浙江省高中数学竞赛卷参考答案.doc

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2007年浙江省高中数学竞赛（Ａ卷）参考答案

一、选择题

1.如果，则使的的取值范围为（B）

A.B.C.D.

解：

显然，且。

　　　　。

要使。

当时，，即；当时，，此时无解。

由此可得，使的的取值范围为。

2.已知集合，，则＝　（　C　）

A.B.Ｒ

C.　　D.

解：

　　　没有实数可以使上述不等式成立。

故。

从而有。

3.以为六条棱长的四面体个数为　（　B　）

A.2　　B.　3　　　C.　4　　D.　6　

解：

以这些边为三角形仅有四种：

，，，。

固定四面体的一面作为底面：

当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即；

当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。

其余情形得到的四面体均在上述情形中。

由此可知，四面体个数有３个。

4.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（C）种。

A.89　　B.90　C.　91　　D.92　

解：

若取出的３个数构成递增等比数列，则有。

由此有。

当固定时，使三个数为整数的的个数记作。

由，知应是的整数部分。

，，，,，

,,.

因此，取法共有。

5.若在复平面上三个点构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，其中，则△ABC的面积为（A　）

A.　　B.　　C.　1　　D.　

解：

依题意，，。

△ABC的面积为。

2007重

6.　　　　　　的末二位数字是　（　C　）

A.01　　B.07　　　C.　43　　D.49　

ｋ重

解：

记　　　　。

题目要求的末二位数。

其中M为正整数。

由此可得的末二位数与的末二位数字相同。

首先来观察的末二位数字的变化规律。

2

3

4

5

6

7

8

9

的末二位数字

49

43

01

07

49

43

01

07

的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。

　　（为奇整数）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（为正整数）

因此，与的末二位数字相同，为43。

二、填空题

7.设为的单调递增数列，且满足，则。

解：

　　（由题意可知取正号。

）

因此，公差为２的等差数列，即。

从而可得。

8.设为方程的根（），则。

解：

由题意，。

由此可得

　，，以及　。

。

9.设均为非负实数，则

的最小值为　2007　。

解：

在直角坐标系中，作点，，，，。

则

I＝

＝＋＋＋　　　（应用三角不等式）

＋＋＋＝2007。

如果取，即，那么I取到最小值2007。

10.设是定义在R上的奇函数，且满足；又当时，，则＝。

解：

依题意，，即是以４为周期的周期函数。

因为当时，，且为奇函数，所以当时，。

此时有　。

可得。

又因为是以４为周期的周期函数，所以也有，（）。

11.设，则不超过的最大整数为。

解：

,

,

不超过的最大整数为。

12.整数，且，则整数组为。

解：

方程两边同乘以８，得。

因为，所以要使左边为奇数，只有，即。

则。

要使左边为奇数，只有，即。

从而有　，即。

故有。

三、解答题

13.已知抛物线和点。

过点任作直线，交抛物线于B,C两点。

（１）求△ABC的重心轨迹方程，并表示成形式；

（２）若数列，，满足。

试证：

。

解：

（１）设过的直线方程为。

又设，，联立方程组，

消去，得。

从而有，

，。

设△ABC的重心坐标为，则

　　　　消去k，即得　。

（２）因为，，所以

，

上式右边等号成立当且仅当。

假设，则

，

上式右边等号成立当且仅当。

由此得到（）。

从而有

。

14.设正实数及非负实数满足条件

求的最小值，并论证之。

解：

根据，有

.　（）

上式取等号当且仅当　。

15.设，为子集。

若，且存在，，，则称为“好集”。

求最大的，使含的任意33元子集为好集。

解：

令，。

显然对任意，不存在，使得成立。

故Ｐ是非好集。

因此　。

下面证明：

包含21的任意一个33元子集A一定为好集。

设。

若1，3，7，42，63中之一为集合A的元素，显然为好集。

现考虑1，3，7，42，63都不属于集合A。

构造集合

，，，，，，，，

，，，，，。

由上可见，　每个集合中两个元素都是倍数关系。

考虑最不利的情况，即，也即中16个元素全部选作A的元素，A中剩下16个元素必须从这15个集合中选取16个元素。

根据抽屉原理，至少有一个集合有两个元素被选，即集合A中至少有两个元素存在倍数关系。

　综上所述，包含21的任意一个33元子集A一定为好集，即的最大值为21。

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