湖南省高考数学试卷理科答案与解析.doc

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2009年湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2009•湖南）若log2a＜0，＞1，则（　　）

A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0 C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0

【考点】对数函数的单调区间．菁优网版权所有

【分析】根据指数函数与对数函数的图象和单调性直接解出a，b即可．

【解答】解：

依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0＜a＜1，b＜0，

故选D

【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式，属基本题．

2．（5分）（2009•湖南）对于非0向量，“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】向量的共线定理；充要条件．菁优网版权所有

【专题】常规题型．

【分析】利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项．

【解答】解：

∵⇒⇒

反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到

所以是的充分不必要条件

故选A

【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法．

3．（5分）（2009•湖南）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin（x﹣）的图象，则φ等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】先根据图象变换得到平移后的函数y=sin（x+φ），然后结合诱导公式可得到sin（x+π）=sin（x﹣），进而可确定答案．

【解答】解：

将函数y=sinx向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位得到函数y=sin（x+φ）．

根据诱导公式知当φ=π时有：

y=sin（x+π）=sin（x﹣）．

故选D．

【点评】本题主要考查图象变换和诱导公式的应用．考查对基础知识的综合运用．

4．（5分）（2009•湖南）如图，当参数λ分别取λ1，λ2时，函数y=（x≥0）的部份图象分别对应曲线C1和C2，则（　　）

A．0＜λ1＜λ2 B．0＜λ2＜λ1 C．λ1＜λ2＜0 D．λ2＜λ1＜0

【考点】函数的图象．菁优网版权所有

【专题】数形结合．

【分析】根据图象先判定λ的正负，然后利用图象的高低列出不等式即可．

【解答】解：

∵曲线C1和C2在第一象限且成递增趋势

取点（2x，f（2x）与（0，f（0），连接之后，取其中点（x，[f（2x）+f（0）]/2），

根据图象（凸函数）可知，这个中点的纵坐标是小于f（x）（即点（x，f（x））的，

由此，[f（2x）+f（0）]/2＜f（x），因为x＞=0，可解得λ＞0，

∴λ1，λ2均大于0

根据图象有＞

∴1+λ1x＜1+λ2x

∴λ1x＜λ2x

∵x≥0

∴0＜λ1＜λ2

故选A．

【点评】本题考查了根据图象列出不等式的知识，做题时注意分式不等式中分母的关系．

5．（5分）（2009•湖南）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（　　）

A．85 B．56 C．49 D．28

【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有

【专题】计算题；分类讨论．

【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果．

【解答】解：

∵丙没有入选，

∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，

∵甲、乙至少有1人入选，

∴由条件可分为两类：

一类是甲乙两人只选一个的选法有：

C21•C72=42，

另一类是甲乙都选的选法有C22•C71=7，

根据分类计数原理知共有42+7=49，

故选C．

【点评】本题考查分类加法，在题目中有三个元素有限制条件，解题时先安排有限制条件的元素排列，在安排没有限制条件的元素，注意做到不重不漏．

6．（5分）（2009•湖南）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（　　）

A． B． C． D．

【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；弧长公式．菁优网版权所有

【专题】图表型；数形结合；转化思想．

【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可．

【解答】解：

如图阴影部分表示，确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求．

∵kOB=﹣，kOA=，

∴tan∠BOA=||=1，∴∠BOA=．

∴劣弧AB的长度为2×=．

故选B．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．

7．（5分）（2009•湖南）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】简单组合体的结构特征；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题；数学模型法．

【分析】画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．

【解答】解：

如图：

正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，

根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，

同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，

又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，

F为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．

故选C．

【点评】本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力．

8．（5分）（2009•湖南）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数，取函数f（x）=2﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（+∞，﹣∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）

A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1

【考点】函数恒成立问题．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题；转化思想．

【分析】根据新定义的函数建立fk（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

【解答】解：

由题意可得出k≥f（x）最大值，

由于f′（x）=﹣1+e﹣x，令f′（x）=0，e﹣x=1=e0解出﹣x=0，即x=0，

当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2﹣1=1．

故当k≥1时，恒有fk（x）=f（x）．

因此K的最小值是1．

故选D．

【点评】本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．

二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）

9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　12　．

【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有

【专题】应用题；集合．

【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．

【解答】解：

设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，

由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，

所以15﹣x=12，

即所求人数为12人，

故答案为：

12．

【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．

10．（5分）（2009•湖南）在（1+x）3+（1+）3+（1+）3的展开式中，x的系数为　7　（用数字作答）．

【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有

【分析】展开式中x的系数是二项式（1+x）3，，的展开式的x的系数和，

再利用二项展开式的通项公式求出各二项展开式的x的系数．

【解答】解：

C31+C32+C33=23﹣1=7．

故答案为7

【点评】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

11．（5分）（2009•湖南）若x∈（0，）则2tanx+tan（﹣x）的最小值为　2　．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】先利用诱导公式把tan（﹣x）转化成，然后根据x的范围判断出tanx＞0，利用基本不等式求得其最小值．

【解答】解：

2tanx+tan（﹣x）=2tanx+

∵x∈（0，），∴tanx＞0，

∴2tanx+≥2=2（当且仅当tanx=时，等号成立）

故答案为：

2．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题过程中注意等号成立的条件．

12．（5分）（2009•湖南）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为　　．

【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】根据题设条件，先设∠B2F1B1=60°，求出双曲线的离心率．再设∠F1B2F2=60°，求出双曲线的离心率．解题的同时要进行验根，避免出现不必要的错误．

【解答】解：

设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形．

若∠B2F1B1=60°，则∠B2F1F2=30°．由勾股定理可知c=b．∴，

故双曲线C的离心率为．

若∠F1B2F2=60°，则∠F1B2B1=30°，由勾股定理可知b=c，不满足c＞b，所以不成立．

综上所述，双曲线C的离心率为．

答案：

．

【点评】解题时应该分∠B2F1B1=60°和∠F1B2F2=60°两种情况求出双曲线的离心率．解题时要注意a，b，c中c最大．

13．（5分）（2009•湖南）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：

1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是　40　．

【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．菁优网版权所有

【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．

【解答】解：

设B层中有n个个体，

∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，

∴=，

∴n2﹣n﹣56=0，

∴n=﹣7（舍去），n=8，

∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：

1

∴共有个体（4+1）×8=40

故答案为：

40．

【点评】本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．

14．（5分）（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则

（1）球