高考数学一轮复习专题47解三角形及其应用举例测.docx
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高考数学一轮复习专题47解三角形及其应用举例测
第07节解三角形及其应用举例
班级__________姓名_____________学号___________得分__________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。
)
1.海上两小岛到海洋观察站的距离都是,小岛在观察站的北偏东,小岛在观察站的南偏东,则与的距离是()
A.B.C.D.
【答案】C
则AB==10km.
故选:
C.
2.一船沿北偏西方向航行,正东有两个灯塔A,B,海里,航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东,另一灯塔在船的南偏东,则这艘船的速度是每小时()
A.5海里B.海里C.10海里D.海里
【答案】B
【解析】
本题选择D选项.
3.如图,有一长为的斜坡,它的倾斜角为,现要将倾斜角改为,则坡底要加长( )
A.0.5B.1C.1.5D.32
【答案】B
【解析】设坡顶为A,A到地面的垂足为D,坡底为B,改造后的坡底为C,根据题意要求得BC的长度,如图
∵∠ABD=,∠C=,
∴∠BAC=.
∴AB=BC,
∴BC=1,
即坡底要加长1km.
故选B.
4.如图,在海岸线上相距千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向,在C的北偏西方向,且,则BC之间的距离是
A.千米B.30千米C.千米D.12千米
【答案】D
5.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为( )
A.akm B.akm
C.akm D.2akm
【答案】B
【解析】由图可知,∠ACB=120°,
由余弦定理,得cos∠ACB===-.
解得AB=a(km).
6.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
【答案】 B
7.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A、B两点的距离为( )
A.50m B.50mC.25mD.m
【答案】 A
【解析】由题意知∠ABC=30°,由正弦定理=,∴AB===50(m).
8.已知A、B两地间的距离为10km,B、C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地间的距离为( )
A.10kmB.km
C.10kmD.10km
【答案】 D
9.一船向正北航行,看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这只船的速度是每小时( )
A.5nmileB.5nmile
C.10nmileD.10nmile
【答案】 C
【解析】依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是=10(nmile/h).
10.为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是( )
A.20mB.20mC.20(1+)mD.30m
【答案】 A
【解析】如图所示,四边形CBMD为正方形,而CB=20(m),所以BM=20(m).
又在Rt△AMD中,DM=20m,∠ADM=30°,
∴AM=DMtan30°=(m),
∴AB=AM+MB=+20=20(m).
11.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°,AB两船距离为3km,则B到C的距离为( )
A.kmB.(-1)km
C.(+1)kmD.km
【答案】 B
12.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( )
A.nmile/hB.34nmile/h
C.nmile/hD.34nmile/h
【答案】 A
【解析】如图所示,在△PMN中,=,
∴MN==34,∴v==(nmile/h).
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在题中的横线上。
)
13.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西,距灯塔68海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向处,则该船航行的速度为__________海里/小时.
【答案】
【解析】
14.甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处,并以每小时10海里的速度向正北方向行使,若甲船沿北偏东30°角方向直线航行,并1小时后与乙船在C处相遇,则甲船的航速为_________海里/小时。
【答案】17.3
【解析】
设甲船的航速为海里/小时,则,由正弦定理可得海里/小时,故答案为.
15.【2017湖南百所重点中学诊断】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:
“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为__________平方千米.
【答案】21
16.如图,一栋建筑物的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别为15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为________m.
【答案】60
故答案为60.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,我军军舰位于岛屿的南偏西方向的B处,且与岛屿相距6海里,海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方逃跑,若我军军舰从处出发沿北偏东的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船.
(Ⅰ)求我军军舰追上海盗船的时间;
(Ⅱ)求的值.
【答案】(Ⅰ)我军军舰追上海盗船的时间为1小时;(Ⅱ).
(Ⅱ)在中,因为,,,,
由正弦定理,得,
即,.
18.【2018届江苏南京溧水高级中学期初模拟】如图,在海岸线一侧处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了两个报名点,满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作:
先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点),然后乘同一艘轮游轮前往岛.据统计,每批游客处需发车2辆,处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费元,游轮每千米耗费元.(其中是正常数)设∠,每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元.
(1)写出关于的函数表达式,并指出的取值范围;
(2)问:
中转点距离处多远时,最小?
【答案】
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(1)在中,求出相关的角,利用正弦定理,求出,表示出所需运输成本为元关于的函数表达式;
(2)利用函数表达式,求出函数的导数,通过导数的符号,判断单调性求解函数的最值.
试题解析:
(1)由题知在△ACD中,∠CAD=,∠CDA=α,AC=10,∠ACD=-α.
由正弦定理知,
即CD=,AD=,
所以S=4aAD+8aBD+12aCD=(12CD-4AD+80)a
=a+80a=a+60a
所以中转点C距A处km时,运输成本S最小.
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- 高考 数学 一轮 复习 专题 47 三角形 及其 应用 举例