K12学习五年级全套上下册名校奥数教程教案及试题含答案吐血推荐.docx
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K12学习五年级全套上下册名校奥数教程教案及试题含答案吐血推荐
五年级全套(上下册)名校奥数教程教案及试题(含答案)
文
第一讲数的整除问题
数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识
1.整除——约数和倍数例如:
15÷3=5,63÷7=9
一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b,除得的商c正好是整数而没有余数,我们就说,a能被b整除。
记作b|a.否则,称为a不能被b整除,,记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
例如:
在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质
性质1:
如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:
如果c|a,c|b,那么c|。
例如:
如果2|10,2|6,那么2|,并且2|。
性质2:
如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:
如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:
如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:
如果b|a,c|a,且=1,那么bc|a。
例如:
如果2|28,7|28,且=1,那么|28。
性质4:
如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:
如果c|b,b|a,那么c|a。
文
例如:
如果3|9,9|27,那么3|27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征:
个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:
一方面,个位数字是偶数的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征:
个位是0或5。
③能被3整除的数的特征:
各个数位数字之和能被3整除。
④能被4整除的数的特征:
末两位数能被4整除。
例如:
1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除.
⑤能被8整除的数的特征:
末三位数能被8整除。
例如:
29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。
⑥能被11整除的数的特征:
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。
例如:
判断123456789这九位数能否被11整除?
解:
这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为115,所以11123456789。
再例如:
判断13574是否是11的倍数?
解:
这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:
-=0.因为0是任何整数的倍数,所以11|0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除。
例如:
判断1059282是否是7的倍数?
文
解:
把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282=777,又7|777,所以7|1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如:
判断3546725能否被13整除?
解:
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725.
二、例题
解:
∵45=539。
∴根据整除“性质2”可知
∴y可取0或5。
∴满足条件的六位数是519930或919935。
例2李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔,共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同,请问每支钢笔多少元?
解:
∵9□.2□元=9□2□分28=437。
∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□。
4|2□可知□处能填0或4或8。
因为79020,79424,所以□处不能填0和4;
文
因为7|9828,所叫□处应该填8。
又∵9828分=元÷28=答:
每支钢笔元。
个条件的整数。
∴根据能被11整除的数的特征可知:
1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数,即11|.或11|。
但是15—5a=5,5a—15=5,又=1,因此111或11|。
又∵a是数位上的数字。
∴a只能取0~9。
所以只有a=3才能满足11|或11|,即当a=3时,11|15—5a。
符合题意的整数只有1323334353。
互不相同),且它能被11整除,你能找到一个符合条件的整数吗?
解:
∵91=7313,且=1。
文
根据一个数能被7或13整除的特征可知:
因为=1,=1,所以7,13
也就是7,13,因此,用一次性质,就去掉了两组
;反复使用性质996次,最后转化成:
原数能被7以及13整除,当且仅当能被7以及13整除
又∵91的倍数中小于1000的只有9134=364的百位数字是3,∴
=364
例5在865后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
5整除,所以它应满足以下三个条件:
文
第一,数字和是3的倍数。
第三,末位数字c是0或5。
又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。
∴c只能取O.因而b只能取自O,2,4,6,8中之一。
∴a+b除以3余2。
为满足题意“数值尽可能小”,只需取a=0,b=2。
∴要求的六位数是865020。
分析∵26=2313。
∴y可能取0、2、4、5、6、8。
文
当y=0时。
=7313x+9x+13+6
∴根据整除“性质1”,有13|9x+6。
经试验可知只有当x=8时,13|9x+6,∴当y=0时,符合题意的六位数是819910。
所以13整除9x+6—2,即13|9x+4。
经试验可知只有当x=1时,13|9x+4。
∴当y=2时,符合题意的六位数是119912。
同理,当y=4时,13|9x+6-4,即13|9x+2。
经试验可知当x=7时,13|9x+2。
∴当y=4时,符合题意的六位数是719914。
同理,当y=6时,13|9x+6—6。
即13|9x.
文
∴当y=6时,找不到符合题意的六位数。
同理,当y=8时,13|9x+6-8,即13|9x-2。
经试验只有当x=6时,13|9x-2。
∴当y=8时,符合题意的六位数是619918。
答:
满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。
习题一
样的五位数。
4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数,试问:
这个数能否被3整除?
5.一本陈年老账上记着:
72只桶,共□□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上,并求桶的单价。
6.证明:
任意一个三位数连着写两次得到一个六位数,这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
习题一解答
。
。
文
、32550、32850。
4.解:
∵1+2+3++9=45,3|45,又∴1993除以9余4。
∴这个1993位数的最末4位数字是1234。
∵1+2+3+4=10,310。
∴这个1993位数不能被3整除。
5.□为3、2共元,每只桶元。
所以,这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
文
第2讲质数、合数和分解质因数
一、基本概念和知识
1.质数与合数
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
要特别记住:
1不是质数,也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例:
把30分解质因数。
解:
30=23335。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=23233=2233,2、3都叫做12的质因数。
二、例题
例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.解:
∵210=2333537∴可知这三个数是5、6和7。
例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
解:
把40表示为两个质数的和,共有三种形式:
40=17+23=11+29=3+37。
∵17323=391>11329=319>3337=111。
∴所求的最大值是391。
答:
这两个质数的最大乘积是391。
文
例3自然数123456789是质数,还是合数?
为什么?
解:
123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数?
为什么?
解:
如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。
综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。
例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
解:
∵5=5,7=7,6=233,14=237,15=335,这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
放在第一组,那么7和6只能放在第二组,继而15只能放在第一组,则5必须放在第二组。
这样14315=210=53637。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
例6有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析先大概估计一下,30330330=27000,远小于=64000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在30~40之间。
解:
42560=263537319=2533=32335338
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7有3个自然数a、b、c.已知a3b=6,b3c=15。
文
例3自然数123456789是质数,还是合数?
为什么?
解:
123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数?
为什么?
解:
如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。
综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。
例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
解:
∵5=5,7=7,6=233,14=237,15=335,这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
放在第一组,那么7和6只能放在第二组,继而15只能放在第一组,则5必须放在第二组。
这样14315=210=53637。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
例6有三个自然数,最大的比最小的大6,
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