四边形拔高训练Word文件下载.docx
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9已知:
正方形中ABCD,∠MAN=450,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N。
当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(图1),易证BM+DN=MN。
1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明。
2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?
请写出你的猜想
10如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长6
②求证:
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?
11.如图,在正方形ABCD中,点P是AB的中点,连接DP,过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF⊥AE交DP于点F,连接BF.
(1)若AE=2,求EF的长;
(2)求证:
PF=EP+EB.
12.如图,直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D,AM⊥MN于M,CN⊥MN于N,BR⊥MN于R.
(1)求证:
△ADM≌△DCN:
MN=AM+CN;
(3)试猜想BR与MN的数量关系,并证明你的猜想.
13.、已知:
如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
△ADE≌△CBF;
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
14
15.如图,Rt△AB¢
C¢
是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC¢
交斜边于点E,CC¢
的延长线交BB¢
于点F.
(1)证明:
△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=
,∠CAC¢
=
,试探索
、
满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
16.如图,一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图象分别交
轴、
轴于点C、D,
且S△PBD=4,
(1)求点D的坐标;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式;
(3)根据图象写出当
时,一次函数的值大于反比例函数的值的
的取值范围.
17如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,
cm,OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒
cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线
经过B、P两点,过线段BP上一动点M作
轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.
18如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC∶CA=4∶3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
AC·
CD=PC·
BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?
并求这个最大面积S.
19
20如图,在△ABC
中,∠ABC=∠CAB=72°
,将△ABC绕点A顺时针旋转α度(36°
<α<180°
)得到△ADE,连接CE,线段BD(或其延长线)分别交AC、CE于G、F点.
△ABG∽△FCG;
(2)在旋转的过程中,是否存在一个时刻,使得△ABG与△FCG全等?
若存在,求出此时旋转角α的大小.
21如图
(1),点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,连接CN、DM.
(1)判断CN、DM的数量关系与位置关系,并说明理由;
(2)如图
(2),设CN、DM的交点为H,连接BH,求证:
△BCH是等腰三角形;
(3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM,延长MA′交DC的延长线于点E,如图(3)tan∠DEM.
拔高训练参考答案
(2)
(3)
(4)
(5)
1.易证Rt△DEF≌Rt△DAF
∴DE=DA,∠DEF=∠DAF=90°
又∠ADE=90°
∴四边形ADEF是正方形
2.连DG
易证四边形DGBC是平行四边形
∴DG=BC
又EG=DG
∴EG=BC
∴GBCE是等腰梯形
(6)解:
(1)四边形BECF是菱形.
证明:
EF垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC,
∴∠1=∠2,
∵∠ACB=90°
,
∴∠1+∠4=90°
,∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4,
∴EC=AE,
∴BE=AE,
∵CF=AE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
解:
(2)当∠A=45°
时,菱形BECF是正方形.
∵∠A=45°
,∠ACB=90°
∴∠1=45°
∴∠EBF=2∠A=90°
∴菱形BECF是正方形
(7)证明:
连接BD,交AC于点O
∵ABCD是菱形∴BD⊥AC
∵EP⊥AC∴BD‖EP
∵E是AD中点∴P是AB中点。
即PE=PF
∵AE‖BF∴∠EAP=∠FBP,∠AEP=∠F
∴△APE≌△BPF∴PA=PB,PE=PF即EF与AB互相平分
(8)
(9)
10
11
12
解答:
∵AM⊥MN于点M,CN⊥MN于点N(已知),
∴∠AMD=∠DNC=90°
(垂直的定义).
∴∠MAD+∠MDA=180°
-90°
=90°
(三角形内角和定理).
∵四边形ABCD是正方形(已知),
∴∠ADC=90°
,AD=DC.
∴∠MDA+∠NDC=180°
(平角的定义).
∴∠MAD+∠MDA=∠NDC+∠NCD.
∴∠MAD=∠NDC.
在△AMB和△DNC中,
∵∠AMD=∠DNC,∠MAD=∠NDC,AD=DC,
∴△AMD≌△DNC(AAS).
(2)证明:
由
(1)△AMD≌△DNC,
∴AM=DN,MD=NC.(全等三角形对应边相等)
∴MD+DN=AM+CN.
即MN=AM+CN.
(3)猜想BR=MN.
证明如下:
作AE⊥BR于E.
∵BR⊥MN,CN⊥MN(已知)
∴BR∥CN(垂直于同一直线的两条直线平行)
∴∠1=∠2(两直线平行同位角相等)
又四边形ABCD是正方形
∴AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠ABE=∠DCN=90°
-∠1,
在△ABE和△DCN中,AB=DC,∠ABE=∠DCN,∠AEB=∠DNC=90°
∴△ABE≌△DCN(AAS)
由
(1)△ADM≌△DCN
∴△ABE≌△ADM
∴AM=AE(全等三角形对应边相等).
又AE∥MR,AM∥ER,
∴BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN.
13.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=
AB,CF=
CD.
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF.
(2)当四边形BEDF是菱形时,
四边形AGBD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AG∥BD,
∴四边形AGBD是平行四边形.
∵四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE.
∵AE=BE,
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴2∠2+2∠3=180°
∴∠2+∠3=90°
即∠ADB=90°
.
∴四边形AGBD是矩形
14,
15
(1)证明:
∵Rt△AB¢
是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,
∴AC=AC¢
,AB=AB¢
,∠CAB=∠C¢
AB¢
∴∠CAC¢
=∠BAB¢
∴∠ACC¢
=∠ABB¢
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE
(2)解:
当
时,△ACE≌△FBE.
在△ACC¢
中,∵AC=AC¢
∴
在Rt△ABC中,
∠ACC¢
+∠BCE=90°
,即
∴∠BCE=
∵∠ABC=
∴∠ABC=∠BCE
∴CE=BE
由
(1)知:
△ACE∽△FBE,
∴△ACE≌△FBE.
16【答案】
(1)在
中,令
得
∴点D的坐标为(0,2)
(2)∵AP∥OD∴Rt△PAC∽Rt△DOC
∵
∴
∴AP=6
又∵BD=
∴由S△PBD=4可得BP=2
∴P(2,6) 把P(2,6)分别代入
与
可得一次函数解析式为:
y=2x+2,反比例函数解析式为:
(3)由图可得x>2
17解:
(1)∵CQ=t,OP=
t,CO=8∴OQ=8-t
∴S△OPQ=
(0<t<8)…………………3分
(2)∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ
=
=32
…………5分
∴四边形OPBQ的面积为一个定值,且等于32
…………6分
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形,依题意只能是∠QPB=90°
又∵BQ与AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB,∠APB不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分
解得:
t=4
经检验:
t=4是方程的解且符合题意(从边长关系和速度)
此时P(
,0)
∵B(
,8)且抛物线
经过B、P两点,
∴抛物线是
,直线BP是:
…………………8分
设M(m,
)、N(m,
)
∵M在BP上运动∴
∵
交于P、B两点且抛物线的顶点是P
∴当
时,
………………………………9分
∴当
时,MN有最大值是2
∴设MN与BQ交于H点则
∴S△BHM=
∴S△BHM:
S五边形QOPMH=
=3:
29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3:
29.…………………10分
18解:
(1)∵AB为直径,∴∠ACB=90°
.又∵PC⊥CD,∴∠PCD=90°
而∠CAB=∠CPD,∴△ABC∽△PCD.∴
∴AC·
………………………………………………3分
(2)当点P运动到AB弧中点时,过点B作BE⊥PC于点E.
∵P是AB中点,∴∠PCB=45°
,CE=BE=
BC=2
又∠CAB=∠CPB,∴tan∠CPB=tan∠CAB=
.∴PE=
从而PC=PE+EC=
.由
(1)得CD=
PC=
…………………………………7分
(3)当点P在AB上运动时,S△PCD=
PC·
CD.由
(1)可知,CD=
PC.
∴S△PCD=
PC2.故PC最大时,S△PCD取得最大值;
而PC为直径时最大,∴S△PCD的最大值S=
×
52=
.………………………………10分
19
20
21
(1)判断CN、DM的关系,并说明理由
显然△ADM≌△DNC
所以角AMD=角DNC,CN=MD
角AMD+角ADM=90度=角ADM+DNC=90度
所以角NHD=90度
所以CN、DM互相垂直且相等
(2)设CN、DM的交点为H,连接BH,如图二,求证△BCH是等腰三角形
连接BN,则NB=CN,即三角形BCN为等腰三角形
△CND∽△CDH
CH/DC=DC/NC,即CH/BC=BC/NC
角NCB为公共角
所以△NBC∽△BCH
所以△BCH也为等腰三角形
(3)将△ADM沿DM翻折得到△A’DM,延长MA’交DC的延长线于点E,如图三,求tan∠DEM,
题目有错,将△ADM沿DM翻折得到△A’DM,延长MA’好像不能于DC相交,而是与BC相交于E
设正方形的边长=a
因为角AMD=角EMD,则有∠BME=2∠ADM
cos∠ADM=AD/MD=a/√[a^2+(a/2)^2]=2√5/5
cos∠BME=cos2∠ADM=2cos^2∠ADM-1=3/5
cos∠BME=MB/ME=a/2ME
ME=5a/6
则A'
E=ME-MA'
=5a/6-a/2=a/3
因为DA'
=a
所以tan∠DEM=DA'
/A'
E=a/a/3=3
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