高中数学 函数与方程及应用.docx
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高中数学函数与方程及应用
课时作业
A组——基础对点练
1.(2018·乌鲁木齐模拟)函数f(x)=ex+2x-3的零点所在的一个区间是( )
A.(-,0) B.(0,)
C.(,1)D.(1,)
解析:
因为f()=-2<0,f
(1)=e-1>0,所以零点在区间(,1)上.
答案:
C
2.函数f(x)=2x6-x4-1的零点个数是( )
A.4B.2
C.1D.0
解析:
函数f(x)=2x6-x4-1的零点个数,就是方程2x6-x4-1=0的实根的个数,变形为2x6=x4+1,显然x=0不是方程的根;当x≠0时,等价于2x2=1+,令g(x)=2x2,h(x)=1+,作出函数g(x)和h(x)的图象如图所示,数形结合知函数g(x)和h(x)的图象有2个交点,即函数f(x)有2个零点.
答案:
B
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}
解析:
当x≥0时,f(x)=x2-3x,
令g(x)=x2-3x-x+3=0,
得x1=3,x2=1.
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x),
∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x.
令g(x)=-x2-3x-x+3=0,
得x3=-2-,
x4=-2+>0(舍),
∴函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合是{-2-,1,3},故选D.
答案:
D
4.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2017-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )
A.a>c>b>dB.a>b>c>d
C.c>d>a>bD.c>a>b>d
解析:
f(x)=2017-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2017,又f(a)=f(b)=2017,c,d为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知c>a>b>d,故选D.
答案:
D
5.(2018·德州模拟)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是( )
A.9B.10
C.11D.18
解析:
由F(x)=0得f(x)=|lgx|分别作f(x)与y=|lgx|的图象,如图,
所以有10个零点,故选B.
答案:
B
6.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(-∞,0)
C.(-1,0)D.[-1,0)
解析:
当x>0时,f(x)=3x-1有一个零点x=,所以只需要当x≤0时,ex+a=0有一个根即可,即ex=-a.当x≤0时,ex∈(0,1],所以-a∈(0,1],即a∈[-1,0),故选D.
答案:
D
7.(2018·长沙市模拟)对于满足0<b≤3a的任意实数a,b,函数f(x)=ax2+bx+c总有两个不同的零点,则的取值范围是( )
A.(1,]B.(1,2]
C.[1,+∞)D.(2,+∞)
解析:
依题意对方程ax2+bx+c=0,有Δ=b2-4ac>0,于是c<,从而>=1+-()2,对满足0<b≤3a的任意实数a,b恒成立.令t=,因为0<b≤3a,所以0<t≤3.因此-t2+t+1∈(1,2],故>2.选D.
答案:
D
8.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(1,3)B.(0,3)
C.(0,2)D.(0,1)
解析:
画出函数f(x)的图象如图所示,
观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点,此时需满足0<a<1,故选D.
答案:
D
9.(2018·汕头模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数,且对任意的实数x,恒有f(x)-f(-x)=0,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)上有三个零点,则a的取值范围为( )
A.[3,5]B.[4,6]
C.(3,5)D.(4,6)
解析:
∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象如图所示:
∵g(x)=f(x)-logax在(0,+∞)上有三个零点,
∴y=f(x)和y=logax的图象在(0,+∞)上有三个交点,
作出函数y=logax的图象,如图,
∴,解得3<a<5.故选C.
答案:
C
10.(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( )
A.B.
C.-D.-
解析:
令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.故选C.
答案:
C
11.已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当-1≤x<0时,则方程f(x)-=0在(0,6)内的所有根之和为( )
A.8B.10
C.12D.16
解析:
∵奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是周期函数,其周期T=4.又当x∈[-1,0)时,故f(x)在(0,6)上的函数图象如图所示.
由图可知方程f(x)-=0在(0,6)内的根共有4个,其和为x1+x2+x3+x4=2+10=12,故选C.
答案:
C
12.已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
解析:
易知函数f(x)=e|x|+|x|为偶函数,故只需求函数f(x)在(0,+∞)上的图象与直线y=k有唯一交点时k的取值范围.当x∈(0,+∞)时,f(x)=ex+x,此时f′(x)=ex+1>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,从而当x>0时,f(x)=ex+x>f(0)=1,所以要使函数f(x)在(0,+∞)上的图象与直线y=k有唯一交点,只需k>1,故所求实数k的取值范围是(1,+∞).
答案:
(1,+∞)
13.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是________.
解析:
作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示:
由图可知k∈(0,1].
答案:
(0,1]
14.函数f(x)=的零点个数是________.
解析:
当x>0时,令lnx-x2+2x=0,
得lnx=x2-2x,
作y=lnx和y=x2-2x图象,
显然有两个交点.
当x≤0时,令4x+1=0,
∴x=-.
综上共有3个零点.
答案:
3
15.已知函数f(x)=|x-a|-+a,a∈R,若方程f(x)=1有且只有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是________.
解析:
令g(x)=|x-a|+a,h(x)=+1,作出函数h(x)=+1的图象,易知直线y=x与函数h(x)=+1的图象的两交点坐标为(-1,-1)和(2,2),又函数g(x)=|x-a|+a的图象是由函数y=|x|的图象的顶点在直线y=x上移动得到的,且当函数h(x)=+1的图象和g(x)=|x-a|+a的图象相切时,切点为(,1+),(-,1-),切线方程为y=-x+2+1或y=-x-2+1,又两切线与y=x的交点分别为(,),(,),故a=,结合图象可知a的取值范围是(-∞,)∪(,2).
答案:
(-∞,)∪(,2)
B组——能力提升练
1.已知符号函数sgn(x)=设函数f(x)=·f1(x)+·f2(x),其中f1(x)=x2+1,f2(x)=-2x+4.若关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+m=0恒好有6个根,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,)B.(-∞,]
C.[2,]D.(2,)
解析:
①若x>1,则f(x)=·f1(x)+·f2(x)=-2x+4.②若x=1,则f(x)=·f1(x)+·f2(x)==2.③若x<1,则f(x)=·f1(x)+·f2(x)=x2+1.
综上,f(x)=作出其图象如图所示.若要使方程[f(x)]2-3f(x)+m=0恒好有6个根,令t=f(x),则关于t的方程t2-3t+m=0需有两个不相等的实数根,故Δ=9-4m>0,得m<.数形结合知1<f(x)<2,所以函数g(t)=t2-3t+m在(1,2)上有两个不同的零点,又函数g(t)图象的对称轴为t=∈(1,2),所以需即得2<m<,故选D.
答案:
D
2.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若x1<f(x1)<x2,则关于x方程[f(x)]2-2af(x)-b=0的实数根的个数不可能为( )
A.2B.3
C.4D.5
解析:
由题意,得f′(x)=-x2+2ax+b.因为x1,x2是函数f(x)的两个极值点,所以x1,x2是方程-x2+2ax+b=0的两个实数根,所以由[f(x)]2-2af(x)-b=0,可得f(x)=x1或f(x)=x2.由题意,知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,又x1<f(x1)<x2,依题意作出简图,如图所示,结合图形可知,方程[f(x)]2-2af(x)-b=0的实根个数不可能为5,故选D.
答案:
D
3.(2018·合肥市质检)已知函数f(x)=.方程[f(x)]2-af(x)+b=0(b≠0)有6个不同的实数解,则3a+b的取值范围是( )
A.[6,11]B.[3,11]
C.(6,11)D.(3,11)
解析:
首先作出函数f(x)的图象(如图),对于方程[f(x)]2-af(x)+b=0,可令f(x)=t,那么方程根的个数就是f(x)=t1与f(x)=t2的根的个数之和,结合图象可知,要使总共有6个根,需要一个方程有4个根,另一个方程有2个根,从而可知关于t的方程t2-at+b=0有2个根,分别位于区间(0,1)与(1,2)内,进一步由根的分布得出约束条件,画出可行域(图略),计算出目标函数z=3a+b的取值范围为(3,11).
答案:
D
4.(2018·洛阳统考)已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|lnx|的两个零点,则( )
A.<x1x2<1B.1<x1x2<e
C.1<x1x2<10D.e<x1x2<10
解析:
在同一直角坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象(图略),结合图象不难看出,在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=ln(x1x2)∈(-1,0),于是有e-1<x1x2<e0,即<x1x2<1,故选A.
答案:
A
5.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )
A.g(a)<0<
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