版高中数学苏教版选修21学案321 直线的方向向量与平面的法向量322 空间线面关系的判定一.docx
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版高中数学苏教版选修21学案321直线的方向向量与平面的法向量322空间线面关系的判定一
直线的方向向量与平面的法向量
空间线面关系的判定
(一)
学习目标.掌握空间点、线、面的向量表示.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数法求平面的法向量.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
知识点一直线的方向向量与平面的法向量
思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置?
梳理()用向量表示直线的位置
条件
直线上一点
表示直线方向的向量(即直线的)
形式
在直线上取=,那么对于直线上任意一点,一定存在实数,使得=
作用
定位置
点和向量可以确定直线的
定点
可以具体表示出上的任意
()用向量表示平面的位置
①通过平面α上的一个定点和两个向量和来确定:
条件
平面α内两条相交直线的方向向量,和交点
形式
对于平面α上任意一点,存在有序实数对(,)使得=+
②通过平面α上的一个定点和法向量来确定:
平面的法向量
直线⊥α,直线的叫做平面α的法向量
确定平面位置
过点,以向量为法向量的平面是完全确定的
()直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的向量,叫做直线的一个方向向量
平面的法向量
直线⊥α,取直线的,叫做平面α的法向量
()空间中平行关系的向量表示
设直线,的方向向量分别为,,平面α,β的法向量分别为μ,,则
线线平行
∥⇔⇔=(∈)
线面平行
∥α⇔⊥μ⇔
面面平行
α∥β⇔μ∥⇔
知识点二利用空间向量处理平行问题
思考()设=(,,),=(,,)分别是直线,的方向向量.若直线∥,则向量,应满足什么关系.
()若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行?
()用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么?
梳理利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;第二,通过向量的运算,研究平行问题;第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论.
类型一求直线的方向向量、平面的法向量
例如图,四棱锥-中,底面为矩形,⊥平面,为的中点==,=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的一个法向量.
引申探究
若本例条件不变,试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量.
反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤
()设向量:
设平面的法向量为=(,,).
()选向量:
在平面内选取两个不共线向量,.
()列方程组:
由列出方程组.
()解方程组:
()赋非零值:
取其中一个为非零值(常取±).
()得结论:
得到平面的一个法向量.
跟踪训练如图,在四棱锥-中,底面是矩形.平面⊥平面,△是边长为的正三角形,是菱形.∠=°,是的中点,是的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的一个法向量.
类型二利用空间向量证明平行问题
例已知正方体的棱长为,、分别是、的中点,求证:
()∥平面;
()平面∥平面.
反思与感悟利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练如图,在四棱锥-中,⊥平面,与底面所成的角为°,底面为直角梯形,∠=∠=°,===,问在棱上是否存在一点,使∥平面?
若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
.若点(-),()在直线上,则直线的一个方向向量的坐标可以是.
.已知向量=(,-)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是.(填序号)
①=(,-);②=(-);
③=(-,-);④=(-,-).
.已知向量=(-)为平面α的法向量,点()为平面内一定点(,,)为平面内任一点,则,,满足的关系式是.
.若直线∥α,且的方向向量为(,),平面α的法向量为,则为.
.在正方体中,平面的一个法向量为.
.应用向量法证明线面平行问题的方法
()证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
()证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
()证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为=(,,),平面β的法向量为=(,,),则α∥β⇔∥⇔(,,)=(,,)(∈).
答案精析
问题导学
知识点一
思考()点:
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.
()直线:
①直线的方向向量:
和这条直线平行或共线的非零向量.
②对于直线上的任一点,在直线上取=,则存在实数,使得=.
()平面:
①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点,,是平面α内两个不共线向量,则存在有序实数对(,),使得=+.
②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.
梳理()方向向量位置一点
()②方向向量()非零方向向量
()∥·μ=μ=(∈)
知识点二
思考()由直线方向向量的定义知若直线∥,则直线,的方向向量共线,即∥⇔∥⇔=λ(λ∈).
()可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否平行.
()关键是找到两个平面的法向量,利用法向量平行来说明两平面平行.
题型探究
例解因为⊥平面,底面为矩形,
所以,,两两垂直.
如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则(,,),(,,),(),(,,),
于是=(,,),=(,,).
设=(,,)为平面的法向量,
则即
所以
令=-,则==.
所以平面的一个法向量为=(,-,).
引申探究
解如图所示,建立空间直角坐标系,则(),(,,),
所以=(,,-),
即为直线的一个方向向量.
设平面的法向量为=(,,).
因为(,,),所以=(,,-).
由即
所以令=,则=.
所以平面的一个法向量为=(,).
跟踪训练解连结,,.
因为=,为的中点,所以⊥,
又因为平面⊥平面,平面∩平面=,⊂平面.
所以⊥平面,因为=,∠=°,
所以△是等边三角形,所以⊥.
以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示.
由题意得(),(,),(-,,),(,,),(,,).
所以=(,,),
=(-,,).
设平面的法向量为=(,,).
则即
所以令=,
则=,=-.
所以平面的一个法向量为=(,,-).
例证明()建立如图所示的空间直角坐标系-,则有(),(,),(),(),(,),(),(),
所以=(),=(),=().
设=(,,)是平面的法向量,
则⊥,⊥,
即
得
令=,则=-,
所以=(,-).
因为·=-+=,
所以⊥.
又因为⊄平面,
所以∥平面.
()因为=(),设=(,,)是平面的一个法向量.由⊥,⊥,
得
得
令=,得=-,
所以=(,-),
因为=,所以平面∥平面.
跟踪训练解分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.
∴(),(),(),
设存在满足题意的点(,,),
则=(,,-),
=(,-),
∵∥,
∴×(-)-(-)=,①
∵=()是平面的法向量,
又=(-,-,),∥平面,
∴⊥,∴(-,-,)·()=.
∴=,代入①得=,
∴是的中点,
∴存在点,当点为中点时,∥平面.
当堂训练
.().④--+=.-.()(答案不惟一)
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