湖北高考理科数学试卷答案解析.doc
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工类)
【34】(A,湖北,理1)在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
考点名称数系的扩充与复数的概念
【34】(A,湖北,理1)D
解析:
,则,其对应点Z(1,-1)位于第四象限.
【1】(A,湖北,理2)已知全集为,集合,,则
A. B.
C. D.
考点名称集合
【1】(A,湖北,理2)C
解析:
∵,,∴.
【2】(A,湖北,理3文3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A.∨ B.∨ C.∧ D.∨
考点名称常用逻辑语句
【2】(A,湖北,理3文3)A
解析:
因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则是“没有降落在指定范围”,是“乙
没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为∨.
【6】(B,湖北,理4文6)将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是
A. B. C. D.
考点名称三角函数及其图象与性质
【6】(B,湖北,理4文6)B
解析:
因为可化为(x∈R),将它向左平移个单位得,其图像关于y轴对称.
【17】(B,湖北,文2理5)已知,则双曲线:
与:
的
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
考点名称圆锥曲线及其标准方程
【17】(B,湖北,文2理5)D
解析:
对于双曲线C1,有,.对于双曲线C2,有,.即这两双曲线的离心率相等.
【7】(B,湖北,理6文7)已知点、、、,则向量在方向上的投影为
A. B. C. D.
考点名称平面向量的概念及其运算
【7】(A,湖北,理6文7)A
解析:
=(2,1),=(5,5),则向量在向量方向上的射影为
.
【31】(C,湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(t的单位:
s,v的单位:
m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:
m)是
A. B. C. D.
考点名称定积分与微积分基本定理
【31】(C,湖北,理7)C
解析:
令=0,解得t=4或t=(不合题意,舍去),即汽车经过4秒中后停止,在此期间汽车继续行驶的距离为
=.
【21】(B,湖北,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有
A. B. C.D.
第9题图
第8题图
考点名称空间几何体与三视图
【21】(B,湖北,理8)C
解析:
显然,所以B不正确.又,,
,,从而.
【26】(B,湖北,理9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅
拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为,则的均值
A. B. C. D.
考点名称统计
【26】(B,湖北,理9)B125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750,涂了油漆的面数有25×6=150.
每一个小正方体的一个面涂漆的频率为,则它的涂漆面数为的均值.
【29】(C,湖北,理10)已知为常数,函数有两个极值点,,则
A., B.,
C., D.,
考点名称导数及其应用
【29】(C,湖北,理10)D
解析:
,由由两个极值点,得有两个不等的实数解,即有两个实数解,从而直线与曲线有两个交点.过点(0,-1)作的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率,切线方程为.切点在切线上,则,又切点在曲线上,则,即切点为(1,0),切线方程为.再由直线与曲线有两个交点.,知直线位于两直线和之间,如图所示,其斜率2a满足:
0<2a<1,解得0<a<..则这函数的两个极点满足,所以,而,即,所以.
【26】(A,湖北,理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)直方图中的值为_________;
(Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_________.
第11题图
考点名称统计
否
开始
是
结束
是奇数
是
否
输出
【26】(A,湖北,理11)(Ⅰ)0.0044(Ⅱ)70
解析:
(Ⅰ)
=0.0044;
(Ⅱ)用电量落在区间内的户数为.
第12题图
【24】(A,湖北,理12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果_________.
考点名称算法初步与框图
【24】(A,湖北,理12)5
解析:
已知初始值,∵,则执行程序,得;因为,则执行程序,得;,则第三次执行程序,得;∵,则第四次执行程序,得;∵,执行输出i,.
【13】(C,湖北,理13)设,且满足:
,,则_________.
考点名称
【13】(C,湖北,理13)
解析:
【39】(湖北理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分k边形数中第个数的表达式:
三角形数,
正方形数,
五边形数,
六边形数,
………………………………………
可以推测的表达式,由此计算_________.
考点名称创新与拓展
【13】(C,湖北,理13)1000
解析:
三角形数,
正方形数=,
五边形数=,
六边形数==,
………………………………………
推测k边形.
所以.
第15题图
【37】(B,湖北,理15)如图,圆上一点在直径上的射影为,点在半径上的射影为.若,则的值为_________.
考点名称选修4-1:
几何证明选讲
【37】(B,湖北,理15)8
解析:
根据题设,易知,
Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD,∴,即CO=3OD=9OE,
在Rt△ODE中,,
在Rt△CDE中,,即,∴.
【36】(A,湖北,理16)
在直角坐标系中,椭圆的参数方程为(为参数,).在
极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴
为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为(m为非零常数)
与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为_________.
考点名称选修4-4:
坐标系与参数方程
【36】(A,湖北,理16)椭圆C的方程可以化为,圆O的方程可化为,直线l的方程可化为,因为直线l经过椭圆的焦点,且与圆O相切,则,,,所以椭圆的离心率.
【10】(B,湖北,理17)在△中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△的面积,,求的值.
考点名称解三角形
【10】(B,湖北,理17)(Ⅰ)由,得,
即,解得或(舍去).
因为,所以.
(Ⅱ)由得.又,知.
由余弦定理得故.
又由正弦定理得.
【19】(B,湖北,理18)已知等比数列满足:
,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得?
若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
考点名称等比数列
【19】(B,湖北,理18)(Ⅰ)设等比数列的公比为q,则由已知可得
解得或
故,或.
(Ⅱ)若,则,故是首项为,公比为的等比数列,
从而.
若,则,故是首项为,公比为的等比数列,
从而故.
综上,对任何正整数,总有.
第19题图
故不存在正整数,使得成立.
【23】(B,湖北,理19)如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点.
(Ⅰ)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆的另一个交点为,且点Q满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:
.
考点名称空间向量与立体几何
【23】(B,湖北,理19)(Ⅰ)直线∥平面,证明如下:
连接,因为,分别是,的中点,所以∥.
又平面,且平面,所以∥平面.
而平面,且平面平面,所以∥.
第19题解答图1
因为平面,平面,所以直线∥平面.
(Ⅱ)(综合法)如图1,连接,由(Ⅰ)可知交线即为直线,且∥.
因为是的直径,所以,于是.
已知平面,而平面,所以.
而,所以平面.
连接,,因为平面,所以.
故就是二面角的平面角,即.
由,作∥,且.
连接,,因为是的中点,,所以,
从而四边形是平行四边形,∥.
连接,因为平面,所以是在平面内的射影,
故就是直线与平面所成的角,即.
又平面,有,知为锐角,
故为异面直线与所成的角,即,
于是在△,△,△中,分别可得
,,,
从而,即.
(Ⅱ)(向量法)如图2,由,作∥,且.
连接,,,,,由(Ⅰ)可知交线即为直线.
以点为原点,向量所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则有
第19题解答图2
.
于是,,,
所以,从而.
又取平面的一个法向量为,可得,
设平面的一个法向量为,
所以由可得取.
于是,从而.
故,即.
【40】(B,湖北,理20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.
(Ⅰ)求的值;
(参考数据:
若~,有,,.)
(Ⅱ)某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.、两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组
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