高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面平行的判定与性质教师用书.docx
- 文档编号:1840840
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:197.35KB
高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面平行的判定与性质教师用书.docx
《高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面平行的判定与性质教师用书.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面平行的判定与性质教师用书.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学大一轮复习第八章立体几何84直线平面平行的判定与性质教师用书
(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面平行的判定与性质教师用书
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
∵l∥a,a⊂α,l⊄α,∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α,l⊂β,α∩β=b,∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α,∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴a∥b
【知识拓展】
重要结论:
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β;
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b;
(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × )
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( × )
(6)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( × )
1.(教材改编)下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
答案 D
解析 A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.
2.(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
答案 A
解析 当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.
3.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
答案 6
解析 各中点连线如图,只有平面EFGH与平面ABB1A1平行,在四边形EFGH中有6条符合题意.
4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH,
又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,
∴EF∥HG.同理EH∥FG,
∴四边形EFGH的形状是平行四边形.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
GH∥平面PAD.
证明
(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=AD,
∴BC綊AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,
∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 (2016·长沙模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:
GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
(1)证明 因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,
且平面PBC∩平面GEFH=GH,
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.
(2)解 如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD,
且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK=PO,
即G是PB的中点,且GH=BC=4.
由已知可得OB=4,
PO===6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=·GK
=×3=18.
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点);
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.求证:
四边形EFGH是矩形.
证明 ∵CD∥平面EFGH,
而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∵CD∥EF.
同理HG∥CD,且HE∥AB,∴EF∥HG.
同理HE∥GF,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∴CD∥EF,HE∥AB,
∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角(或补角).
又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF.
∴平行四边形EFGH为矩形.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明
(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,
∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例条件下,若D为BC1的中点,求证:
HD∥平面A1B1BA.
证明
如图所示,连接HD,A1B,
∵D为BC1的中点,H为A1C1的中点,
∴HD∥A1B,
又HD⊄平面A1B1BA,
A1B⊂平面A1B1BA,
∴HD∥平面A1B1BA.
2.在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示,连接A1C交AC1于点M,
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点,连接MD,
∵D为BC的中点,
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1,
DM⊄平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知,D1C1綊BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,
∴DC1∥平面A1BD1,
又∵DC1∩DM=D,DC1⊂平面AC1D,DM⊂平面AC1D,
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
思维升华 证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义;
(2)面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;
(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
(2016·西安模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.
(1)证明:
平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
(1)证明 由题设知,BB1綊DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1綊B1C1綊BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,
∴A1B∥平面CD1B1.
又BD∩A1B=B,∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)解 ∵A1O⊥平面ABCD,
∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.
又AO=AC=1,AA1=,
∴A1O==1.
又S△ABD=××=1,
∴=S△ABD·A1O=1.
题型三 平行关系的综合应用
例4 (2016·盐城模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?
若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
解 方法一 存在点E,且E为AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
下面给出证明:
如图,取BB1的中点F,连接DF,
则DF∥B1C1,
∵AB的中点为E,连接EF,ED,
则EF∥AB1,B1C1∩AB1=B1,
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF,
∴DE∥平面AB1C1.
方法二 假设在棱AB上存在点E,
使得DE∥平面AB1C1,
如图,取BB1的中点F,连接DF,EF,ED,则DF∥B1C1,
又DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,
∴DF∥平面AB1C1,
又DE∥平面AB1C1,DE∩DF=D,
∴平面DEF∥平面AB1C1,
∵EF⊂平面DEF,∴EF∥平面AB1C1,
又∵EF⊂平面ABB1,平面ABB1∩平面AB1C1=AB1,
∴EF∥AB1,
∵点F是BB1的中点,∴点E是AB的中点.
即当点E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.
如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面平行的判定与性质教师用书 高考 数学 一轮 复习 第八 直线 平面 平行 判定 性质 教师