初一一元一次方程应用题中难讲解文档格式.docx

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7．【背景知识】

数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：

数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b；

线段AB的中点M表示的数为

．

【问题情境】

已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】

（1）运动开始前，A、B两点的距离为　　；

线段AB的中点M所表示的数　　．

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为　　；

点B运动t秒后所在位置的点表示的数为　　；

（用含t的代数式表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？

（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？

若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；

若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合）

8．牧场上的草长得一样地密，一样地快．已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天．如果要吃96天，问牛数该是多少？

9．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．

（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？

（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？

（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？

10．A、B两地相距1200千米，甲车和乙车均从A地开往B地，且知甲车的速度是每小时行90千米，是乙车速度的1.5倍．

（1）乙车的速度是　　千米/小时，甲车从A地到B地用　　小时，乙车从A地到B地用　　小明．

（2）若两车同时出发从A地开往B地，问乙车开出多长时间两车相距100千米？

（3）若两车均从A地开往B地，且乙车先出发5小时，问乙车开出多长时间两车相距100千米？

11．A、B两市相距300千米．现有甲、乙两车从两地同时相向而行，已知甲车的速度为40千米/小时，乙车的速度为50千米/小时，请问几小时后两车之间的距离为30千米．

12．早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开甲地向乙地开去，这两辆汽车的速度相同．8点32分，第一辆汽车行驶的路程是第二辆汽车的3倍；

到了8点39分，第一辆汽车行驶的路程是第二辆的2倍．那么，第一辆汽车是几点几分离开甲地的？

13．某学校现有学生总数2300人，今年比去年总数增加了15%，其中男生比去年增加了25%，女生比去年减少了25%，问去年男、女生各多少人？

14．已知A，B，C三站在一条东西走向的马路边．小马现在A站，小虎现在B站，两人分别从A，B两站同时出发，约定在C站会面商议事谊．若小马的行驶速度是小虎的行驶速度的

，两人同时到达C站，且A，B两站之间的距离为8km，求C站与A，B两站之间的距离分别是多少？

15．为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出；

下面是某服装厂给出的演出服装的价格表

购买服装的套数

1套至45套

46套至90套

91套以上

每套服装的价格

60元

50元

40元

（1）如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？

（2）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．

16．附加题：

材料：

股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费．以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳：

①印花税：

按成交金额的0.1%计算；

②过户费：

③佣金：

按不高于成交金额的0.3%计算，不足5元按5元计算．

例：

某投资者以每股5.00元的价格在沪市A股中买入股票“金杯汽车”1000股，以每股5.50元的价格全部卖出，共盈利多少？

问题：

（1）小王对此很感兴趣，以每股5.00元的价格买入以上股票100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他盈利为　　元．

（2）小张以每股a（a≥5）元的价格买入以上股票1000股，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出．请你帮他计算出卖出的价格每股是　　元（用a的代数式表示），由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨　　%才不亏（结果保留三个有效数字）．

（3）小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？

（精确到0.01元）

17．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米．

（1）出发后　　分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；

（2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是　　．

参考答案与试题解析

1．（2015秋•德州校级月考）牛奶和鸡蛋所含各种主要成分的百分比如下表．又知每1g蛋白质、脂肪、碳水化合物产生的热量分别为16.8J、37.8J、16.8J．当牛奶和鸡蛋各取几克时，使它们质量之比为3：

【分析】设取牛奶3x克，取鸡蛋2x克，那么牛奶内面分别含有蛋白质、脂肪、碳水化合物各3x•3.5%g、3x•3.8%g、3x•4.9%g，同样可以得到鸡蛋内面分别含有蛋白质、脂肪、碳水化合物各2x•13.2%g、2x•10.7%g、2x•1.8%g，然后分别乘以每1g蛋白质、脂肪、碳水化合物产生的热量为16.8J、37.8J、16.8J即可得到方程解决问题．

【解答】解：

设取牛奶3x克，取鸡蛋2x克，

由题意得

16.8×

3x•3.5%+37.8×

3x•3.8%+16.8×

3x•4.9%+16.8×

2x•13.2%+37.8×

2x•10.7%+16.8×

2x•1.8%=1260，

解之得x≈60，

∴3x=180，

2x=120，

答：

当牛奶和鸡蛋各180克、120克时，使它们质量之比为3：

2，且产生1260J的热量．

2．（2015秋•荔湾区期末）汽车上坡时每小时走28km，下坡时每小时走35km，去时，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍还少14km，原路返回比去时多用了12分钟．求去时上、下坡路程各多少千米？

【分析】由已知设去时上坡路为x千米，则下坡路为（2x﹣14）千米，根据已知分别表示出去时和原路返回的时间，由原路返回比去时多用了12分钟列出方程求解．

设去时上坡路为x千米，则下坡路为（2x﹣14）千米，根据题意得：

+

﹣（

）=

，

解得：

x=42，

则2x﹣14=2×

42﹣14=70，

去时上、下坡路程各为42千米、70千米．

3．（2015秋•揭阳期末）A、B两列火车长分别是120m和144m，A车比B车每秒多行5m．

【分析】

（1）设B车的速度为xm/s，则A车的速度为（x+5）m/s，根据“两列车相向行驶，从相遇到全部错开需8秒”列出方程，求出方程的解即可；

（2）设A、B两车同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要t秒，根据此时甲车比乙车多行驶（120+144）m列出方程，求出方程的解即可．

（1）设B车的速度为xm/s，则A车的速度为（x+5）m/s．

由题意可得：

8〔x+（x+5）〕=120+144，

解得x=14，

则x+5=19．

A车、B车的速度分别为19m/s，14m/s；

（2）设A、B两车同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要t秒．

依题意得：

19t=14t+120+144，

解得t=52.8．

若A、B两车同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要52.8秒．

4．（2015秋•海安县校级月考）某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按标价的八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%．问这种鞋的标价是多少元？

【分析】设这种鞋的标价是x元，利用销售价减成本等于利润列方程x•0.8﹣60=60×

40%，然后解一元一次方程即可．

设这种鞋的标价是x元，

根据题意得x•0.8﹣60=60×

40%，

解得x=105．

这种鞋的标价是105元．

5．（2014秋•克拉玛依区校级期末）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时．

【分析】应先设出飞机在无风时的速度为x，从而可知在顺风时的速度为飞机在无风中的速度加上风速，飞机在逆风中的速度等于飞机在无风中的速度减去风速，又已知了顺风飞行和逆风飞行所用的时间，再根据路程相等，列出等式，求解即可．

（1）设无风时飞机的速度为x千米每小时，两城之间的距离为S千米．

则顺风飞行时的速度v1=x+24，逆风飞行的速度v2=x﹣24

顺风飞行时：

S=v1t1

逆风飞行时：

S=v2t2

即S=（x+24）×

=（x﹣24）×

3

解得x=840，

无风时飞机的飞行速度为840千米每小时．

（2）两城之间的距离S=（x﹣24）×

3=2448千米

两城之间的距离为2448千米．

6．（2014春•扬中市校级期末）A、B两地相距120km，一辆汽车以每小时50km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40km的速度从B地出发，两车相向而行．经过多少时间两车相距30km？

【分析】相距30km包括两种情形：

相遇前和相遇后．所以分类讨论：

相遇前：

行程之和+30=两地距离；

相遇后：

行程之和﹣30=两地距离．

设经过x小时两车相距30km．根据题意，得

①相遇前：

50x+40x+30=120．

解得x=1；

②相遇后：

50x+40x﹣30=120．

解得x=

经过1小时或

小时两车相距30km．

7．（2014秋•江都市校级期末）

【背景知识】

（1）运动开始前，A、B两点的距离为　18　；

线段AB的中点M所表示的数　﹣1　．

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为　﹣10+3t　；

点B运动t秒后所在位置的点表示的数为　8﹣2t　；

（1）根据A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b及线段AB的中点M表示的数为

即可求解；

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前A点表示的数+点A运动的路程，点B运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程；

（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，等量关系为：

点A运动的路程+点B运动的路程=18，依此列出方程，解方程即可；

（4）设A，B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能否与原点重合，根据线段AB的中点表示的数为0列出方程，解方程即可．

（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）=18；

线段AB的中点M所表示的数为

=﹣1；

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；

点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；

（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，根据题意得

﹣10+3x=8﹣2x，

﹣10+3x=

A、B两点经过

秒会相遇，相遇点所表示的数是

；

（4）由题意得，

=0，

解得t=2，

经过2秒A，B两点的中点M会与原点重合．M点的运动方向向右，运动速度为每秒

个单位长度．

故答案为18，﹣1；

﹣10+3t，8﹣2t．

8．（2014春•宜宾县期中）牧场上的草长得一样地密，一样地快．已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天．如果要吃96天，问牛数该是多少？

【分析】根据1头牛一天的吃的草的量得到相应的等量关系，求得草每天长的量，进而让（96天长的草的量+原来草的量）÷

一头牛一天需要的量可得牛的数量，把相关数值代入求解即可．

设牧场上原来的草的量是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，

所以

去分母得：

30（1+24x）=28（1+60x），

∴960x=2，

∴x=

96天吃完，牛应当是

（头）．

如果要吃96天，牛数该是20头．

9．（2012秋•建平县期末）A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．

（1）如果两人同时出发相向而行，那么是相遇问题，设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题；

（2）此小题有两种情况：

①还没有相遇他们相距16千米；

②已经相遇他们相距16千米．但都可以利用相遇问题解决；

（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，此时是追及问题，设z小时后乙超过甲10千米，那么z小时甲走了14z千米，乙走了18z千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题．

（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，

根据题意得：

14x+18x=64，

解方程得：

x=2（小时）．

两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇；

（2）设两人同时出发相向而行，需y小时两人相距16千米，

①当两人没有相遇他们相距16千米，

14y+18y+16=64，

y=1.5（小时）；

②当两人已经相遇他们相距16千米，

依题意得14y+18y=64+16，

∴y=2.5（小时）．

若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米；

（3）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则z小时后乙超过甲10千米，

18z=14z+64+10，

z=18.5（小时）．

若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则18.5小时后乙超过甲10千米．

10．（2012秋•甘井子区期末）A、B两地相距1200千米，甲车和乙车均从A地开往B地，且知甲车的速度是每小时行90千米，是乙车速度的1.5倍．

（1）乙车的速度是　60　千米/小时，甲车从A地到B地用　

　小时，乙车从A地到B地用　20　小明．

（1）由甲车的速度是每小时行90千米，是乙车速度的1.5倍可知乙车的速度是：

90÷

1.5=60千米/小时；

根据时间=路程÷

速度可求甲车从A地到B地所用时间及乙车从A地到B地所用时间；

（2）设乙车开出x小时时两车相距100千米，分两种情况：

①x≤

时，根据甲车行驶路程﹣乙车行驶路程=100列出方程；

②

＜x≤20时，根据乙车行驶路程=1200﹣100列出方程；

（3）设乙车开出y小时时两车相距100千米．分段讨论：

乙车出发，甲车未动；

甲车在乙车出发5小时后出发．

（1）乙车的速度是：

1.5=60（千米/小时）；

甲车从A地到B地用的时间为：

1200÷

90=

（小时）；

乙车从A地到B地用的时间为：

60=20（小时）；

故答案是：

60；

20；

（2）设乙车开出x小时时两车相距100千米，根据题意可得

90x﹣60x=100，

x=

或：

60x=1200﹣100，

在乙车开出

小时或

小时时两车相距100千米；

（3）设乙车开出y小时时两车相距100千米．根据题意得

60y=100，

解得y=

60y﹣90（y﹣5）=100，

y=

90（y﹣5）﹣60y=100，

此时甲车行驶时间为

﹣5=

小时，恰好到达B地．

综上所述，在乙车开出

小时时两车相距100千米．

11．（2011•禅城区模拟）A、B两市相距300千米．现有甲、乙两车从两地同时相向而行，已知甲车的速度为40千米/小时，乙车的速度为50千米/小时，请问几小时后两车之间的距离为30千米．

【分析】设x小时后两车之间的距离为30千米，这应该有两种情况，相遇前相距30千米，或者相遇后相遇30千米，根据路程=速度×

时间，可列方程求解．

①设x小时后两车之间的距离为30千米．

（40+50）x=300﹣30，

x=3，

②设x小时后两车之间的距离为30千米．

（40+50）x=300+30，

x=3

故在3小时或3

小时后两车之间的距离为30千米．

12．（2011秋•相城区期末）早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开甲地向乙地开去，这两辆汽车的速度相同．8点32分，第一辆汽车行驶的路程是第二辆汽车的3倍；

【分析】要求第一辆车是几点几分离开甲地的，就要先设出未知数，再通过理解题意可知本题的等量关系，8点32分，第一辆车走的距离为第二辆的3倍，8点39分，第一辆车走的距离为第二辆车的2倍．

设在8点32分时第二辆汽车已出发x分钟，则在8点32分第一辆汽车已出发3x分钟．则在8点39分时，第一辆车出发（3x+7）分，而第二辆车出发（x+7）分

2（x+7）=3x+7

x=7，

3x=21，32﹣21=11分，

第一辆汽车在8点11分出发的．

13．（2011秋•吉州区校级期中）某学校现有学生总数2300人，今年比去年总数增加了15%，其中男生比去年增加了25%，女生比去年减少了25%，问去年男、女生各多少人？

【分析】先求出去年的总人数，再设去年男生有x人，则女生有﹙2000﹣x﹚人，根据题意列出方程，求出x的值即可．

∵2300÷

﹙1+15%﹚=2000﹙人﹚

设去年男生有x人，则女生有﹙2000﹣x﹚人．

﹙1+25%﹚x+﹙2000﹣x﹚×

﹙1﹣25%﹚=2300，解得x=1600

　答：

去年男女生各有1600人和400人．

14．（2009秋•武昌区校级期末）已知A，B，C三站在一条东西走向的马路边．小马现在A站，小虎现在B站，两人分别从A，B两站同时出发，约定在C站会面商议事谊．若小马的行驶速度是小虎的行驶速度的

【分析】相同的时间内，小马行驶路程是小虎行驶路程的

，设小马行驶路程为3x，即AC=3x，小虎行驶路程为5x，即BC=5x．应分情况讨论：

（1）C在线段AB反向延长线上；

（2）C在线段AB上；

（3）C在线段AB的延长线上，不符合实际情况，不可能．

相同的时间内，小马行驶路程是小虎行驶路程的

设小马行驶路程为3x，即AC=3x，小虎行驶路程为5x，即BC=5x

（1）当C在线段AB反向延长线上时（上图1）

AC+AB=BC，

则3x+8=5x，

解得x=4，

∴AC=12，BC=20；

（2）当C在线段AB上时（上图2），AC=3，BC=5；

（3）当C在线段AB的延长线上时，可知不符合实际情况，不可能．

15．（2009秋•都匀市月考）为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出；

（2）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能