北航研究生数值分析编程大作业1精编版Word文档下载推荐.docx
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对于
执行
(2)求解
(数组b先是存放原方程组右端向量,后来存放中间向量y)
使用反幂法,直接可以求得矩阵按模最小的特征值
求与数
最接近的特征值
,对矩阵
实行反幂法,即可求出对应的
4、求出A的条件数和行列式
根据
,其中分子分母分别对应按模最大和最小的特征值。
的计算:
由于
其中
为下三角矩阵,且对角线元素为1,故
,所以有
,又
为上三角矩阵,故
为对其对角线上各元素的乘积,最后可得
2、程序源代码
(1)定义所需要的函数:
#include<
stdio.h>
conio.h>
math.h>
#defineN501
#defineR2
#defineS2
intmin(inta,intb);
//求最小值
intmax(inta,intb,intc);
//求最大值
doubleFan_two(doublex[N]);
//计算二范数
voidFenjieLU(double(*C)[N]);
//解线性方程组的LU分解过程
voidSolve(double(*C)[N],double*b,double*x);
//解线性方程组的求解过程
doublePowerMethod(doubleC[][N],doubleu[N],doubley[N],doublebta,doubleD);
//幂法
doubleInversePowerMethod(doubleC[][N],doubleu[N],doubley[N],doublebta,doubleD);
//反幂法
};
(2)程序的主函数,Main.cpp代码如下:
voidmain()
{
doubleC[R+S+1][N];
doubleu[N];
doubley[N];
doublemiu[39];
doubleC1[R+S+1][N];
doublebta=1.0;
doubleNamda1,Namda501,NamdaS;
doubleNamda[39];
doubleCondA2;
doubledetA=1.0;
doubleD=1.0e-12;
inti,j,k;
FILE*fp;
fp=fopen("
Namda.txt"
"
w"
);
//对数组进行初始化//
inti,j;
for(i=0;
i<
N;
i++)
{
u[i]=1;
}
i<
R+S+1;
i++)
for(j=0;
j<
j++)
{
if(i==0||i==4)
{
C[i][j]=-0.064;
}
elseif(i==1||i==3)
C[i][j]=0.16;
}
elseif(i==2)
C[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))
-0.64*exp(0.1/(j+1));
}
}
//幂法求Namda1//
Namda1=PowerMethod(C,u,y,bta,D);
printf("
\n================================================\n"
Namda1=%12.11e"
Namda1);
//幂法求Namda501//
bta=1.0;
j<
j++)
if(i==2)
C1[i][j]=C[i][j]-Namda1;
else
C1[i][j]=C[i][j];
Namda501=algorism.PowerMethod(C1,u,y,bta,D)+Namda1;
Namda501=%12.11e"
Namda501);
//反幂法求NamdaS//
NamdaS=InversePowerMethod(C,u,y,bta,D);
NamdaS=%12.11e"
NamdaS);
//反幂法求Namda[k]//
for(k=0;
k<
39;
k++)
miu[k]=Namda1+(k+1)*(Namda501-Namda1)/40.0;
bta=1.0;
for(i=0;
for(j=0;
if(i==2)
C1[i][j]=C[i][j]-miu[k];
else
C1[i][j]=C[i][j];
Namda[k]=InversePowerMethod(C1,u,y,bta,D)+miu[k];
fprintf(fp,"
与%12.11e最接近的特征值为:
%12.11e\n"
miu[k],Namda[k]);
求与miu[k]最接近的Namda[k]的计算结果已经输出到文件Namda.txt中"
//求A的谱范数//
A的谱范数为:
%12.11e"
sqrt(Namda501));
//求A的条件数//
CondA2=fabs(Namda1/NamdaS);
A的谱范数的条件数Cond(A)2为:
CondA2);
//求det(A)2的值//
for(j=0;
detA*=C[2][j];
行列式A的值为:
detA);
fclose(fp);
_getch();
return;
}
(3)成员函数的实现
intmin(inta,intb)
returna<
b?
a:
b;
intmax(inta,intb,intc)
inttemp;
temp=a>
returntemp>
c?
temp:
c;
doubleFan_two(doublex[N])
doublesum=0.0;
inti;
sum+=pow(x[i],2);
returnsqrt(sum);
voidFenjieLU(double(*C)[N])
doublesum=0;
inti,j,k,t;
j=k;
i=k+1;
while
(1)
if(j==min(k+S+1,N))
break;
for(t=max(0,k-R,j-S);
t<
=k-1;
t++)
sum+=C[k-t+S][t]*C[t-j+S][j];
C[k-j+S][j]=C[k-j+S][j]-sum;
sum=0.0;
j++;
if(k==N-1)
if(i==min(k+R+1,N))
for(t=max(0,i-R,k-S);
sum+=C[i-t+S][t]*C[t-k+S][k];
C[i-k+S][k]=(C[i-k+S][k]-sum)/C[S][k];
sum=0;
i++;
voidSolve(double(*C)[N],double*b,double*x)
inti,t;
sum=0;
for(i=1;
for(t=max(0,i-R);
=i-1;
sum+=C[i-t+S][t]*b[t];
b[i]=b[i]-sum;
sum=0;
x[N-1]=b[N-1]/C[S][N-1];
for(i=N-2;
i>
=0;
i--)
for(t=i+1;
=min(i+S,N-1);
sum+=C[i-t+S][t]*x[t];
x[i]=(b[i]-sum)/C[S][i];
doublePowerMethod(doubleC[][N],doubleu[N],doubley[N],doublebta,doubleD)
doubleita;
doubletemp=0.0;
inti,j,k=0;
while(fabs(bta-temp)/fabs(bta)>
D)
temp=bta;
ita=Fan_two(u);
y[i]=u[i]/ita;
for(j=max(0,i-R);
min(i+S+1,N);
sum+=C[i-j+S][j]*y[j];
u[i]=sum;
sum+=y[i]*u[i];
bta=sum;
k++;
returnbta;
doubleInversePowerMethod(doubleC[][N],doubleu[N],doubley[N],doublebta,doubleD)
doubleTC[R+S+1][N];
doublety[N];
FenjieLU(C);
while(abs(1/bta-1/temp)/abs(1/bta)>
//用到临时存储数组TC[][]和ty[][]是因为函数Solve执行过程中会改变A[][]和y[][]
TC[i][j]=C[i][j];
ty[i]=y[i];
Solve(C,y,u);
R+S+1;
C[i][j]=TC[i][j];
y[i]=ty[i];
bta=1.0/bta;
3、程序运行结果
下图为主程序运行结果
其中
的结果输出在Namda.txt文件中,结果如下:
四、分析迭代初始向量对计算结果的影响
选择不同的初始向量
可能会得到不同的特征值。
选取
时,运行结果如下:
时(i<
N/2时为1,i>
=int(N/2)时为0),运行结果如下:
N/2时为0,i>
=int(N/2)时为1),运行结果如下:
通过以上类似的实验可以大致看出这样的规律:
的值趋近于
有两种情况:
(1)当
的元素中,1的个数较多时;
(2)在1的个数相同的条件下,1的分布越靠中后段,
观察
对应的特征向量可以发现:
(1)随着i的增加,特征向量元素的绝对值不断增大,即绝对值较大的数集中于中后位置。
因此,如果初始向量的非零元素集中在中后段,该初始向量会更容易逼近对应的特征向量,得到的结果也越准确。
对于,初始向量的非零元素集中在前半段的情况进行实验,会发现当算法中不考虑给定的精度水平,强制性执行足够高次数(大约在300多次以上)的迭代,运算结果也会趋近于
这就说明,程序之前没有得到准确结果的原因,是因为迭代次数不够。
当迭代次数在100到200次左右时,每一次迭代所造成的相对误差小于给定的精度水平,因此,如果由精度水平来控制循环迭代的次数,程序将错误地判断已经收敛,但实际上,当继续迭代到300次以上时,运算结果会突然变化,直至最终稳定在
由此,可以得出结论,当迭代次数足够高(300次以上)时,得到的结果会趋于稳定,不同的初始向量和选定的精度水平,决定着程序是否出现以及何时出现假收敛。
当所选取初始向量的非零元素越多,以及非零元素的位置越靠后时,收敛会更加迅速、准确。
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