定
的数学理论,这里只从一些侧面作些分析。
显然,要使用r位校验码,生成多项式的次数应为
r。
生成多项式应该包含项"
1"
,否则校验码的LSB(LeastSignificantBit)将始终为0。
如果
消息(包括校验码)T在传输过程中产生了差错,则接收端收到的消息可以表示为T+E。
若E不
能被生成多项式G除尽,则该差错可以被检测出。
考虑以下几种情况:
1)1位差错,即E=x^n=100...00,n>
=0。
只要G至少有2位1,E就不能被G除尽。
这
是因为Gx^k相当于将G左移k位,对任意多项式Q,QG相当于将多个不同的G的左移相加。
如果G至少有两位1,它的多个不同的左移相加结果至少有两位1。
2)奇数位差错,只要G含有因子F=x+1,E就不能被G除尽。
这是因为QG=Q'
F,由1)
的分析,F的多个不同的左移相加结果1的位数必然是偶数。
3)爆炸性差错,即E=(x^n+...+1)x^m=1...100...00,n>
=1,m>
=0,显然只
要G包含项"
,且次数大于n,就不能除尽E。
4)2位差错,即E=(x^n+1)x^m=100...00100...00,n>
设x^n+1=QG+R,
则E=QGx^m+Rx^m,由3)可知E能被G除尽当且仅当R为0。
因此只需分析x^n+1,根
据[3],对于次数r,总存在一个生成多项式G,使得n最小为2^r-1时,才能除尽x^n
+1。
称该生成多项式是原始的(primitive),它提供了在该次数上检测2位差错的最高
能力,因为当n=2^r-1时,x^n+1能被任何r次多项式除尽。
[3]同时指出,原始
生成多项式是不可约分的,但不可约分的的多项式并不一定是原始的,因此对于某些
奇数位差错,原始生成多项式是检测不出来的。
以下是一些标准的CRC算法的生成多项式:
标准
多项式
16进制表示
---------------------------------------------------------------------------
CRC12
x^12+x^11+x^3+x^2+x+1
80F
CRC16
x^16+x^15+x^2+1
8005
CRC16-CCITT
x^16+x^12+x^5+1
1021
CRC32
x^32+x^26+x^23+x^22+x^16+x^12+x^11
04C11DB7
+x^10+x^8+x^7+x^5+x^4+x^2+x+1
16进制表示去掉了最高次项,CCITT在1993年改名为ITU-T。
CRC12用于6位字节,其它用于8位
字节。
CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。
CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM,X.25和SDLC等通信
协议。
而以太网和FDDI则使用CRC32,它也被用在ZIP,RAR等文件压缩中。
在这些生成多项式
中,CRC32是原始的,而其它3个都含有因子x+1。
4.CRC算法的实现
---------------
要用程序实现CRC算法,考虑对第2节的长除法做一下变换,依然是M=11100110,G=1011,
其系数r为3。
11001100
11100110000
1011
1011)11100110000
-----------
1011.......
1010110000
----.......
1010110000
1010......
1011
1011......
===>
001110000
1110...
1110000
1011...
----...
1010..
101000
1011..
101000
----
00100
---校验码
程序可以如下实现:
1)将Mx^r的前r位放入一个长度为r的寄存器;
2)如果寄存器的首位为1,将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB),
再与G的后r位异或,否则仅将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB);
3)重复第2步,直到M全部Mx^r移入寄存器;
4)寄存器中的值则为校验码。
用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021,其C代码(本文所有代码假定系统为32位,且都在VC6上
编译通过)如下:
unsignedshortdo_crc(unsignedchar*message,unsignedintlen)
{
inti,j;
unsignedshortcrc_reg;
crc_reg=(message[0]<
<
8)+message[1];
for(i=0;
i<
len;
i++)
{
if(i<
len-2)
for(j=0;
j<
=7;
j++)
{
if((short)crc_reg<
0)
crc_reg=((crc_reg<
1)+(message[i+2]>
>
(7-i)))^0x1021;
else
crc_reg=(crc_reg<
(7-i));
}
else
1)^0x1021;
crc_reg<
=1;
}
returncrc_reg;
}
显然,每次内循环的行为取决于寄存器首位。
由于异或运算满足交换率和结合律,以及与0异
或无影响,消息可以不移入寄存器,而在每次内循环的时候,寄存器首位再与对应的消息位
异或。
改进的代码如下:
unsignedshortdo_crc(unsignedchar*message,unsignedintlen)
unsignedshortcrc_reg=0;
unsignedshortcurrent;
current=message[i]<
8;
if((short)(crc_reg^current)<
current<
}
以上的讨论中,消息的每个字节都是先传输MSB,CRC16-CCITT标准却是按照先传输LSB,消息
右移进寄存器来计算的。
只需将代码改成判断寄存器的LSB,将0x1021按位颠倒后(0x8408)与
寄存器异或即可,如下所示:
current=message[i];
if((crc_reg^current)&
0x0001)
crc_reg=(crc_reg>
1)^0x8408;
crc_reg>
current>
该算法使用了两层循环,对消息逐位进行处理,这样效率是很低的。
为了提高时间效率,通
常的思想是以空间换时间。
考虑到内循环只与当前的消息字节和crc_reg的低字节有关,对该
算法做以下等效转换:
unsignedchar
index;
unsignedshortto_xor;
index=(crc_reg^message[i])&
0xff;
to_xor=index;
if(to_xor&
to_xor=(to_xor>
to_xor>
8)^to_xor;
现在内循环只与index相关了,可以事先以数组形式生成一个表crc16_ccitt_table,使得
to_xor=crc16_ccitt_table[index],于是可以简化为:
while(len--)
8)^crc16_ccitt_table[(crc_reg^*message++)&
0xff];
crc16_ccitt_table通过以下代码生成:
intmain()
unsignedcharindex=0;
inti;
printf("
unsignedshortcrc16_ccitt_table[256]=\n{"
);
while
(1)
if(!
(index%8))
\n"
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