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6.设an=+++…+(n∈N*),那么an+1-an等于( )
A.B.
C.+D.-
解析 ∵an=+++…+
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.
二、填空题
7.已知数列{an}的通项公式为an=.则它的前4项依次为____________.
答案 4,7,10,15
8.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),那么是这个数列的第______项.
答案 10
解析 ∵=,
∴n(n+2)=10×
12,∴n=10.
9.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________.
答案 an=2n+1
解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴an=2n+1.
10.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是______.
答案 55
解析 三角形数依次为:
1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为:
1+2+3+4+…+10=55.
三、解答题
11.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.8,0.88,0.888,…
(3),,-,,-,,…
(4),1,,,…
(5)0,1,0,1,…
解
(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:
后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)(n∈N*).
(2)数列变形为(1-0.1),(1-0.01),
(1-0.001),…,∴an=(n∈N*).
(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,因此原数列可化为-,,-,,…,
∴an=(-1)n·
(n∈N*).
(4)将数列统一为,,,,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,
∴可得它的一个通项公式为an=(n∈N*).
(5)an=或an=(n∈N*)
或an=(n∈N*).
12.已知数列;
(1)求这个数列的第10项;
(2)是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:
数列中的各项都在区间(0,1)内;
(4)在区间内有、无数列中的项?
若有,有几项?
若没有,说明理由.
(1)解 设f(n)=
==.
令n=10,得第10项a10=f(10)=.
(2)解 令=,得9n=300.
此方程无正整数解,所以不是该数列中的项.
(3)证明 ∵an===1-,
又n∈N*,∴0<
<
1,∴0<
an<
1.
∴数列中的各项都在区间(0,1)内.
(4)解 令<
an=<
,则,
即.∴<
n<
.
又∵n∈N*,∴当且仅当n=2时,上式成立,故区间上有数列中的项,且只有一项为a2=.
能力提升
13.数列a,b,a,b,…的一个通项公式是______________________.
答案 an=+(-1)n+1
解析 a=+,b=-,
故an=+(-1)n+1.
14.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有多少个点.
解 图
(1)只有1个点,无分支;
图
(2)除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点;
图(3)除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;
图(4)除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点;
…;
猜测第n个图中除中间一个点外,有n个分支,每个分支有(n-1)个点,故第n个图中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1.
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质:
(1)确定性:
一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性:
数列中的数可以重复.
(3)有序性:
一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.
3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:
数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,还可以写成
an=其中k∈N*.
2.1 数列的概念与简单表示法
(二)
1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项;
3.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列.
1.如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
2.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值.
3.一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>
an,那么这个数列叫做递增数列.如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<
an,那么这个数列叫做递减数列.如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.
1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( )
A.递增数列B.递减数列
C.常数项D.不能确定
2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( )
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
3.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1=an+,则此数列第4项是( )
A.1B.C.D.
4.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·
a2·
a3…an=n2,则:
a3+a5等于( )
C.D.
解析 a1a2a3=32,a1a2=22,
a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,
则a3==,a5==.
故a3+a5=.
5.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2010的值为( )
A.B.C.D.
解析 计算得a2=,a3=,a4=,故数列{an}是以3为周期的周期数列,
又知2010除以3能整除,所以a2010=a3=.
6.已知an=,则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A.a1,a30B.a1,a9
C.a10,a9D.a10,a30
解析 ∵an=
=+1
∴点(n,an)在函数y=+1的图象上,
在直角坐标系中作出函数y=+1的图象,
由图象易知
当x∈(0,)时,函数单调递减.
∴a9<
a8<
a7<
…<
a1<
1,
当x∈(,+∞)时,函数单调递减,
∴a10>
a11>
…>
a30>
所以,数列{an}的前30项中最大的项是a10,最小的项是a9.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=3,4Sn=6an-an-1+4Sn-1,则an=________.
答案 3·
21-n
8.已知数列{an}满足:
a1=a2=1,an+2=an+1+an,(n∈N*),则使an>
100的n的最小值是________.
答案 12
9.若数列{an}满足:
a1=1,且=(n∈N*),则当n≥2时,an=________.
答案
解析 ∵a1=1,且=(n∈N*).
∴·
·
…·
=·
,
即an=.
10.已知数列{an}满足:
an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是________.
答案 -3
解析 an≤an+1⇔n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1)
⇔λ≥-(2n+1),n∈N*⇔λ≥-3.
11.在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*).
(1)求证:
an+3=an;
(2)求a2011.
(1)证明 an+3=1-=1-
=1-
=1-=1-=1-
=1-(1-an)=an.
∴an+3=an.
(2)解 由
(1)知数列{an}的周期T=3,
a1=,a2=-1,a3=2.
又∵a2011=a3×
670+1=a1=,∴a2011=.
12.已知an=(n∈N*),试问数列{an}中有没有最大项?
如果有,求出这个最大项;
如果没有,说明理由.
解 因为an+1-an=n+1·
(n+2)-n·
(n+1)
=n+1·
,则
当n≤7时,n+1·
>
0,
当n=8时,n+1·
=0,
当n≥9时,n+1·
所以a1<
a2<
a3<
a8=a9>
a10>
a12>
…,
故数列{an}存在最大项,最大项为a8=a9=.
13.已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,则通项公式an=________.
答案 -
解析 ∵an+1-an=,
∴a2-a1=;
a3-a2=;
a4-a3=;
… …
an-an-1=;
以上各式累加得,an-a1=++…+
=1-+-+…+-
=1-.
∴an+1=1-,∴an=-.
14.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)·
a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是________.
解析 ∵(n+1)a-na+anan+1=0,
∴[(n+1)an+1-nan]·
(an+1+an)=0,
∵an>
0,∴an+an+1>
∴(n+1)an+1-nan=0.
方法一 =.
∴=.
又∵a1=1,∴an=a1=.
方法二 (n+1)an+1-nan=0,
∴nan=(n-1)an-1=…=1×
a1=1,
∴nan=1,an=.
函数与数列的联系与区别
一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.
另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N*或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调性时,由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>
an-1),则图象呈上升趋势,即数列递增,即{an}递增⇔an+1>
an对任意的n(n∈N*)都成立.类似地,有{an}递减⇔an+1<
an对任意的n(n∈N*)都成立.
2.2 等差数列
(一)
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式.
1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
2.若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,并且A=.
3.若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项an=a1+(n-1)d.
4.等差数列{an}中,若公差d>
0,则数列{an}为递增数列;
若公差d<
0,则数列{an}为递减数列.
1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为( )
A.2B.3
C.-2D.-3
2.△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
答案 B
3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),则a101的值为( )
A.49B.50
C.51D.52
4.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于( )
C.D.
答案C
解析 ∴a=,b=x.
5.设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A.1B.2C.4D.6
解析 设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12且a(a-d)(a+d)=48,解得a=4且d=±
2,又{an}递增,∴d>
0,即d=2,∴a1=2.
6.等差数列{an}的公差d<
0,且a2·
a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n-2(n∈N*)
B.an=2n+4(n∈N*)
C.an=-2n+12(n∈N*)
D.an=-2n+10(n∈N*)
解析 由⇒⇒
所以an=a1+(n-1)d,即an=8+(n-1)×
(-2),
得an=-2n+10.
7.已知a=,b=,则a、b的等差中项是
________________________________________________________________________.
8.一个等差数列的前三项为:
a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为________.
答案 an=n+1
解析 ∵a+(3-a)=2(2a-1),∴a=.
∴这个等差数列的前三项依次为,,.
∴d=,an=+(n-1)×
=+1.
9.若m≠n,两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2,则的值为________.
解析 n-m=3d1,d1=(n-m).
又n-m=4d2,d2=(n-m).
∴==.
10.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是________.
答案 <
d≤3
解析 设an=-24+(n-1)d,
由解得:
d≤3.
11.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
解 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题设得
∴ 解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12.已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an=4-(n≥2),
∴an+1=4-(n∈N*).
∴bn+1-bn=-=-=-==.
∴bn+1-bn=,n∈N*.
∴{bn}是等差数列,首项为,公差为.
(2)解 b1==,d=.
∴bn=b1+(n-1)d=+(n-1)=.
∴=,∴an=2+.
13.一个等差数列的首项为a1=1,末项an=41(n≥3)且公差为整数,那么项数n的取值个数是( )
A.6B.7C.8D.不确定
解析 由an=a1+(n-1)d,得41=1+(n-1)d,
d=为整数,且n≥3.
则n=3,5,6,9,11,21,41共7个.
14.已知数列{an}满足a1=,且当n>
1,n∈N*时,有=,设bn=,
n∈N*.
数列{bn}为等差数列.
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?
如果是,是第几项;
如果不是,请说明理由.
(1)证明 当n>
1,n∈N*时,=⇔=
⇔-2=2+⇔-=4⇔bn-bn-1=4,且b1==5.
∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5.
(2)解 由
(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.
∴an==,n∈N*.
∴a1=,a2=,∴a1a2=.令an==,
∴n=11.
即a1a2=a11,∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.
1.判断一个数列{an}是否是等差数列,关键是看an+1-an是否是一个与n无关的常数.
2.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1、d、n、an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量.
3.三个数成等差数列可设为:
a-d,a,a+d或a,a+d,a+2d;
四个数成等差数列可设为:
a-3d,a-d,a+d,a+3d或a,a+d,a+2d,a+3d.
2.2 等差数列
(二)
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.
2.熟练运用等差数列的常用性质.
1.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是关于n的常函数;
当d≠0时,an是关于n的一次函数;
点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点.
2.已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n),则=d.
3.对于任意的正整数m、n、p、q,若m+n=p+q.则在等差数列{an}中,am+an与
ap+aq之间的关系为am+an=ap+aq.
1.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为( )
A.4B.6
C.8D.10
解析 由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,
∴a6=16,∴a7-a8=(2a7-a8)
=(a6+a8-a8)=a6=8.
2.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )
A.B.±
C.-D.-
解析 由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,
∴a7=.
∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan
=tan=-.
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为( )
A.12B.8
C.6D.4
解析 由等差数列性质a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8,又d≠0,
∴m=8.
4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
A.14B.21
C.28D.35
解析 ∵a3+a4+a5=3a4=12,
∴a4=4.∴a1+a2+a3+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.
5.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于( )
A.-182B.-78
C.-148D.-82
解析 a3+a6+a9+…+a99
=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)
=(a1+a4+…+a97)+2d×
33
=50+2×
(-2)×
=-82.
6.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为( )
A.p+qB.0
C.-(p+q)D.
解析 ∵d===-1,
∴ap+q=ap+qd=q+q×
(-1)=0.
7.若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________.
答案 24
解析 ∵a60=a15+45d,∴d=,
∴a75=a60+15d=20+4=24.
8.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=________.
答案 1
解析 ∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,a3=35.
∴a2+a4+a6=3a4=99.
∴a4=33,∴d=a4-a3=-2.
∴a20=a4+16d=33+16×
(-2)=1.
9.已知是等差数列,且a4=6,a6=4,则a10=______.
解析 -=-=2d,即d=.
所以=+4d=+=,所以a10=.
10.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则
|m-n|=________.
解析 由题意设这4个根为,+d,+2d,+3d.
则+=2,∴d=,∴这4个根依次为,,,,
∴n=×
=,
m=×
=或n=,m=,
∴|m-n|=.
11.等差数列{an}的公差d≠0,试比较a4a9与a6a7的大小.
解
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