初中竞赛数学18乘法公式含答案.docx
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初中竞赛数学18乘法公式含答案
18.乘法公式
知识纵横
乘法公式(multiplicationformula)是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在复杂的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点:
1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;
2.根据待求式的特点,模仿套用公式;
3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;
4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.
例题求解
【例1】(1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是______.(江苏省竞赛题)
(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.
(2000年重庆市竞赛题)
思路点拨
(1)建立两个连续奇数的方程组;
(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,由平方和想到完全平方公式(formulaforthesquarethesum)及其变形.
解:
(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则
得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).
(2)4002提示:
(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)
【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N的大小关系是().(“祖冲之”杯邀请赛试题)
A.M>NB.M 思路点拨运用乘法公式,在化简M、N的基础上,作差比较它们的大小. 解: 选B 【例3】计算: (1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1;(天津市竞赛题) (2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.(江苏省竞赛试题) 思路点拨若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于 (2),由于数字之间有联系,可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征. 解: (1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716 (2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345 【例4】 (1)已知x、y满足x2+y2+=2x+y,求代数式的值.(“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值.(第14届“希望杯”邀请赛试题) (3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整. 甲商场: 第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场: 两次提价的百分率都是(a>0,b>0); 丙商场: 第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a, 则哪个商场提价最多? 说明理由.(2003年河北省竞赛题) 思路点拨对于 (1)、 (2)两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小. 解: (1)提示: 由已知得(x-1)2+(y-)2=0,得x=1,y=,原式= (2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x、y为整数, (x-1)2≥0,(y-1)2≥0, 所以可能有的结果是或或, 解得或或或,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为 (1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+)·(1+)=1+(a+b)+()2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因()2-ab>0,所以()2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高. 【例5】已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.证明: (1)b与c两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数. 思路点拨从a2+b2=c2的变形入手;a2=c2-b2,运用质数、奇偶数性质证明. 解: (1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b与c-b同奇同偶,c+b>c-b, 故a不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶. (2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1, 于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数. 学力训练 一、基础夯实 1.观察下列各式: (x-1)(x+1)=x2-1; (x-1)(x2+x+1)=x3-1; (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1. 根据前面的规律可得(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=_______.(2001年武汉市中考题) 2.已知a2+b2+4a-2b+5=0,则=_____.(2001年杭州市中考题) 3.计算: (1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______; (2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________; (3)=___________. 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式________. (2003年太原市中考题) 5.已知a+=5,则==_____.(2003年菏泽市中考题) 6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a2-ab的值为(). A.-15B.-2C.-6D.6(2003年扬州市中考题) 7.乘积(1-)(1-)……(1-)(1-)等于(). A.B.C.D. (2002年重庆市竞赛题) 8.若x-y=2,x2+y2=4,则x2002+y2002的值是(). A.4B.2002C.2D.4 9.若x2-13x+1=0,则x4+的个位数字是(). A.1B.3C.5D.7 10.如图①,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是(). A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+bD.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2(2002年陕西省中考题) 11. (1)设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值? 如果是定值,求出它的值;否则请说明理由. (2)已知x2-2x=2,将下式先化简,再求值: (x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1). (2003年上海市中考题) 12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数. 13.观察: 1·2·3·4+1=52 2·3·4·5+1=112 3·4·5·6+1=192 …… (1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明; (2)根据 (1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示). (2001年黄冈市竞赛题) 二、能力拓展 14.你能很快算出19952吗? 为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论. (1)通过计算,探索规律. 152=225可写成100×1×(1+1)+25; 252=625可写成100×2×(2+1)+25; 352=1225可写成100×3×(3+1)+25; 452=2025可写成100×4×(4+1)+25; …… 752=5625可成写__________;852=7225可写成__________. (2)从第 (1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=________. (3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=________.(福建省三明市中考题) 15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z=________.(2001天津市选拨赛试题) 16. (1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=________. 17.1,2,3,……,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是________.(全国初中数学联赛试题) 18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=(). A.4B.0C.2D.-2 19.方程x2-y2=1991,共有()组整数解. A.6B.7C.8D.9 20.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是(). A.x≤yB.x≥yC.x 21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为(). A.0B.1C.2D.3(2002年全国初中数学竞赛题) 22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值.(西安市竞赛题) 23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值.(2003年河北省竞赛题) 24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证: x1997+y1997=a1997+b1997.(北京市竞赛题) 三、综合创新 25.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证: x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102. 26. (1)请观察: 25=52 1225=352 112225=3352 11122225=33352 …… 写出表示一般规律的等式,并加以证明. (2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32. 任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗? 你能说出其中的道理吗? 答案 1.xn+1-12.-3. (1)4; (2)3897326;(3)4.(a+b)2-4ab=(a-b)25.246.C 7.D提示;逆用平方差公式,分解相约8.C提示: 由已知条件得xy=0 9.D提示: x≠0,由条件得x+=13,x4+=(x2+)2-2=[(x+)2-2]2-210.A 11. (1)定值为0提示: 由条件得x-3y=-2z, 原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0 (2)原式=3x2-6
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- 初中 竞赛 数学 18 乘法 公式 答案